勾股定理的证明方法探究 数学论文勾股定理的证明方法探究 数学论文
勾股定理的证明方法探究
勾股定理是初等几何中的一个基本定理。所谓勾股定理，就是指在直角三角
222 形中，两条直角边的平方等于斜边的平方。数学公式中常写作:a + b=c(直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c)。
那么勾股定理是怎么证明的呢,方法很多很多。1940年出版过一本名为《毕达哥拉斯命题》的勾股定理的证明专辑，其中收集了367种不同的证明方法。实际上还不止于此，有资料表明，关于勾股定理的证明方法已有500余种，仅我国清末数学家华蘅芳就提供了二十多种精彩的证法。
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勾股定理的证明方法探究 数学论文
勾股定理的证明方法探究
勾股定理是初等几何中的一个基本定理。所谓勾股定理，就是指在直角三角
222 形中，两条直角边的平方等于斜边的平方。数学公式中常写作:a + b=c(直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c)。
那么勾股定理是怎么证明的呢,方法很多很多。1940年出版过一本名为《毕达哥拉斯命题》的勾股定理的证明专辑，其中收集了367种不同的证明方法。实际上还不止于此，有资料表明，关于勾股定理的证明方法已有500余种，仅我国清末数学家华蘅芳就提供了二十多种精彩的证法。
在这数百种证明方法中，有的十分精彩，有的十分简洁，有的因为证明者身份的特殊而非常著名。
在国外，尤其在西方，勾股定理通常被称为毕达哥拉斯定理(这是由于，
222222他们认为最早发现直角三角形具有“勾+股=弦(即如上所说:a + b=c)”这一性质并且最先给出严格证明的是古希腊的数学家毕达哥拉斯(Pythagoras，约公元前580,公元前500)(
实际上，在更早期的人类活动中，人们就已经认识到这一定理的某些特性(除我国在公元前1000多年前发现勾股定理外，据说古埃及人也曾利用“勾三股四弦五”的法则来确定直角(但是，这一传说引起过许多数学史家的怀疑(比如，美国的数学史家M?克莱因教授曾经指出:“我们也不知道埃及人是否认识到毕达哥拉斯定理(我们知道他们有拉绳人，但所传他们在绳上打结，把全长分成长度为3、4、5的三段，然后用来形成直角三角形之说，则从未在任何文件上得到证实(”不过，考古学家们发现了几块大约完成于公元前2000年左右的古巴比伦的泥版书，据专家们考证，其中一块上面刻有如下问题:“一根长度为30个单位的棍子直立在墙上，当其上端滑下6个单位时，请问其下端离开墙角有多远,”这是一个三边为3:4:5三角形的特殊例子;专家们还发现，在另一块版板上面刻着一个奇特的数表，表中共刻有四列十五行数字，这是一个勾股数表:最右边一列为从1到15的序号，而左边三列则分别是股、勾、弦的数值，一共记载着15组勾股数(这说明，勾股定理实际上早已开始在人们的知识土地中“萌芽”了。
因为勾股定理的证明方法太多，不可能全数叙述。所以，我们就来了解一下较简洁、易懂的几种方法。
方法一:课本内的方法
如图所示，S大正方形=S三角形×4+S小正方形。即
22222(a+b)= 4(1/2ab)+c，化简后为:a + b=c。
方法二:
以a,b为直角边(b,a)，以c为斜边作4个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积为1/2ab。把这4个三角形拼成如图所示的正方形。
?Rt?DAH?Rt?ABE
??HDA=?EAB
??HDA+?HAD=90?
??HAD+?EAB=90?
2 ?ABCD是个边长为c的正方形，面积为c
又??HEF+?BEA=180?
??HEF=90?
2 ?EFGH是一个边长为b-a的正方形，面积为(b-a)
22 ?4×1/2ab+(b-a)=c
222 ?a + b=c
方法三: C
以a、b为直角边，以c为斜边做两个全等的直角三角
形，则每个直角三角形的面积等于1/2ab。把这两个直角三角形拼成如图所示形
状，使A,E,B三点在一条直线上。
?RtEAD?Rt?CBE
??ADE=?BEC
??AED+?ADE=90?
??AED+?BEC=90?
??DEC=180?—90?=90?
2 ??DEC是一个等腰直角三角形，面积为1/2 c又??DAE=90?，?EBC=90?
?AD?BC
2?ABCD是个直角梯形，面积为1/2(a+b)
22 ?1/2(a+b)=2×1/2ab+1/2 c
222?a + b=c
方法四:
作三个变长分别为a,b,c的正方形，把它们拼成如图所示的形状，是H,C,B三点在一条直线上，连接BF,CD.过C作CL?DE，交AB于点M，交DE于点L。 ?AF=AC , AB=AD
?FAB=?GAD
??FAB??GAD
??FAB??GAD
2??FAB的面积为1/2a.
?GAD的面积等于矩形ADLM的面积的一半。
2 2?矩形ADLM的面积为a，同理可得，矩形MLEB的面积为b ?矩形ADLM+矩形MLEB的面积=矩形ADEB的面积
222?a + b=c
如上列举了的4种方法，都较为简洁、通俗的证明了勾股定理。勾股定理的证明方法仍然在不断增加，探究也在不断深入。
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