排列组合二项式定理二项式定理通项公式的应用
排列、组合、二项式定理?二项式定理通项公式的应用?教案
教学目标
1(加深对二项式定理通项公式的认识，熟练地运用通项公式求指定项或有关系数( 2(通过对例题的
分析
定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析
、讨论，解答，进一步培养学生抽象思维和分析问题的能力，以及运算能力(
3(进一步渗透转化及方程(组)的数学思想方法(
教学重点与难点
认识通项公式中字母的含义，熟练地运用通项公式(
教学过程
设计
领导形象设计圆作业设计ao工艺污水处理厂设计附属工程施工组织设计清扫机器人结构设计
(一)引入新课
师:请同学们回忆表示二项式定理的公式:
师:二项展开式项的系数与二项式系数是两个不同的概念，这两个系数的数值一般情况
下是不相等的，一定要区分所求是哪一种系数(另
师:求这一项用什么方法,
生:把二项式展开，然后从中找出常数项(
师:这样的办法在理论上是可以的，但在解决每一个具体问题时，是否都可操作呢, 生:如果n比较小，写出的项数不多，写出所有项还可以，但如果n太大了，比如n=100，根本不可能写出101项来(
师:那么如何处理更合理更简捷、更准确呢,
生:应该利用通项公式(
师:对，因为通项公式是二项展开式每一项的代表，展开式某一项具有的性质，从这一项的表达式也能反映出来(如何利用通项公式求常数项,
生:知道第r+1项是常数项，把r代入通项公式的右端，就能求出常数项了( 师:现在的问题转化成了第几项是常数项了，谁能看出哪一项是常数项, (学生不语，摇头)
师:看不出哪一些是常数项，怎么办,
生:列关于项数的方程，求出项数(
师:如果没第r+1项是常数项(我们要设法找到关于r的等量关系，得到关于r的方程，已知中有等量关系吗,
生:就是第r+1项是常数项，也就是这一项x的指数应该等于零，这应该是所要的等量关系(
师:那么x的指数从哪里去找呢,
生:当然还是利用通项公式(
师:通过研究我们找到了解决问题的思路(先设第r+1项为不含x
例3 求(1+x+x2)(1-x)10的展开式中，x4的系数(
师:问题提出后，我们看从什么地方入手,
生:这个题与例2类似，也是不知道含x4的项是第几项，肯定得想办法求出项数( 师:例2我们是从通项公式得出r的，这个已知式子的展开式的通项公式会求吗, 生:(摇头)
师:看来我们遇到的式子不是简单的二项式了，其实难以处理的是因式1+x+x2(我们能研究的是二项式(1-x)10，应该考虑如何转化为我们能处理的式子( 生:把(1-x)10看作单项式，将所给式子展开，得(1+x+x2)(1-x)10=(1-x)10+x(1-x)10+x2(1-x)10(在这个多项式中，每一项都含有x4的项，分别求出相加就行了(
师:具体地说说如何求每项中含x4的系数(
生:(1-x)10的展开式中的x4的系数的求法跟例2一样，x(1-x)10的展开式中x4的系数等于(1-x)10的展开式中x3的系数，同理x2(1-x)10的展开式中x4的系数等于(1-x)10的展开式中x2的系数(
师:很好～将原式局部展开之后，利用加法原理，便可得到展开式中x4的系数( (板书)
解:由于(1+x+x2)(1-x)10=(1-x)10+x(1-x)10+x2(1-x)10，则(1+x+x2)(1-x)10的展开式中x4的系数为(1-x)10的展开式中x4，x3，x2的系数之和(
而(1-x)10的展开式中含x4，x3，x2的项分别是第5项、第4项和第3项，则(1-x)10的展开式中x4，x3，x2的系数分别是:
这个展开式中是否存在常数项,如果有，求出常数项，如果没有，求出展开式的中间项( 师:大家分析一下题目，这是个开放性问题(不知道常数项是否存在，如何处理, 生:可以设第r+1项为常数项，令x的指数得零，求出r就行了(
师:那常数项就一定存在吗,
生:不一定(如果求出的r是大于等于0，且小等于n的整数，常数项就存在(否则常数项就不存在(
师:其他同学有什么见解,
生:所给的二项式跟前面几个例题中出现的二项式不一样，因为二项式的指数n没有给出来，没有n不容易判断哪一项是常数项(
师:很想知道n是多少，怎么得到,
生:没有直接写出n等于多少的已知条件，只能运用方程的思想，找关于n的方程，由已知二项展开式前三项系数成等差数列，转化成代数形式就是关于n的方程，由这个方程应该能求出n(
师:有了n之后，判断有无常数项(常数项是多少，中间项是多少的问题就转化为例1，例2的类型了(
(板书)
解:二项展开式中:
师:通过本节课的例题与习题，可以看到，二项展开式通项公式反映了项、项数、系数、指数等数量关系，因而通项公式是解决二项展开式有关项的问题的关键(在解决这类问题时，必须注意n，r的取值范围及大小关系(要注意体会方程的思想和转化思想的运用(
(三)课后作业
课堂教学设计说明
这是一堂典型的习题课，通过对例题的研究、讨论、巩固二项式定理通项公式，加
深对项的系数、项的二项式系数等有关概念的理解和认识，形成求二项展开式某些指定的项的基本技能，同时要培养学生的运算能力，逻辑思维能力，强化方程的思想和转化的思想(
在例题的配备上，我设计了一定的梯度(第一层次是给出二项式，求指定的一项，即项数已知，只需直接代入通项公式即可(如例1);第二个层次(例2)则需自己创造代入a的条件，先判断哪一项为所求，即先求项数，利用通项公式中指数的关系求出r，此后转化为第一层次的问题;第三层次更突出了数学思想的渗透，例3需要变形才能求某一项的系数，恒等变形是实现转化的手段(在求每个局部展开式的某项系数时，又有分类讨论思想的指导，而例4的设计是想增加题目的综合性(求n的过程中，调动了等差数列、组合数公式等知识，求出n后，又化归为第二个层次的问题了(
利用二项式定理通项公式，可以求展开式的某些特定的项，如有理项，系数最大(小)的项，二项式系数最大的项，含某个字母的某次幂项，常数项，都是转化为求展开式的第k项的问题(而k往往不是直接给出的，大多数情况是让解答者自己去寻求，这就要运用方程思想去处理(
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