数学系课程教案--数学分析(一)

数学系课程 教案 中职数学基础模块教案 下载北师大版¥1.2次方程的根与系数的关系的教案关于坚持的教案初中数学教案下载电子教案下载 --数学 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 (一) 楚雄师范学院数学系课程教案--数学分析(一)教案3-1-教案13 (数学分析(一),周学时6节) 周 第8周 (2009.10.19-2009.10.25) 次 第三章 函数极限 课 ?3.1函数极限的定义 题 学 2学时 时 x,,3.1.1 时,函数的极限 fx，， 教学x,,一 时,函数的极限 fx，， 内容x,,二 用定义证明时函数极限的基本程序 (主x,,三 用定义证明时函数极限的实例 要) 1.深刻理解并掌握,,的背景、问题、启示、探索. limfxlimfxlimfx，，，，，，x,，,x,,,x,,教 2.深刻理解并掌握,,. limfxlimfxlimfx，，，，，，学 x,，,x,,,x,,目 3.能熟练应用,,的定义验证极限. limfxlimfxlimfx，，，，，，x,，,x,,,x,,标 1.,,的背景、问题、启示、探索. limfxlimfxlimfx，，，，，，x,，,x,,,x,, 2.,,. limfxlimfxlimfx，，，，，，教学x,，,x,,,x,, 重点 3.应用,,的定义验证极限. limfxlimfxlimfx，，，，，，x,，,x,,,x,, 1.,,的背景、问题、启示、探索. limfxlimfxlimfx，，，，，，x,，,x,,,x,, 2.,,. limfxlimfxlimfx，，，，，，教学x,，,x,,,x,, 难点 3.应用,,的定义验证极限. limfxlimfxlimfx，，，，，，x,，,x,,,x,, 教学 方法1.分析教学方法、对比教学方法、探索式的教学方法、讨论教学方法、综合教学方法. 2.借助多媒体辅助教学.) 与手 段 第三章 函数极限 教 学 ?3.1 函数极限 进 程 ,背景问题 (教 数列是一类最简单的函数,它的定义域是自然数集,或是自然数fnan,,,,,1,2,.，，，，n学设 集的无穷子集.由于的自变量变化单一,仅有一种变化状态,故只需研fnan,,,,,1,2,.计) ，，，，n na究数列的一种变化状态,就是只需研究当无限增大时,数列的项无限的变化状态.通a,,nn 92 过研究数列的极限,我们知道,数列极限的 思想 教师资格思想品德鉴定表下载浅论红楼梦的主题思想员工思想动态调查问卷论语教育思想学生思想教育讲话稿 、方法、理论是非常重要的. ,背景启示 因为函数的定义域是实数集,或是实数集的子集,故函数的定义域的结构比fxfx，，，，数列定义域的结构复杂的多,函数的自变量变化状态比fnan,,,,,1,2,.fx，，，，，，n 的自变量变化复杂的多.研究函数的变化状态,一般要研究六种fnan,,,,,1,2,.fx，，，，，，n 情况: x(1) :无限增大; x,，, x,,,x(2) :无限减小; x,,(3) :无限增大; x ,xx,xxx(4) :从的左边趋于; 000 ，xx,xxx(5) ;从的右边趋于; 000 xx,xxx(6) :从的左右两边趋于. 000 而的变化状态会出现四种情况: fx，， a(1) :趋于; fxa,fx，，，， (2) :无限增大; fx,，,fx，，，， (3) :无限减小; fx,,,fx，，，， (4) :fx无限增大. fx,,，，，， 一般地说,研究函数的变化状态,一般要研究二十四种情况: fx，， fxa,,fxa,,,,，，，， ,,fx,，,,fx,，,,，，，，,,x,,,(1) 时, ; (2) 时,; x,，,,,fx,,,,fx,,,,，，，，,, ,,fx,,.fx,,.，，，，,, fxa,,fxa,,,,，，，， ,,fx,，,,fx,，,,，，，，,,,xx,(3) 时,; (4) 时,; x,，,,,0fx,,,,fx,,,,，，，，,, ,,fx,,.fx,,.，，，，,, fxa,,fxa,,,,，，，， ,,fx,，,,fx,，,,，，，，,,，xx,xx,(5) 时,; (6) 时,. ,,00fx,,,,fx,,,,，，，，,, ,,fx,,.fx,,.