多元函数的极值

多元函数的极值 1． 多元函数偏导数的求法。 2． 多元函数自由极值的求法 3． 多元函数条件极值的求法. 4． 学习掌握MATLAB软件有关的命令。 42求函数的极值点和极值 z,x,8xy，2y,3 1 对于多元函数的自由极值问题,根据多元函数极值的必要和充分条件,可分为以下几个步骤: 步骤1.定义多元函数z,f(x,y) 步骤2.求解正规方程f(x,y),0,f(x,y),0,得到驻点 xy 222,z,z,z步骤3.对于每一个驻点,求出二阶偏导数 (x,y),,,A,B,C,0022,x,y,x,y 22步骤4. 对于每一个驻点AC,BAC,B,0,计算判别式,如果,则该驻点是(x,y)00 2极值点,当A,0A,0AC,B,0为极小值, 为极大值;,如果,判别法失效,需进一步判断; 2如果AC,B,0,则该驻点不是极值点. 2D 设函数DDz,f(x,y)在有界区域上连续，则f(x,y)在上必定有最大值和最小值。求Df(x,y)在上的最大值和最小值的一般步骤为： 步骤1. 计算Df(x,y)在内所有驻点处的函数值； 步骤2. 计算Df(x,y)在的各个边界线上的最大值和最小值； 步骤3. 将上述各函数值进行比较，最终确定出在D内的最大值和最小值。 3MATLAB 1 MATLAB中主要用diff求函数的偏导数,用jacobian求Jacobian矩阵。 diff(f,x,n) 求函数f关于自变量x的n阶导数。 jacobian(f,x) 求向量函数f关于自变量x(x也为向量)的jacobian矩阵。 可以用help diff, help jacobian查阅有关这些命令的详细信息 42 1 求函数的极值点和极值.首先用diff命令求z关于x,yz,x,8xy，2y,3 的偏导数 >>clear; syms x y; >>z=x^4-8*x*y+2*y^2-3; >>diff(z,x) >>diff(z,y) 结果为 ans =4*x^3-8*y ans =-8*x+4*y ,z,z3即,4x,8y,,,8x，4y.再求解正规方程，求得各驻点的坐标。一般方程组的符,x,y 号解用solve命令，当方程组不存在符号解时，solve将给出数值解。求解正规方程的MATLAB 代码为： >>clear; >>[x,y]=solve('4*x^3-8*y=0','-8*x+4*y=0','x','y') 结果有三个驻点，分别是P(-2,-4),Q(0,0),R(2,4).下面再求判别式中的二阶偏导数： >>clear; syms x y; >>z=x^4-8*x*y+2*y^2-3; >>A=diff(z,x,2) >>B=diff(diff(z,x),y) >>C=diff(z,y,2) 结果为 A=2*x^2 B =-8 C =4 由判别法可知P(,4,,2)Q(4,2)和都是函数的极小值点，而点Q(0,0)不是极值点，实际上，P(,4,,2)Q(4,2)和是函数的最小值点。当然，我们可以通过画函数图形来观测极值点与鞍 点。 >>clear; >>x=-5:0.2:5; y=-5:0.2:5; >>[X,Y]=meshgrid(x,y); 2 >>Z=X.^4-8*X.*Y+2*Y.^2-3; >>mesh(X,Y,Z) >>xlabel('x'),ylabel('y'),zlabel('z') 结果如图6.1 图6.1 函数曲面图 可在图6.2种不容易观测极值点与鞍点,这是因为z的取值范围为[-500,100],是一幅远景图,局部信息丢失较多,观测不到图像细节.可以通过画等值线来观测极值. >>contour(X,Y,Z, 600) >>xlabel('x'),ylabel('y') 结果如图6.2 图6.2 等值线图 由图6.2可见,随着图形灰度的逐渐变浅,函数值逐渐减小,图形中有两个明显的极小值点 P(,4,,2)Q(4,2)和.根据提梯度与等高线之间的关系,梯度的方向是等高线的法方向,且指向函数增加的方向.由此可知,极值点应该有等高线环绕,而点Q(0,0)周围没有等高线环绕,不 3 是极值点,是鞍点. 求函数z,xy在条件下的极值..构造Lagrange函数 x，y,1 L(x,y),xy，,(x，y,1)求Lagrange函数的自由极值.先求L关于的一阶偏导数 x,y,, >>clear; syms x y k >>l=x*y+k*(x+y-1); >>diff(l,x) >>diff(l,y) >>diff(l,k) ,L,L,L得,y，,,x，,,x，y,1,再解正规方程 ,,,x,y,, >>clear; syms x y k >>[x,y,k]=solve('y+k=0','x+k=0','x+y-1=0','x','y','k') 111x,,y,,,,,,得进过判断,此点为函数的极大值点,此时函数达到最大值. 222 223 抛物面被平面截成一个椭圆,求这个椭圆到原点的最x，y，z,1z,x，y 长与最短距离. 这个问题实际上就是求函数 222 f(x,y,z),x，y，z 22在条件及x，y，z,1下的最大值和最小值问题.构造Lagrange函数 z,x，y 22222 L(x,y,z),x，y，z，,(x，y,z)，,(x，y，z,1) 求Lagrange函数的自由极值.