楚雄师范学院数学系课程
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一教案21教
楚雄师范学院数学系课程教案--数学分析(一)教案2-1-教案6
(数学分析(一),周学时6节) 周 第5周 (2009.9.28-2009.10.4) 次
课 第二章 数列极限
题
快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题
?2.1 数列极限
学 2学时
时
一 数列极限的定量定义 教学
内容
(主
要)
1.深刻理解极限的背景、问题、启示、探索. 教
2.数列极限的定量定义. 学
目
标
1.深刻理解极限的背景、问题、启示、探索. 教学2.数列极限的定量定义. 重点
1.深刻理解极限的背景、问题、启示、探索. 教学2.数列极限的定性定义. 难点
教学
方法1.分析教学方法、对比教学方法、探索式的教学方法、讨论教学方法、综合教学方法.
2.借助多媒体辅助教学. 与手
段
第二章 数列极限
?2.1 数列极限
,背景问题 非规则几何图形的面积
我们能用较简单的方法求一些规则的几何图形的面积.如,由直线与直线围成的面积(如下
图所示).
教
学
进
程 (教 学设 计)
图2.1.1
但我们不能求一些非规则的几何图形的面积.如,由直线与曲线围成的面积,由曲线与曲线
围成的面积,由曲线自身围成的面积.
48
,背景问题1 探求圆的面积. S
探究1
S(1) 在圆内作内接正六边形,则可计算出其面积,设其面积为,它是圆的面积的近似值1(不足);
S(2) 在圆内作内接正十二边形,则可计算出其面积,设其面积为,它是圆的面积的近似2值(不足);
S(3) 在圆内作内接正二十四边形,则可计算出其面积,设其面积为,它是圆的面积的近3似值(不足);
这样,我们可以在圆内不断的作正多边形,随着正多边形边数的不断的增加,我们得到圆
的面积的一列近似值(不足)(刘微内割圆术):
SSSS,,,,,.,,,,,,. 123n
图2.1.2
探究2
S(1) 在圆外作外切正六边形,则可计算出其面积,设其面积为,它是圆的面积的近似值1(不足);
S(2) 在圆内作外切正十二边形,则可计算出其面积,设其面积为,它是圆的面积的近似2值(不足);
S(3) 在圆内作外切正二十四边形,则可计算出其面积,设其面积为,它是圆的面积的近3似值(不足);
这样,我们可以在圆内不断的作外切正多边形,随着正多边形边数的不断的增加,我们得
到圆的面积的一列近似值(不足)(刘微外割圆术):
SSSS,,,,,.,,,,,,. 123n
,背景问题2 探求所围曲边梯形的面积. xaxbyyfx,,,,,,,0,0S,,
问题 求所围曲边梯形的面积. xaxbyyfx,,,,,,,0,0S,,
探究
(1) 化整为零(将曲边梯形分成一些个小曲边梯形)
在等距插入个分点 ab,n,1,,
axxxxxb,,,,,,,,,,, 0121nn,
n将曲边梯形分成个小曲边梯形,记第个小曲边梯形的面积为,则 Akn,,,,1,2,,k,,k
n
SA,. ,kk,1
(2) 以直代曲(用小矩形代替小曲边梯形)
xx,ba,kk,1,,任取,作以区间的长为宽,为长的,,xx,,xxx,f,,,,,,,kkkk,1kk,1k2n
49
矩形,则
xx,ba,,,kk,1Af,,. kn,,,,1,2,,,,k,,2n,,
(3) 积零为整(用小矩形代替面积和代替曲边梯形面积)
nxx,ba,,,kk,1SSf,,,. ,n,,2n,,k,1
y
x,xxoax bk,1kk,1k
图2.1.3
这样,随着插入的等距分点的不断的增加,我们得到曲边梯形的面积的一列近似值 ab,,,
(刘微内割圆术):
SSSS,,,,,.,,,,,,. 123n
,背景启示
我为了求圆的面积和曲边梯形的面积,采用的方法是用多边形的面积,求出圆的面积和曲边梯形的面积的近似值.我们不能初等的直接得到圆的面积和曲边梯形的面积,但我们可由圆的面积和曲边梯形的面积的一系列近似值来逐步逼近圆的面积和曲边梯形的面积.其本质是归结为研究一个数列
SSSS,,,,,.,,,,,, 123n
的变化状态.