，，，，,, ,问题解决 (1) 对比数列极限,采用对比研究的方法,研究时,的变化lim,aa,fxa,x,，,，，n,,n 趋势. x,,,(2) 对比时,的变化趋势,采用对比研究的方法,研究时, fxa,x,，,，， 的变化趋势. fxa,，， x,,,(3) 对比,时,的变化趋势,采用对比研究的方法,研究fxa,x,，,，， x,,时,的变化趋势. fxa,，， xx,x,,(4) 对比时,的变化趋势,采用对比研究的方法, 研究fxa,，，0 93 时,的变化趋势. fxa,，， ,，xx,xx,xx,(5) 由研究时,的变化趋势,获得,时,的变fxa,fxa,，，，，000 ,,xx,xx,xx,化趋势,研究并获得,,时的变化趋势的关系. fxa,，，000 对比数列极限可先研究函数极限的定义,再研究函数极限的性质,进一步研究lim,aa,n,,n 函数极限的判定方法,函数极限的计算,函数极限与数列极限的关系,函数极限的应用. x,,3.1.1 时,函数的极限 fx，， x,,一 时,函数的极限 fx，， (一) 时,函数的极限 fxx,，,，， x，11 实验---研究时,函数的变化状况 fxx,,0x,，,，，，，x (1) 数值计算 x ,,1 10 100 1000 10000 100000 + x，1 y,,2 1.1 1.01 1.001 1.0001 1.00001 1 x x，1由数值计算分析,得时,函数的变化状况定性描述: fxx,,0x,，,，，，，x 记 x当无限增大时,无限趋于1 fx,lim1fx,，，，，x,，, x，1x当无限增大时,无限趋于近,这里有两个问题未明确: fxx,,01，，，，x x，1x(a) 要大什么程度,才无限的靠近? fxx,,01，，，，x x，1x(b) 当无限增大时,无限的靠近,它的靠近程度是什么? fxx,,01，，，，x (2) 图象分析 y x，1 fxx,,0，，，，x y,，1, y,1 y,,1, ox A1 图3.1.1 x，1由图象分析,得时,函数的变化状况几何描述: fxx,,0x,，,，，，，x xx任取直线,总存在轴上的点,当位于点右侧AAy,，,10,,lim1fx,,，，，，x,，, y,，1,y,1时,的图象完全落在与之间 fx，， (3) 数形结合分析 94 lim1fx,，，x,，, x 当无限大时, 无限趋于1 fx，， xx任取直线,总存在轴上的点,当位于点右侧时,的图 AAy,，,10,,fx，，，， 象完全落在与之间 y,，1,y,1 1,,，,,,,,,，,, 0,0,,11AxAfx，，x 1,,，,,,,,,,，,,, 0,0,,11AxAfx，，x 1 ,,，,,,,,,,,0,0,,1AxAfx，，x x，1由数形结合分析,得时,函数的变化状况定量描述: fxx,,0x,，,，，，，x 1 ,,，,,,,,,,,lim1fx,0,0,,1AxAfx,，，，，x,，,x x，1变化状态的定量描述解决了: fxx,,0，，，，x 1x，1(a) 当时,可无限的靠近. ,,xAfxx,,01，，，，,x x，1x(b) 当无限增大时,无限的靠近程度可比任给无论怎样小的正数fxx,,01，，，，x ,都小. 2 抽象---的定义 limfxb,，，x,，, 一般地,我们引入下列概念: A,0,定义1 (“”) 设在内有定义,若任给,总存在当,,Afxa,，,,,0xA,，，，， fxb,,,b,时,就有,则称当时,存在极限或收敛于,记作 fxbx,，,，，，， limfxb,. ，，x,，, limfxa, limaa,，，nx,，,,，,n ,,,0,,,0 ，,A0，,N0 95 ,,xA,,nN fxa,,,aa,,,，，n 3 解释---的几何意义 limfxb,，，x,，, 几何意义 limfxa,，，x,，, 任给以为边界的带形区域 yb,,,,,,0 x 在轴上总存在点 A，,A0 x 当位于点右侧时 A,,xA 的图象完全落在上述带形区域内 fxa,,,fx，，，， y yb,，, yb, yb,,, ox A 图3.1.2 , (1) “”定义中的必须具有任意小性; ,,A ,(2) “”定义中的只依赖于,且不唯一,凡是比大的自然数都可作AAAA,,,,A，， 为“”定义中的; A,,A ,35,(3) 等都可作为“”定义中的. 2,4,,,,,,A,,,,,3 x,,,(二) 时,函数的极限 fx，， x，1x,,,1 实验---研究时,函数的变化状况 fxx,,0，，，，x (1) 数值计算 ,x -1 -10 -100 -1000 -10000 -100000 - 1 x，1y, 0 0.9 0.09 0.009 0.0009 0.00009 x x，1x,,,由数值计算分析,得时,函数的变化状况定性描述: fxx,,0，，，，x 记 x当无限减小时,无限趋于1 fx,lim1fx,，，，，x,,, x，1x当无限减小时,无限趋于近,这里有两个问题未明确: fxx,,01，，，，x 96 x，1x(a) 要小到什么程度,才无限的靠近? fxx,,01，，，，x x，1x(b) 当无限减小时,无限的靠近,它的靠近程度是什么? fxx,,01，，，，x (2) 图象分析 y y,，1, y,1 y,,1, ox ,A,1 x，1 fxx,,0，，，，x 图3.1.3 x，1x,,,由图象分析,得时,函数的变化状况几何描述: fxx,,0，，，，x xx任取直线,总存在轴上的点,当位于点左,A,Ay,,,10,,lim1fx,,，，，，x,，, 侧时,的图象完全落在y,,1,与y,1之间 fx，， (3) 数形结合 lim1fx,，，n,,, x 当无限减小时, 无限趋于1 fx，， xx任取直线,总存在轴上的点,当位于点左侧时, ,A,Ay,,,10,,fx，，，， y,1的图像完全落在y,,1,与之间 1,,，,,,,,,,,,, 0,0,,11AxAfx，，x 1,,，,,,,,,,,，,,,0,0,,11AxAfx ，，x 1 ,,，,,,,,,,,,0,0,,1AxAfx，，x x，1x,,,由数形结合分析,得时,函数的变化状况定量描述: fxx,,0，，，，x 1 ,,，,,,,,,,,,lim1fx,0,0,,1AxAfx,，，，，x,,,x 97 x，1变化状态的定量描述解决了: fxx,,0，，，，x 1x，1(a) 当时,可无限的靠近. ,,,,fxx,,0xA1，，，，,x x，1x(b) 当无限减小时,可无限的靠近程度可比任给无论怎样小的正fxx,,01，，，，x ,数都小. 2 抽象---的定义 limfxb,，，x,,, 一般地,我们引入下列概念: 定义2(“”) 设在内有定义,若任给,总存在当A,0,,,Afx,,,a,,0xA,,，，，， x,,,时,就有,则称当时,存在极限或收敛于,记作 fxb,,,b,fxb，，，， . limfxb,，，x,,, limfxa,limfxa,，，，，x,，,x,,, ,,,0,,,0 ，,A0，,A0 ,,xA,,,xA fxa,,, fxa,,, ，，，，3 解释---的几何意义 limfxb,，，x,,, y yb,，, yb, yb,,, ox ,A 图3.1.4 几何意义 limfxa,，，x,,, yb,,, 任给以为边界的带形区域 ,,,0 x 在轴上总存在点 ,A，,A0 x 当位于点左侧时 ,A,,,xA 98 的图象完全落在上述带形区域内 fxa,,,fx，，，， (三) x,,时,函数的极限 fx，， x，1x,,1 实验---时,的的变化状况 fxx,,0，，，，x (1) 数值计算 x ,1 10 100 1000 10000 100000 + x，12 1.1 1.01 1.001 1.0001 1.00001 1 y,x x ,-1 -10 -100 -1000 -10000 -100000 - x，10 0.9 0.09 0.009 0.0009 0.00009 1 y,x x，1x,,由数值计算分析,得时,函数的变化状况定性描述: fxx,,0，，，，x 记 当无限增大时,无限趋于1 xfx,lim1fx,，，，，x,, x，1当无限增大时,无限趋于近,这里有两个问题未明确: fxx,,01x，，，，x x，1(a) 要大到什么程度,才无限的靠近? fxx,,01x，，，，x