先求Lx,y,z,,,,关于的一阶偏导数 >>clear; syms x y z u v >>l=x^2+y^2+z^2+u*(x^2+y^2-z)+v*(x+y+z-1); >>diff(l,x) >>diff(l,y) >>diff(l,z) >>diff(l,u) >>diff(l,v) 得 ,L,L,L,2x，2x,，,,,2y，2y,，,,,2z,,，, ,x,y,z 4 ,L,L22 ,x，y,z,,x，y，z,1,,,, 再解正规方程 >>clear; >>[x,y,z,u,v]=solve('2*x+2*x*u+v=0','2*y+2*y*u+v=0','2*z-u+v=0', 'x^2+y^2-z=0','x+y+z-1=0','x','y','z','u','v') 得 511,1,3,,,3,3,,,,7,3,x,y,,z,2,3. 332 上面就是Lagrange函数的稳定点，求所求的条件极值点必在其中取到。由于所求问题存在 22最大值与最小值（因为函数在有界闭集，上连续，f{(x,y,z):x，y,z,x，y，z,1}从而存在最大值与最小值），故由 ,1,3,1,3f(,,2,3.),9,53 22 求得的两个函数值，可得椭圆到原点的最长距离为9，539,53，最短距离为。 22224 求函数在上半圆上的最大值和z,x，y,4x,2y，7x，y,16,y,0最小值。 首先画出等高线进行观测，相应的MATLAB程序代码为： >>clear; >>x=-4:0.1:4; y=-4:0.1:4; >>[X,Y]=meshgrid(x,y); >>Z=X.^2+Y.^2-4*X-2*Y+7; >>contour(X,Y,Z,100) >>xlabel('x'),ylabel('y') 4结果如图6.3 2 0 y -2 -4 -4-2024 图6.3 等值线 x 5 D观测图6.3可看出，在区域内部有唯一的驻点，大约位于在该点处汉 书 关于书的成语关于读书的排比句社区图书漂流公约怎么写关于读书的小报汉书pdf 趣的最(2,1)小值。在圆弧与直线的交点处取得最大值，大约位于。下面通过计算加以验证。 (,4,2) 求函数在区域D内的驻点，计算相应的函数值。求z关于x,y的偏导数 >>clear; syms x y; >>z=x^2+y^2-4*x-2*y+7; >>diff(z,x) >>diff(z,y) ,z,z结果得,2x,4,,2y,2,解正规方程 ,x,y >>clear; [x,y]=solve('2*x-4=0','2*y-2=0','x','y') 得驻点为(2,1),相应的函数值为2。 求函数在直线边界上的最大值和最小值。将代入原函数，则二y,0,,4,x,4y,0元函数变为一元函数 2 z,x,4x，7,,4,x,4.首先观测此函数图形，相应的MATLAB程序代码为： >>x=-4:0.01:4; y=x.^2-4*x+7; >>plot(x,y); 40 >>xlabel('x'),ylabel('z') 35结果如图6.4所示 30 25 20 15z 10 5 0-4-3-2-101234 x 图6.4 函数图 x,,4x,2由图6.4可看出，当时函数取得最大值，时函数取得最小值。下面用计算验证。对函数求导 >>clear; syms x ; >>z=x^2-4*x+7; diff(z,x) dzx,2x,,4,2x,4得，可知驻点为，而边界点为，计算着三个点上的函数值可得当dx x,,4x,2时函数取得最大值39，时函数取得最小值3。 22求函数在圆弧边界线上x，y,16,y,0的最大值和最小值。此边界线可用参数方程 x,4cost,y,4sint,0,t,, 6 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示。则二元函数变为一元函数 z,,16cost,8sint，23 首先观测此函数图形，相应的MATLAB程序代码为： >>t=0:0.01*pi:pi; z=-16*cos(t)-8*sin(t)+23; >>plot(t,z); >>xlabel('t'),ylabel('z') 结果如图6.5所示 40 35 30 25 z20 15 10 500.511.522.533.5t 图6.5 函数图 由图6.5可看出，当t,0.5时函数取得最小值，时函数取得最大值。下面用计算x,,验证。对函数求导 >>clear; syms t ; >>z=-16*cos(t)-8*sin(t)+23; diff(z,t) dz得,18sint,8cost,解正规方程 dt >>clear; >>t=solve('16*sin(t)-8*cos(t)=0','t') >>numeric(t) %求出t的数值 1得t,0.4636t,arctan,0,4636t,0,,，边界点为，计算着三个点上的函数值可得当时2 函数取得最小值0.5111，t,,,(x,,4,y,0)时函数取得最小值39。 综上所述，在点(2,1)处函数取得最小值2，在点(-4,0)处函数取得最大值39。 441. 求z,x，y,4xy，1的极值，并对图形进行观测。 22222. 求函数，，在圆周的最大值和最小值。 fx,y,x，2yx，y,1 2223. 在球面求出与点(3,1,-1)距离最近和最远点。 x，y，z,1 224. 求函数f(x,y,z),x，2y，3zx,y，z,1在平面与柱面的交线上x，y,1 的最大值。 225. 求函数x,1,y,1,x，y,1在三条直线所围区域上的最大值和最小z,x，y 值。 7