凸函数的等价定义及其微积分性质的讨论

凸 函 关于工期滞后的函关于工程严重滞后的函关于工程进度滞后的回复函关于征求同志党风廉政意见的函关于征求廉洁自律情况的复函 数的等价定义及其微积分性质的讨论 第24卷第6期 2008年6月 商丘师范学院 JOURNALOFSHANGQIUTEACHERSCOLLEGE Vo1.24No.6 June,2008 凸函数的等价定义及其微积分性质的讨论 刘鸿基,张志宏 (商丘师范学院计算机科学系,河南商丘476000) 摘要:凸函数是一类重要的函数类,其定义完全可以用代数的形式给出.文中拳证 了凸函数的4个等价性定 义,并对凸函数的微积分性质予以讨论,得到了两个重要的微积分性质,其几何意 义与常规定义的导出密切相关. 关键词:凸函数;等价定义;微积分性质 中图分类号:O174文献标识码:A文章编号:1672—3600(2008)06—0123—03 Calculus'spropertiesandequivalencedefinensofconvexfunction LIUHong—ji,ZHANGZhi—hong (DepartmentofComputer,ShangqiuTeachersCollege,Shangqiu476000,China) Abstract:Theconvexfunctionisakindofimportantfunctionclass,itsdefinitiondefinitelyma yusethealgebrathe formtoproduce.Inthearticlehaspresentedevidencetheconvexfunctionfourequivalentdefi nition, anddiscusses totheconvexfunctionfluxionarycalculusnature,obtainstwoimportantconclusions,itsgeo metrysignificanceand definitionclosecorrelation. Keywords:convexfunction;equivalencedefinens;calculus'Sproperties 凸函数是一类重要的函数,有着较好的 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 性质,值得予以讨论.而关于凸函数,一般教材大都从几何意义方面引出定 义,描述为:凸曲线弧段上任意两点联结而成的弦,总是位于曲线弧段的下方;或者,当曲线各点处存在切线时,凸曲线弧全部 位于曲线上各点处切线的下方.前者往往作为定义使用,后者却没有讨论.我们将指出,后者是凸函数的充分必要条件,也可 以作为定义作用. 同济大学数学教研室编《高等数学》给出如下定义…: 定义1设_厂()在区问,上连续,如果对,上任意两点,,恒有 )世, 那么称_厂()在,上的图形是(向上)凹的(或凹弧);如果恒有 )>世(D1) 那么称_厂()在,上的图形是(向上)凸的(或凸弧). 凸弧对应的函数称为凸函数,关于凸函数的定义,还可用以下几种形式 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 出: 定义2设_厂()在区问,上有定义,对任意的.,:,,以及A(0,1),恒有 fCAx+(1一A):]>A厂()+(1一A)/:).(D,) 则称_厂()为区间,上的凸函数. 定义3设_厂()在区问,上有定义,对于任意的,:,,以及介于与:之间的任意,恒有 . 二兰! ,X1 二 X2一 收稿日期:2007,10—16 基金项目:河南省高等教育教学改革项目 作者简介:刘鸿基(1957一),男,河南开封人,商丘师范学院教授,主要从事微分方程与函数论方面的研究 (D3) 124商丘师范学院2008正 则称)在区间,上的凸函数. 定义4设)在区间,上有定义,对于任意的,,,以及介于与z之间的任意,恒有 I,()1l l)1I<0.(D) l,()lj 则称)为区间,上的凸函数. 上面列出了凸函数定义的4种代数形式,关于它们的等价性可以用循环推证的方 法给出证明.关于 (D)(D)(D)(D.)的循环推证见文献,下面给出(D)(D,)(D)的证明. (D)(D,):假定.<且<<,记A=,则 ^^ 0<A<1,0<l—A=兰——<1,且=Axl+(1一A)2. X2一1 将其代人(D)式,得到 ,()=人+(1一A)]>^厂()+(1一A),(), 即f(x)着+, 于是(2一1))>(2一)1)+(—I)2). 注意到一=(一)+(一.),将代人上式,得到 (一)[)一)]>(—)[)一)]. 由于2一>0,—1>0,从而由上式得到 八)一八).八)一) 一 12一 一一 ? ()j(D):由(D3)式得 整理得到 亦即 (一)[)一)]>(—)[f(x)一)], (2一x)f(x1)+(l—2))+(—1)f(x2)<0, lf(x)1lIf(x))1l)1l 结合文献[2]可知,上述4个定义是等价的.利用上述定义,可以得到凸函数的如下 两个微积分性质: 定理1设)在区间(n,b)内可导,则)在(n,6)上是凸函数的充分必要条件是:对任意 点.(.,b),恒有f(x) ?.)+厂()(—.). 证明:(充分性)设.与是(o,b)内任意不相同的两点, 记0=A1+(1一A)x2,h=1一0, 则l.+h,2.一h,o<A<1? 由于‰?(17,,b),根据假设,有)?.)+厂(.)h,(1) z)?.)一厂(.),(2) (1)(2),得 +f(x2)?(+1, 即A厂()+(1一A),()?.)=fEAx+(1一A)]. 显然,当?时,严格不等号成立,于是根据定义2知)是(n,6)内的凸函数. (必要性)由于)是(17,,b)内的凸函数,则对任意的 有 亦即 0?(口,b),?(口,b),?0及0<A<1, A+(1一A).]>A厂()+(1一A).), fE.+A(—.)]一.)>A[)-f(.)],(3) 令=.+A(—.),则介于.与之间,且A=, 第6期刘鸿基,等:凸函数的等价定义及其微积分性质的讨论125 由(3)式得到 t)一,(.),()一,(),一 ? t—0—O 因为-厂()在(o,6)内可导,当一时,t一,上式两端取极限,得到 =?, 故)?,()+厂(.)(—.). 该定理的几何意义非常明显:y=.)+厂(.)(—.)是曲线上过点(..))处的切线的方程.上 述不等式指明区间 (o,6)上的曲线弧段全部在曲线各点处切线的下方. 定理2设)是[.,6]上的凸函数,则 (??)(_ 证明:因为-厂()是闭区问[o,6]上的凸函数,因而是连续的,也是可积的. 当[._,6]时=.+6一{.,._]?因此有 8?0+6一?妄??6 即z,()?.+6+) 根据定积分性质 舳=f舳+舳 a+b 对于f),令=ct+6一, 则)=f.+b-,)(-dc)=.+b-, 66Dr0 所以fA~)dx=l+o+6一)+l+)=l[o+6一)+)]dx ?z,()=)( 再者,若令:,则=at+(1一t)6,于是U一" J[)=+(1一)6)](.一6)d(6一.)J[+(卜)6 ?(6一.).)+(1一)6)]=(6一.)(丢.)+-f(6)) 综上所述,结论得证. 该定理的意义在于,可以较为精确地估算凸函数,()在区问[o,6]上的积分值,特别是 当,()在区问[n,6]上的积分不 易计筑时. 参考文献: [1]同济大学数学系.高等数学(第6版)[M].北京:高等教育出版社,2007.149. [2]刘鸿基.关于凸函数的两个充分必要条件[J].荷泽学院,2006,28(2):10—12 [3]G.波利亚着,李志尧等译.数学与猜想(第2卷)[M].北京:科学出版社,1984.528 【责任编辑:王军】 一 ? ,毫:, 知 义 定 据 根