x，1(b) 当无限增大时,无限的靠近,它的靠近程度是什么? fxx,,01x，，，，x (2) 图象分析 y y,，1, y,1 y,,1, ox ,AA 图3.1.5 x，1x,,由图象分析,得时,函数的变化状况几何描述: fxx,,0，，，，x xx任取直线,总存在轴上的点和点,当位于点 A,Ay,,,10,,lim1fx,,，，，，x,, xy,,1,y,，1,左側时或位于点右侧时,的图像完全落在与之间 ,AAfx，， (3) 数形结合 99 lim1,fx,，，x,, 当无限增大时, 无限趋于1 xfx，， xx任取直线,总存在轴上的点和点,当位于点左側时或 A,A,Ay,,,10,,，， x位于点右侧时,的图像完全落在与之间 y,,1,y,，1,Afx，， ,,，,,,,,,，,,,0,0,,11AxAfx，， ,,，,,,,,,,0,0,,1AxAfx，， 即 ,,，,,,,,,,0,0,,1AxAfxlim1fx,,，，，，x,, x，1变化状态的定量描述解决了: fxx,,0，，，，x 1x，1(a) 当时,可无限的靠近. ,,xAfxx,,01，，，，,x x，1x(b) 当无限增大时,无限的靠近程度可比任给无论怎样小的正数fxx,,01，，，，x ,都小. 2 抽象---的定义 limfxb,，，x,, 一般地,我们引入下列概念: 定义3 (“”) 设在内有定义,若任给,总 fx,,,，,,,,0ccc,,A,,0，，，，，，，， x,,存在A,0,当时,就有fxb,,,,则称当时,存在极限b,或收敛于xA,fx，，，，,记作. limfxb,b，，x,, limfxa,limfxa,limfxa,limaa,，，，，，，nx,，,x,,,x,,,,n ,,,0,,,0,,,0,,,0 ，,A0，,A0，,A0，,N0 ,,xA,,xA,,,xA,,nNfxa,,,fxa,,,fxa,,, aa,,,，，，，，，n 3 解释---limfxb,的几何意义 ，，x,, limfxa, 几何意义 ，，x,,, 100 任给以为边界的带形区域 yb,,,,,,0 x 在轴上总存在点和点 ,AA，,A0 x 当位于点左侧或点右侧时 ,AA,,xA 的图象完全落在上述带形区域内 fxa,,,fx，，，， y yb,，, yb, yb,,, ox ,AA 图3.1.6 x,,二 用定义证明时函数极限的基本程序 (一) 用定义证明的基本程序 limfxa,，，x,，, 用定义证明的基本程序 limfxa,，，x,，, 基本程序 limfxa,，，x,，, 证明的开始: . ,,,0,,,0 证明的关键:找. A，,A0 fxa,,, 何处找?:在中找. A,,xA，， fxa,,, 如何找? A，， ,找的基本方法: A xfxa,,,A,,,(1) 直接解关于的不等式,得,取，，即可. x,,,，，，，，，，， 适当放大 xfxagx,,,,,(2) 将解关于的不等式,得,取gx,,x,,,，，，，，，，， A,,,，，即可. ，，，， (3) 取已知极限中的的最大者即可. AAAA,,,,max,,,,,12k (二) 用定义证明的基本程序 limfxa,，，x,,, 用定义证明limfxa,的基本程序 ，，x,,, limfxa, 基本程序 ，，x,,, 101 证明的开始: . ,,,0,,,0 证明的关键:找. A，,A0 何处找?:在中找. fxa,,,A,,,xA，， 如何找? fxa,,,A，， ,找的基本方法: A x (1) 直接解关于的不等式,得,取即可. fxa,,,x,,,,A,[],,，，，，，， 适当放大 x(2) 将解关于的不等式,得,取 fxagx,,,,,gx,,x,,,,，，，，，，，， 即可. A,，，,,，，，， (3) 取已知极限中的的最大者即可. AAAA,,,,max,,,,,12k (三) 用定义证明的基本程序 limfxa,，，x,, 用定义证明的基本程序 limfxa,，，x,, 基本程序 limfxa,，，x,, 证明的开始: . ,,,0,,,0 证明的关键:找. A，,A0 fxa,,, 何处找?:在中找. A,,xA，， fxa,,, 如何找? A，， ,找的基本方法: A fxa,,, (1) 直接解关于的不等式,得,取即可. xx,,,A,[],,，，，，，， 适当放大 fxagx,,,,,(2) 将解关于的不等式,得,取xgx,,x,,,，，，，，，，， A,,,即可. ，，，，，， (3) 取已知极限中的的最大者即可. AAAA,,,,max,,,,,12k x,,三 用定义证明时函数极限的实例 例1 用定义证明下列函数极限: x,1x,1x,1(1);(2);(3). lim1,lim1,lim1,x,，,x,,,x,,x，1x，1x，1 证明 (1) (?) . 