高考数列求和方法总结与答案全解

高考数列求和 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 总结与 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 全解 数列求和方法总结例题和答案全解 1 直接求和 适用于等差数列或等比数列的求和(指前项和)问题,在四个量(或na,d1), 中,已知三个量时,可以求出来,我们简称为“知三求和”问题.它们Sqn,ann 的求和问题可以直接利用求和公式解决. ，，na，a1n 等差数列前项和公式:已知时,利用公式求和; a,n,aS,n1nn2 1nn，，, 已知时,利用公式求和. Snada,d,n,，n112 n，，a1,q1S,(q,1) 等比数列前项和公式:已知时,利用公式求和; a,n,qnn11,q a,aq1n,1 已知时,利用公式()求和. qa,q,aS,1nn1,q n,1，，111,11？.,，,，，例1 n,12482 1 此式可看为一个等比数列的前项和,且此等比数列首项为1,公比为,,n2 na(1,q)1,1故可直接运用等比数列前项和公式 (q) 求和. S,nn1,q n(,1)1,nn，，(1),22, 解 S,1.,n,,n132，，1，2 例2 一个等差数列的前项和等于,前项和等于(其中m),试求,nmmnn这个数列的前项和. m，n 根据等差数列前项和公式运用所需的条件最好先求出数列首项与公差na1 1nn，，,d,然后运用求和. Snad,，n12 d 解 设这个数列的首项为,公差为,根据已知条件,有 a n(n,1),na，d,m？？？？(1),,2 ,m(m,1),ma，d,n？？？？(2),2, 得 ，，，，1，m,2，n mnd22m,n. = ,,(n,1),(m,1)2 因为 n,m, 2(m，n) 所以 d,,.mn 22m，mn，n,m,n 由此得 ， a,mn 于是,这个数列的前项和为 m，n m，nm，n,1，，，， ，，S,m，na，dm，n2 22，，m，mn，n,m,nn，m,12m，n，， ，，,,,m，n,,mn2mn，， ，，,,m，n. 2 转化求和 适用于不是等差数列或等比数列,不便直接求其前项和的数列. n 2.1反序相加法 将与两式相加,如果得到一个常S,a，a，？，aS,a，a，？，an12nnnn,11 AA数列,其和为,那么 S,.n2 1R例3已知满足,当时,，，，，,若fx，fx,，，fxx,x,x，x,11212122 12n,1,,,,,,，，，，f0，f，f，？，f，f1,n,N,求 S,S.,,,,,,nnnnn,,,,,, 1 由，，，，知只要自变量即成立,又知fx，fx,x，x,112122 1n,10，1,1,„,则易求 ,，,1S.nnn 12n,1,,,,,,，，，，f0，f，f，？，f，f1 解 因为, ? S,,,,,,,nnnn,,,,,, n,11,,,,，，，，S,f1，f，？，f，f0. 所以 ? ,,,,nnn,,,, ?+?,得 ，，1n,1,,,, ，，，，，，，，2S,,,f0，f1，f，f，？，,,f1，f0,,,,n,,nn,,,,，， n，1个,,,,,,, 111, ，，，？222 1, ，，n，1.2 1 所以 S,(n，1).n4 2.2错项相减法 如果数列中的和分别是等差数列和等比数列且等比数列,,,,,,a,babnnnn q(q,1)公比为,那么与两S,ab，ab，？，abqS,ab，ab，？，abn1122nnn1223nn，1式“错项相减”可以求出 S.n nn,1n,2 例4求和:1 ，，,2，2,2，3,2，？，n,2，n，1,1. 1nn,1n,2 数列2,2,2,„,2,1与1,2,3,„,, 分别是等比数列()与等n，1q,n2差数列(d,1),可考虑用“错项相减法”求和. nn,1n,2 解 令1 ? S,，，,2，2,2，3,2，？，n,2，n，1,1n 11n,1n,2n，1, 则 1，，， ? S,,2，2,2，？，(n,1),2，n,1n22 11nn,1n,2 ?-?,得，， S,2，2，2，？，2，1,n，1n22 101n,1n ，，,2，2，？，2，2,n，12 n，1211,n，,, 212, 3nn，1,2. ,,22 n，22,n,3 则. S,n 2.3组合数法 ,1mmmC，C,C 原数列各项可写成组合数形式,则可利用公式求解. ，1nnn 1,1，2,1，2，3,？,1，2，3，？，n 例5求的和 . 12 由知可利用“组合数法”求和 ，，C1，2，3，？，n,nn，1,.n，12 解 ，，，，，，S,1，1，2，1，2，3，？，1，2，3，？，nn n(n，1) ,1，3，6，2 2222, C，C，C，？，Cn234，1 3222, C，C，C？，Cn334，1 , „ 3, Cn，2 1, . n(n，1)(n，2)6 3 裂项求和 将数列的每一项分裂成两项之差,如果求数列的前项和时,除首尾若干项外,n其余各项可以交叉相消. n个5,,,,, 5555？ 例6求 S,5，55，555，？，n n个5n个9,,,,,,,,,,55n,,此数列故知拆项后是一个等比数列. (10,1)a,5555(9999)？？n99 n个5n个9,,,,,,,,,,55n,,解 因为, (10,1)a,5555(9999)？？n99 5552n,所以 S(10,1)，(10,1)，？，(10,1)n999 52n, (10，10，？，10,n)9 n，，510(101),, ,n,,9101,，， n50(10,1)5,,n . 