但我们不能求一些非规则的几何图形的面积.如,由直线与曲线围成的面积,由曲线与曲线围成的面积,由曲线自身围成的面积.
,问题解决
我们为了求一些非规则的几何图形的面积.如,由直线与曲线围成的面积,由曲线与曲线围成的面积,由曲线自身围成的面积,我们需要专们研究数列的变化状态.
一 数列极限的定量定义
(一) 一般数列的变化状态
,背景问题
研究下列数列的变化状态.
n,1(1) : ,,,,
,,,,,,,,,,,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,11,1,..(摆动)
n,,11,,,,,, (2) : ,,2,,,,
0,1,0,1,0,1,0,1,0,1,0,1,0,1,0,1,0,1.,,,.(摆动)
n2(3) : ,,
2,4,8,16,32,64,128,256,512,1024,2048,.,,,(无限增大)
2,n(4) : ,,
50
. (绝对值无限增大) ,,,,,,,,,,,,1,4,9,16,25,36,49,64,81,
n,,1,,,,,4(5) ,: ,,n,,,,
11111.(无限逼近) 441,4,4,4,4,4,.,,,,,,,,,23456
,背景启示
研究结果表明,并非每一个数列都有固定的变化状态.在上述5个数列中,仅有数列
n,,1,,,,,4,有较好固定的变化状态,这种数列的较好固定的变化状态与圆的面积和曲边梯形,,n,,,,
的面积的一系列近似值归结成的数列
SSSS,,,,,.,,,,,, 123n的变化状态相同.
,问题解决
我们引入下列概念:
nn,,1,,1,,,,,,4n,定义1 当无限增大时,数列的项无限的趋于常数,即 ,44,,nn,,,,
nn,,,,11,,,,,,,,,,44,,,称数列以为极限,或说是数列的极限,记作 44,,,,nn,,,,,,,,
nn,,,1,1,,,,lim44,,,,,或. ,,,,n44,,n,,,,nn,,
一般地,我们引入下列概念:
naa定义2 如果当无限增大时,数列的项无限的趋于某个常数,则称数列以aa,,,,nnn
aa为极限,或说是数列的极限,记作或. lim,aa,aaan,,,,,,,nnn,,n,问题讨论
(1) 该定义不严密.
nnn,1如,当无限增大时,我们可以说,数列的项,1无限的趋于常; 我们也可以1,,,,,,
nnn,1说,当无限增大时,数列的项,1无限的趋于常. ,1,,,,,,
nn,,11,,11,,,,,,,,n同样,当无限增大时,我们可以说,数列的项无限的趋于常数;0,,22,,,,
nn,,11,,11,,,,,,,,我们也可以说,数列的项无限的趋于常数; 1,,22,,,,
(2) 该定义表述不严谨.
aana按该定义是数列的极限,是指当无限增大时,数列的项无限的靠近,这aa,,,,nnn
里有两个问题未明确:
ana(a) 要大什么程度,数列的项才无限的靠近? a,,nn
naa(b) 当无限增大时,数列的项无限的靠近,它的靠近程度是什么? a,,nn
nn,,1,,1,,,,,,4n,如,当无限增大时,数列的项,无限的靠近,数列 44,,nn,,,,
51
nn,,1,,1,,,,,,4,的项也无限的靠近. ,4.54,,nn,,,,
(3) 该定义运算不方便.
(二) 数列极限“”定义 ,,N
,背景问题
定义2是数列的变化状态一个定性描述,该定性描述不严密,表述不严谨,运算不方a,,n
便.
