[课件资料]结构力学图乘法

[课件资料]结构力学图乘法[课件资料]结构力学图乘法 ?4,6 图乘法我们已经知道，计算荷载作用下结构的弹性位移时，需要求下列形式的积分 MMiK ds,EI 的数值。这里，、是两个弯矩函数的乘积。对于直杆或直杆的一段～若MMiK EI是常量～且积分号内的两个弯矩图形中有一个是直线图形～则可用图乘法计算积分～极为方便。下面说明图乘法的内容和应用图4,20所示为直杆AB的两个弯矩图，其中图为一直线。如果该杆截面抗弯Mi刚度EI为一常数，则 MM1iKdx,MMdx(a) iK,,EIEI以O为原点，以α表示图直线的倾角，则图...

[课件资料 ]结构力学图乘法 ?4,6 图乘法我们已经知道，计算荷载作用下结构的弹性位移时，需要求下列形式的积分 MMiK ds,EI 的数值。这里，、是两个弯矩函数的乘积。对于直杆或直杆的一段～若MMiK EI是常量～且积分号内的两个弯矩图形中有一个是直线图形～则可用图乘法计算积分～极为方便。下面说明图乘法的内容和应用图4,20所示为直杆AB的两个弯矩图，其中图为一直线。如果该杆截面抗弯Mi刚度EI为一常数，则 MM1iKdx,MMdx(a) iK,,EIEI以O为原点，以α表示图直线的倾角，则图上任一点标距(纵坐标)可MMii表示为 M,x,tan,i BBMMdx,tan,xMdx因此， (b) iKK,,AA 式中，Mdx可看作M图的微分面积(图4,20中画阴影线的部分);x,MdxKKK BxMdx是这个微分面积对y轴的面积矩。于是就是M图的面积ω对y轴的KK,A xM面积矩。以表示图的形心C到y轴的距离，则 0K BxMdx,,x 0K,A 将上式代人式(b)，得到 BMMdx,tan,,,x,,y(c) 00iK,A 其中，是在图形心C对应处的图标距。利用式(c)，式(a)可写成yMM0Ki BMM1iK(4, 29) ,,dxy0,AEIEI 这就是图乘法所使用的公式。它将式,a,形式的积分运算问题简化为求图形的面积、形心和标距的问题。应用图乘法计算时要注意两点: (1)应用条件:杆件应是等截面直杆，两个图形中应有一个是直线，标距y0应取自直线图中。 (2)正负号规则 :面积ω与标距在杆的同一边时，乘积取正号;ωy,y00与在杆的不同边时取负号。 y0 图4,21给出了位移计算中几种常见图形的面积和形心的位置。用抛物线图形的公式时,必须注意在抛物线顶点处的切线应与基线平行。下面指出应用图乘法时的几个具体问题。 y(1)如果两个图形都是直线图形，则标距可取自其中任一个图形。0 (2)如果一个图形是曲线，另一个图形是由几段直线组成的折线，则应分段考虑。对于图 4,22所示的情形，则有 MMdx,,y，,y，,yiK112233, (3)如果图形比较复杂，则可将其分解为简单图形来考虑。例如，图4,23中两个图形都是梯形，可以不求梯形面积的形心，而将其中一个梯形(图)分为两个三角形(也可分为一个矩形和一个三角形)再应用图乘MK 法。因此 MMdx,,y，,y (a) iK1122, 其中， ab,,,l,,2,l1,22 (b),2d12d,y,c，,y,c，123333,所以: alblMMdx,(2c，d)，(c，2d) iK,66 4,24中的又如，图 M图可以分解为两个三角形:三角形 ADB在坐标轴K 以上，三角形ABC在坐标轴以下。这时 albl,,,,,1222 2cdy,,(与,反侧) 1133 2dcy,,(与,反侧)2233 所以: albl MMdx,(d,2c)，(d,2c)iK,66 图4,25a所示为一段直杆AB在均布荷载q作用下的图。由第二章可知，MMPP ,图是由两端弯矩、组成的直线图(图4,25b中的M图)和简支梁在均MMAB O布荷载q作用下的弯矩图(图4,25c中的图)叠加而成的。因此，可将图MMP O,M分解为直线的图和抛物线的图，然后再应用图乘法。 M 还要指出，所谓弯矩图的叠加是指弯矩图纵坐标的叠加。所以虽然图4,25a中的M图与图4,25C中的M图形状并不相似，但在同一横坐标C处，二者的纵 dx坐标是相同的，微段的微小面积(图中带阴影的面积)是相同的。因此，两图的面积和形心的横坐标也是相同的。例4,8用图乘法计算图4,26a所示简支梁在均布荷载q作用下的B端转角Δ。例4,9图4,27a所示为一悬臂梁，在A点作用集中荷载P，求中点C的挠度,。 c 例4,10图4,28a所示为一预应力钢筋混凝土墙板起吊过程中的计算图。 3已知板宽1m，厚2.5 cm，混凝土容重为。板的起吊点为 A、B。求 C25kNm 点挠度。 ,c

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