819 11111，，？，例7 求证< ，3,1!24,2!5,3!102,100! 此为分数数列求和问题,仍然用裂项求和法,难点在于分母出现了阶乘,为此, k需将数列的第项作一些恒等变形,以便将其分裂为两项之差. 1k，111,,,1,2,？,100 解 因为 () k,(k，2),k!(k，2)!(k，1)!(k，2)! 1111，，？， 所以 ，3,1!4,2!5,3!102,100! 11111111, (,)，(,)，(,)，？，(,)2!3!3!4!4!5!101!102! 111,, <. 2!102!2 4 归纳求和 针对可猜想出其前项和的数列. n 4.1直接利用归纳法 猜测出数列前n项和的形式，直接利用数学归纳法证明结论 例8在一个圆的直径两端写上自然数1,将此直径分得的两个半圆都对分,在 1每个分点上写上该点相邻两数之和,然后把分得的四个圆周各自对分,在所分点4 上写上该点相邻两数之和,如此继续下去,问这样做第步之后,圆周所有分点上之n 和的和是多少, Sn 由题意知, S,1，1,21 , S,S，2S,3S,2，32111 2 S,S，2S,3S,2，3, 3222 3S,S，2S,3S,2，3, 4333 n,1,2，3由此可猜想出,则可利用数学归纳法证明. Sn 解 由题意有 , S,1，1,21 , S,S，2S,3S,2，32111 2S,S，2S,3S,2，3 , 3222 3 S,S，2S,3S,2，3, 4333 n,12，3故猜想S,,下面利用数学归纳法给予严格的证明. n n,1当时，命题显然成立; k,1设当时，命题成立，则; n,kS,2，3k (k，1),1当时，. n,k，1S,S，2S,3S,2，3k，1kkk 则证出时命题成立,从而证明对所有的自然数都成立. n,k，1n 4.2待定归纳法 解决与自然数有关的某一问题,首先应对结论的代数形式做一正确推测,并将 结论用待定系数设出来,随之令其满足数学归纳法的各个步骤,从中得到待定系数 的方程或方程组,求出待定系数,即可使问题得解. 2222，1，3，5例9求数列2,4,6,„,2的前项和. Sn(2n,1)nn 232因为数列的通项公式为它是关于的多项式,a,2n(2n,1),8n,8n，2nnn 与之类似的数列求和问题我们熟悉的有 2 (1) ，，1，3，5，？，2n,1,n 1 (2)1 ，2，2，3，？，n(n，1),n(n，1)(n，2)3 1333322 (3) 1，2，3，？，n,n(n，1)4 以上各式中，左端的通项公式及右端的和展开后都是关于的多项式,对其n次数进行比较便可得到这样的结论:若数列的通项公式是关于的多项式,则,,ann 其前项和是比通项公式高一次的多项式.对本题来讲,因为通项公式 n 232 a,2n(2n,1),8n,8n，2n n 是关于的三次多项式,所以我们猜想该数列的前项和是关于的四次多项Snnnn 432An，Bn，Cn，Dn，E式,故可设. S,n 432An，Bn，Cn，Dn，E解 令满足数学归纳法的各个步骤, S,n n,1,n,k,n,k，1即时上式均成立,有 ? S,A，B，C，D，E,a,211 432S,Ak，Bk，Ck，Dk，E k 432S,A(k，1)，B(k，1)，C(k，1)，D(k，1)，E k，1 432,Ak，(4A，B)k，(6A，3B，C)k，(4A，3B，2C，D)k，(A，B，C，D，E) ? 又因为 S,S，ak，1kk，1 43232 ,Ak，Bk，Ck，Dk，E，8(k，1),8(k，1)，2(k，1) 432 ? ,Ak，(B，8)k，(C，16)k，(D，10)k，(E，2) 比较?、?两式同类项系数可得 A，A,, ,4A，B,B，8,,,6A，3B，C,C，16, , ,4A，3B，2C，D,D，10,, ,A，B，C，D，E,E，2., 41解方程得 代入?式有, E,0A,2,B,,C,,1,D,,.33 414322 故 S,n，n,n,nn33 12 ,n(n，1)(6n,2n,1)3 5 逐差法 针对一类高阶等差数列求和问题.某些数列的构成规律不十分明显,我们可以逐次求出它的各阶差数列,如果某一阶差数列正好是等差数列或等比数列,那么可以利用这些数列的有限和得出原数列的一个通项公式,然后再求出其前项和 S.nn 例10求数列5,6,9,16,31,62,„的前项和 S.nn 考虑数列的各差数列: 原数列:5,6,9,16,31,62,„ 一阶差数列:1,3,7,15,31,„ 二阶差数列:2,4,8,16,„ 由于二阶差数列是等比数列,可用逐差法求数列的通项,然后再求其前项和n S.n 解 设原数列为,,,一阶差数列为,,,二阶差数列为,, abcnnn 那么 b,b,c,211 b,b,c,322 b,b,c,433 „ b,b,c.nn,1n,1 以上个式子相加,有 n,1b,b,c，c，c，？，cn1123n,1 n,1,2，4，8，16，？，2 n,12(1,2), 1,2 n,2,2 . nn 因为,所以. b,2,2，1,2,1b,11n 又 a,a,b,211 a,a,b,322 a,a,b,433 „ a,a,b.nn,1n,1 n,1n,1m,b,(2,1) 所以 a,a,b，b，b，？，b,,mn1123n,1m,1m,1 n,1mn,2,(n,1),2,n,1 . ,m,1 nn,2,n，4 因为,所以a,2,n,1，5. a,51n 数列,,的前项和为 ann nnnmm(2,m，4),2,m，4n S,,,,n,1,1,1mmm n2(1,2)n(n，1),,，4n 1,22 (,7)nnn，1 ,2,,2.2