,背景启示
我们需研究定义2中数列的变化状态的定量描述,主要解决 a,,n
ana(a) 要大什么程度,数列的项才无限的靠近? a,,nn
naa(b) 当无限增大时,数列的项无限的靠近,它的靠近程度是什么? a,,nn
,问题解决
n,,1,,,,,4,1 实验---研究变化状态的定量描述. ,,n,,,,
n,,,1,, lim44.,,,,,,n,,n,,
n,1,,n当无限增大时, 无限的趋于. ,44n
n1,,,44n,,当充分大时, 能任意小,且能保持任意小. n
n,1,,11144,,, (1) 要使,即,,则只需,即当时,有 n,10n,10n10n10
n,1,,144,,,, n10
1即该数列从第项起,每一项与的靠近程度均小于; 11410
n1,,,11144,,,(2) 要使,即,则只需,即当时,有 ,n,100n,100n100n100
n1,,,144,,,, n100
1即该数列从第项起,每一项与的靠近程度均小于; 4101100
52
n,1,,11144,,,(3) 要使,即,则只需,即当 ,n,100000n100000n100000
时,有 n,100000
n,1,,144,,,, n100000
1即该数列从第项起,每一项与的靠近程度均小于; 4100001100000
n,1,,144,,,,, (4) 一般地,任给一无论怎样小的正数 ,要使,即, ,,,,,0,,nn
11则只需,即当时,有 nn,,,,
n,1,,44,,,,, n
1,,N,,1,即该数列从第项起,每一项与的靠近程度均小于; 4,,n,,
于是,我们有
n,,,1,, lim44.,,,,,,n,,n,,
n,1,,1,,,,,,,0,,N44,,,,当时, . nN,,,nn,,
n,,1,,,,,4,该变化状态的定量描述解决了: ,,n,,,,
nn,,1,,1,,1,,,,,,nN,,4,(a) 当时,数列的项可无限的靠近. ,44,,,,nnn,,,,,,
nn,,1,,1,,,,,,4,n(b) 当无限增大时, 数列的项可无限的靠近程度可比任给无,44,,nn,,,,
,论怎样小的正数都小.
于是,我们引入下列概念:
,定义3 任给无论怎样小的正数,均存在充分大的自然数,当时, NN,,nN,,,,
nnn,,,,,111,,,,,,,,,,,,44,,,,44,,有,称数列以为极限,或说是数列的极限,记44,,,,nnn,,,,,,,,
作
nn,,,1,1,,,,lim44,,,,,或. ,,,,n44,,n,,,,nn,,
2 抽象---的定义 limaa,n,,n
一般地,我们引入下列概念:
53
a,定义4 设数列,是定数.若任给无论怎样小的正数,均存在充分大的自然数 a,,n
aa,当时,就有,称数列以为极限,或说是数列的极NN,,aa,,,aanN,,,,,,,nnn
限,记作
,或. limaa,aan,,,,,nn,,n
即
,当时,有. ,,,,,,0,NNlimaa,aa,,,nN,,,,nn,,
3 解释---的几何意义 limaa,n,,
几何意义 limaa,n,,
任取开区间 aa,,,,,,,,0,,
a 中总存在一项 a,N,,Nn
a 以后的所有项 ,,nNN
均落在之内 xa,,,aa,,,,,,,n
aaaaa,,,,,,,,aaaaa,,,,,.,,,, 1234NNNNNN,,,,,12345
( )
a,,a a,,
图2.1.4
【注】
,(1) “”定义中的必须具有任意小性; ,,N
,(2) “”定义中的只依赖于,且不唯一,凡是比大的自然数都NN,,,,NNN,,
可作为“”定义中的; ,,NN
,35,(3) 2,4,,,,等都可作为定义中的. "",,N,,,,,3
课后
教学
总结
课
外
作
业
54
实 践
与
思
考
单元 测试
与分
析
55