高等数学极限 概念 高等数学中极限概念教学问题论文
高等数学中极限概念教学问题初探
极限概念是微积分理论的基础，微积分学的每一个重要概念无不是用极限定义的，极限概念贯穿高等数学学习的始终，若是极限掌握不好的话，直接影响微积分的学习进度和学习效果。但是极限概念的形式化定义的确让人望而生畏，理解起来也总是高深莫测。如何解决极限概念的学习中的困难，我们在以下三个方面进行了思考，以期对高数的教学有所帮助。
1.极限概念发展过程的漫长和曲折
从刘徽在求圆面积到牛顿和莱布尼茨在创立微分学时所体现出的朴素的极限思想，到达朗贝尔“理性的”极限观念，再到柯西极限定义的首次量化描述，最后到维尔斯特拉斯的进一步完善，并成功创造出了我们熟知的“,”(“,”)语言，这是一段相当漫长的历史过程。而学生学习极限概念的过程
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就是极限概念发展过程的“重演”，是需要较长的时间和过程的，要在数学课程中多次蕴涵，循序渐进。比如
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生在学习梯形、平行四边形、三角形的关系时，可将梯形的较短的底边变长一些，再变长，„，直到与另一底边长相等，得到平行四边形;再将梯形较短的底边变短，继续缩短，„，直到此边的长度为0，得到三角形，变成另外的图形。对这些知识的理解其实都是极限思想的成功运用。可以从小学生活、学习开始多次孕育，当他们进入中学就进一步学习用文字语言描述的几何的、物理的极限概念，到大学学习定量的、精确的定义。
2.极限概念的哲学性
极限定义中通过和 ()之间的关系，使两个“无限过程”建立了联系。如数列极限定义中，，是否一定能找到相应的正整数，使得当 时，恒有不等式 成立,如果这样的确实存在，才能说明数列的极限存在且为，否则,数列的极限就不存在，这体现了哲学中的辩证法的联系论观点。定义中的起初是任意给定的，是变量，当被给定之后它又是固定不变的，变成了常量;恰恰相反，对于任意给定的正数，与之相应的必定存在，的存在性是不变的，而的取值发生改变时，的取值也作相应调整，的取值又是变的。和的变与不变性体现了辩证法的对立统一论观点。我们在学习极限概念的过程中无时无刻不在感悟着其丰富的哲学内涵，而这显然是要有一定
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的思维深度的。[1]
3.螺旋式结构的弊端
根据认知学的观点，极限概念内容是按照螺旋式结构进行安排的，这样做的弊端就是有可能导致后续的学习过程中产生前摄抑制的影响，主要有三方面:第一，中学课本中对数列极限定义是站在几何的、物理的角度来描述的，用“趋向于”来
表
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示数量的变化过程等等。而高等数学中是从静止的角度来描述的，可是学生往往还是习惯于运用描述的方法，因为他们中学就是这样做的。第二，很多学生表示对“,”(“ ,”)语言难以接受的第一点就是它的表达方式。比如函数极限定义中首先是对于任意的，(这似乎是谈函数值的问题，)总存在正数，使得适合不等式的一切(这似乎又是谈自变量的问题)所对应的总是满足不等式，那么就叫做函数当时的极
限(这似乎又是谈函数值问题)。中学数学课程中的函数内容是先谈自变量的变化趋势，再谈因变量的变化趋势，这样比较符合学生的思维习惯。而高等数学中的极限定义，是先给定一个函数值，再求出相应的自变量的取值范围，这实际上是牵扯到一个逆向思维问题。而这种思维方式是学生在以前数学概念的学习过程中，甚少遇到的。第三，因为中学学习的极限概念是不严格的，所以学生很容易产生各种各样的思维误差。另一方面，中学只要求掌握极其朴素的极限思想。
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所以，在学习严格的极限定义时，之前的种种认知上的模糊和偏差都有可能导致学习上的障碍。[2]
从暴露出的问题来看，学生对极限理论掌握困难的原因是多方面的，其中既有源于学生自身的，也有课程本身的，针对这样的情况，我们提出以下措施。
1.在教材内容的安排上作适当调整
极限定义的发展虽然经历了漫长的过程，但那是人类社会实践必经的过程，与学生学习的过程不能完全等同。教材在将这一定义的内容按照螺旋式结构安排的同时，也要将严格性定义从一开始就在教材中以适当的方式呈现出来，尽可能地避免学生的思维偏差和模糊性。另一方面，“,”(“,”)语言是一种非常精炼的语言，完美地体现了数学语言的精确性和严谨性，让学生及早接触，可以整体提高他们的数学素养。
2.适当提高学生思维的广度和深度
按照最近发展区的观点，在学习比较深奥的数学概念之前，可以
设计一些小的目标，逐步地提高学生的思维水平，以期达到最终要求。比如，学生对函数概念掌握程度也制约着极限定义的掌握。我们知道，一元函数关系实际上是两个变量之间的关系，一个是自变量，另一个就是因变量。我们在讨论一元函数是否有意义时，往往采用逆向思维法，根据函数值
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域，求定义域，定义域存在，则函数有意义。那么极限定义可以当作类似的问题来看。这个函数表达式是否有意义呢,这里的是常数，那么关键就是看里面的在取任意值时，是否都能相应地找到满足这个不等式的区间了，也就是如定义中叙述的那样，对于任意的，总存在正数，使得适合不等式的一切所对应的总是满足不等式，那么就叫做函数当时的极限。将极限定义的结构以及各部分的功能分析清楚了，似乎这个定义就没那么玄奥了。
3.要因材施教
学生学习数学的能力是有差异的，要承认这一点。“,”(“,”)语言虽然很美妙，但是，并不是所有学生最终都能掌握这种语言。实际上，在严格的极限定义产生之前，以其为基础的微积分理论已走得很远，因此，在学习数学的确有很大障碍的学生中，完全可以侧重于比较高级的极限思想的掌握和极限的运算方法方面，或者借助于自己能够接受的新的数学语言来取代难理解的“,”(“,”)语言。[3]
结论
极限理论的重要性我们要有足够的认识，学生在这方面的学习难
度更要得到大家的重视。处理好极限理论的学习问题关乎到学生对数学课程的学习兴趣和学习效果，更关系到以数学为基础的其它专业课程的学习。因此，为了帮助学生更好的
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学好数学、学好极限，我们还将继续探索下去。
参考文献:
[1] 庞坤)极限概念及其发展的哲学解析(武警学院学报[j]，2007年，第23卷第4期，88-89页(
[2] 聂立川，畅娜丽，高等数学中极限概念教学探析[j]，2010-5月第23卷第3期，131-134页(
[3] 蔡慧萍，关于高等数学中极限概念教学的探究[j]，2010年20期，科技信息，506页(
作者简介:
张晓燕(1982. 11---)，女，硕士研究生，山东聊城人，研究方向:高等数学教学
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