适当放大 ,,,0 x,1111(?) . ,,,,1xxxx，，，111 11x,,,(?) 解,得. x, 102 1x,1，，A,,,1,(?) 于是,,存在,当时,就有. ,,,0xA,,,x，1,，， x,1故. lim1,x,，,x，1 (2) (?) . 适当限制 ,,,0 x,,1x,111(?) . ,,,,1xxx，，，111 11,,x,,，1(?) 解,得. ,,,,,,，x1,, 1x,1，，,,1,A,，1(?) 于是,,存在,当时,就有. ,,,0xA,,,,x，1,，， x,1故. lim1,x,,,x，1 (3) (?) . 适当限制 ,,,0 xx,,12x,11112(?) . ,,,,,1xxxx，，,111xx,,，,1,,22,, 22,,(?) 解,得. ,xx, 2x,1，，A,,,1,(?) 于是,,存在,当时,就有. xA,,,,0,,x，1,，， x,1故. lim1,x,,x，1 思考 例1中三个题的异同. 例2 用定义证明下列函数极限: 222323xx，,323xx，,323xx，,lim3,lim3,lim3,(1) ;(2);(3). 222x,，,x,，,x,,x,1x,1x,1 证明 (1) (?) . 适当放大 ,,,0 2x,121x，32321222xxxx，,，，,,,,,3(?) 2222xxxx,,,,1111x,1 x,224,,. xxx,,，,1,,22,, 44(?) 解,,,得x,. x, 24323xx，,，，A,(?) 于是,,存在,当时,就有. ,,,,0xA,,,32,,,x,1，， 2323xx，,lim3,故. 2x，,,x,1 又 (?) . 适当放大 ,,,0 103 2x,121x，32321224xxxxx，,，，,,,,,3(?) . 22222xxx,1x,1,,xx，,1,,222,, 44(?) 解,得. x,,,x, 24323xx，,，，A,(?) 于是,,存在,当时,就有. ,,,,0xA,,,32,,,x,1，， 2323xx，,lim3,故. 2x，,，,x,1 (2) (?) . 适当放大 ,,,0 2x,,121x，,，21x，，323xx，,(?) ,,,3222xx,,11x,1 x,,2,，2xx，，,33x. ,,,,222xx,,xx，,1,,222,, 66(?) 解,得. ,,,x,,x, 26323xx，,，，A,(?) 于是,,存在,当时,就有. ,,,,0xA,,,,32,,,x,1，， 2323xx，,lim3,故. 2x,,,x,1 (3) (?) . 适当放大 ,,,0 2x,1212122xxx，，，3232xx，,,,,,,3(?) 2222xx,,11x,1xx,,11 x,224. ,,xxx,,，,1,,22,, 44,, (?) 解,得,. xx, 24323xx，,，，A,(?) 于是,,存在,当时,就有. ,xA,,,,0,,32,,,x,1，， 2323xx，,lim3,故. 2x,,x,1 又 (?) . 适当放大 ,,,0 2x,122xx，2121xx，，3234xx，,,,,,,3(?) . 22222xx,1x,1,,xxx，,1,,222,, 44,,,(?) 解,得. xx, 104 24323xx，,，，A,(?) 于是,,存在,当时,就有. ,xA,,,,0,,32,,,x,1，， 2323xx，,故lim3,. 2x,,x,1 思考 例2中三个题的异同. 课后 教学 总结 课 外 作 业 实 践 与 思 考 单元 测试 与分 析 105