二次方程根与系数的关系

一元二次方程根与系数的关系 一、一元二次方程的根的判断式 一元二次方程 ，用配方法将其变形为： ， （1） 当 时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实数根： ； （2） 当 时，右端是零．因此，方程有两个相等的实数根： ； （3） 当 时，右端是负数．因此，方程没有实数根． 由于可以用 的取值情况来判定一元二次方程的根的情况．因此，把 叫做一元二次方程 的根的判别式， 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示为： ． 【例1】不解方程，判断下列方程的实数根的个数： (1)         (2)         (3) 【例2】已知关于 的一元二次方程 ，根据下列条件，分别求出 的范围： (1) 方程有两个不相等的实数根；            (2) 方程有两个相等的实数根 (3)方程有实数根；                        (4) 方程无实数根． 二、一元二次方程的根与系数的关系 定理：如果一元二次方程 的两个根为 ，那么： 【例3】若 是方程 的两个根，试求下列各式的值： （1） ；    （2） ；    （3） ；    （4） ． 【例4】已知关于 的方程 ，根据下列条件，分别求出 的值． （1）方程两实根的积为5；      （2）方程的两实根 满足 ． 【例5】已知 是一元二次方程 的两个实数根． （1）是否存在实数 ，使 成立？若存在，求出 的值；若不存在，请您说明理由． （2）求使 的值为整数的实数 的整数值． 课后练习： 1．一元二次方程 有两个不相等的实数根，则 的取值范围是          (        ) A．               B．           C．               D． 2．若 是方程 的两个根，则 的值为                          (        ) A．                   B．                   C．                   D． 3．已知菱形ABCD的边长为5，两条对角线交于O点，且OA、OB的长分别是关于 的方程 的根，则 等于                                          (        )   A．                   B．                     C．                 D． 4．若实数 ，且 满足 ，则 的值为          (    )   A．                   B．                     C．                 D． 5．若方程 的两根之差为1，则 的值是               ． 6．设 是方程 的两实根， 是关于 的方程 的两实根， 则 =          ， =               ． 7．对于二次三项式 ，小明得出如下结论：无论 取什么实数，其值都不可能等于10，您是否同意他的看法？请您说明理由． 8．已知关于 的一元二次方程 ． （1）求证：不论为任何实数，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两根为 ，且满足 ，求 的值． 9．已知关于 的方程 ． （1） 取何值时，方程存在两个正实数根？ （2）若该方程的两根是一个矩形相邻两边的长，当矩形的对角线长是 时，求 的值． 10．若 是关于 的方程 的两个实数根，且 都大于1． （1）求实数 的取值范围；                    （2）若 ，求 的值． 参考答案： 一元二次方程根与系数的关系 现行初中数学 教材 民兵爆破地雷教材pdf初中剪纸校本课程教材衍纸校本课程教材排球校本教材中国舞蹈家协会第四版四级教材 主要要求学生掌握一元二次方程的概念、解法及应用，而一元二次方程的根的判断式及根与系数的关系，在高中教材中的二次函数、不等式及解析几何等章节有着许多应用．本节将对一元二次方程根的判别式、根与系数的关系进行阐述． 一）、一元二次方程的根的判断式 一元二次方程 ，用配方法将其变形为： (1) 当 时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实数根： (2) 当 时，右端是零．因此，方程有两个相等的实数根： (3) 当 时，右端是负数．因此，方程没有实数根． 由于可以用 的取值情况来判定一元二次方程的根的情况．因此，把 叫做一元二次方程 的根的判别式，表示为： 【例1】不解方程，判断下列方程的实数根的个数： (1)         (2)         (3) 解：(1) ，∴ 原方程有两个不相等的实数根． (2) 原方程可化为： ，∴ 原方程有两个相等的实数根． (3) 原方程可化为： ，∴ 原方程没有实数根． 说明：在求判断式时，务必先把方程变形为一元二次方程的一般形式． 【例2】已知关于 的一元二次方程 ，根据下列条件，分别求出 的范围： (1) 方程有两个不相等的实数根；            (2) 方程有两个相等的实数根 (3)方程有实数根；                        (4) 方程无实数根． 解： (1) ；        (2) ； (3) ；            (4) ． 二）、一元二次方程的根与系数的关系 一元二次方程 的两个根为： 所以： ， 定理：如果一元二次方程 的两个根为 ，那么： 说明：一元二次方程根与系数的关系由十六世纪的法国数学家韦达发现，所以通常把此定理称为”韦达定理”． 【例3】若 是方程 的两个根，试求下列各式的值： (1) ；    (2) ；    (3) ；        (4) ． 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 ：本题若直接用求根公式求出方程的两根，再代入求值，将会出现复杂的计算．这里，可以利用韦达定理来解答． 解：由题意，根据根与系数的关系得： (1) (2) (3) (4) 说明：利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形： ， ， ， ， ， 等等．韦达定理体现了整体思想． 【例4】已知关于 的方程 ，根据下列条件，分别求出 的值． (1) 方程两实根的积为5；    (2) 方程的两实根 满足 ． 分析：(1) 由韦达定理即可求之；(2) 有两种可能，一是 ，二是 ，所以要分类讨论． 解：(1) ∵方程两实根的积为5 ∴ 所以，当 时，方程两实根的积为5． (2) 由 得知： ①当 时， ，所以方程有两相等实数根，故 ； ②当 时， ，由于 ，故 不合题意，舍去． 综上可得， 时，方程的两实根 满足 ． 说明：根据一元二次方程两实根满足的条件，求待定字母的值，务必要注意方程有两实根的条件，即所求的字母应满足 ． 【例5】已知 是一元二次方程 的两个实数根． (1) 是否存在实数 ，使 成立？若存在，求出 的值；若不存在，请您说明理由． (2) 求使 的值为整数的实数 的整数值． 解：(1) 假设存在实数 ，使 成立． ∵ 一元二次方程 的两个实数根 ∴ ， 又 是一元二次方程 的两个实数根 ∴ ∴ ，但 ． ∴不存在实数 ，使 成立． (2) ∵ ∴ 要使其值是整数，只需 能被4整除，故 ，注意到 ， 要使 的值为整数的实数 的整数值为 ． 说明：(1) 存在性问题的题型，通常是先假设存在，然后推导其值，若能求出，则说明存在，否则即不存在． (2) 本题综合性较强，要学会对 为整数的分析方法． 1． B    2． A    3．A    4．A      5． 9或             6．           7．正确    8．       9． 10．(1)     ；    (2) ．