基本初等函数
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指数函数及其性质
一、指数与指数幂的运算
(一)根式的概念
，且，那么x叫做a的n次方根(当n是奇 1、如果
数时，a 的n
次方根用符号n是偶数时，正数a的正的n
表
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示，负的n
次方根用符号0的n次方根是0;负数a没有n次方根(
2
n叫做根指数，a叫做被开方数(当n为奇数时，a为任意实数;当n 为偶数
时，(
3、根式的性质
:;当n为奇数时
，
;当n为偶数时，
(
m
n(二)分数指数幂的概念 1、
正数的正分数指数幂的意义是:且)(0的正分数指数幂等
于0(
2
、正数的负分数指数幂的意义是:a
分数指数幂没有意义(
注意口诀:底数取倒数，指数取相反数(
3、;
4、指数幂的运算性质 且(0的负
5、0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义。
二、指数函数的概念
一般地，函数且叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义
域为R( 1 指数函数的定义是一个形式定义; 注意:?
2 注意指数函数的底数的取值范围不能是负数、零和1( ?
三、指数函数的图象和性质
x
1)在[a，b]上， x注意:利用函数的单调性，结合图象还可以看出: (
且值域是[f(a),f(b)]或[f(b),f(a)]
(2)若，则f(x;f(x)取遍所有正数当且仅当
(3)对于指数函数且，总有
(4)当时，若，则
四、底数的平移
对于任何一个有意义的指数函数:
在指数上加上一个数，图像会向左平移;减去一个数，图像会向右平移。
在f(X)后加上一个数，图像会向上平移;减去一个数，图像会向下平移。
即“上加下减，左加右减”
五、幂的大小比较
常用方法(1)比差(商)法:
(2)函数单调性法;
(3)中间值法:要比较A与B的大小，先找一个中间值C，再比较A与C、B
与C的大小，由不等式的传递性得到A与B之间的大小。
注意:
(1)对于底数相同，指数不同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数的单调性来判断。
例如:y1=34,y2=35
(2)对于底数不同，指数相同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数图像的变化规律来判断。
例如:y1=(1/2)4,y2=34,
(3)对于底数不同，且指数也不同的幂的大小比较，则可以利用中间值来比较
?对于三个(或三个以上)的数的大小比较，则应该先根据值的大小(特别是与0、
1的大小)进行分组，再比较各组数的大小即可。
? 在比较两个幂的大小时，如果能充分利用“1”来搭”桥”(即比较它们与x
“1”的大小)，就可以快速的得到答案。由指数函数的图像和性质可知“同大异小”。即当底数a和1与指数x与0之间的不等号同向时，ax大于1，异向时ax小于1.
对数函数及其性质
一、对数与对数的运算
(一)对数
1(对数的概念:一般地，如果，那么数x叫做以(a为底((N的对数，记作:(a— 底数，N— 真数，logaN— 对数式)
说明:? 注意底数的限制，且;
?;
?注意对数的书写格式(logaxN
两个重要对数:? 常用对数:以10为底的对数lgN;
? 自然对数:以无理数为底的对数的对数lnN(
指数式与对数式的互化
幂值 真数
(二)对数的运算性质
如果，且，，，那么:
,logaN; N
( ? logM
logbab? ? ? ，logaN;?
? loga1=0 ? log a a=1 ? a log a N=N ? log a a b=b
注意:换底公式
(，且;，且;)( logca
1n( logab; ?推论(利用换底公式) ?
二、对数函数
1、对数函数的概念:函数，且叫做对数函数，其中x是自变量，函
数的定义域是(0，+?)(
注意:? 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。如:
，
x 都不是对数函数，而只能称其为对数型函数( 5
? 对数函数对底数的限制:，且(
三、对数函数的图像和性质:
四、对数的平移、大小比较与指数函数类似
反函数
一、反函数定义
设函数的定义域为A，值域为C，从式子中解出x，得式子
(如果对于y在C中的任何一个值，通过式子，x在A中都有
唯一确定的值和它对应，那么式子表示x是y的函数，函数叫做函数的反函数，记作
，习惯上改写成(
二、反函数的求法
?确定反函数的定义域，即原函数的值域; ?从原函数式中反解出?将
(y);
(y)改写成，并注明反函数的定义域(
三、反函数的性质
?原函数与反函数
(x)的图象关于直线对称(
?函数的定义域、值域分别是其反函数
„
(x)的值域、定义域(
的图象上，则P(b,a)在反函数?一般地，函数 ?若P(a,b)在原函数
要有反函数则它必须为单调函数(
(x)的图象上(
幂函数及其性质
一、幂函数的定义
一般地，函数叫做幂函数，其中x为自变量，是常数( 二、幂函数的
图象
三、幂函数的性质
1、图象分布:幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象(
?幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于y轴对称);
?幂函数是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称);
?幂函数是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限(
2、过定点:所有的幂函数在都有定义，并且图象都通过点(1,1)(
3、单调性:?如果，则幂函数的图象过原点，并且在上为增函数(
?如果，则幂函数的图象在上为减函数，在第一象限内，图象无限接近x轴与y轴(
当为奇数时，幂函数为奇函数， 4、奇偶性:?
?当为偶数时，幂函数为偶函数( ?当(其中p,q互质，p和)， p
?若p为奇数q为奇数时，则是奇函数，
?若p为奇数q为偶数时，则是偶函数，
?若p为偶数q为奇数时，则是非奇非偶函数(
5、图象特征:幂函数，
?当时，?若，其图象在直线下方，
?若，其图象在直线上方，
?当时，?若，其图象在直线上方，
，其图象在直线下方( ?若
练习题
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