谈晶体的双折射现象

谈晶体的双折射现象 ? ? ?史 伟 张震宇李昭俊秦自楷 () 山东工业大学数理系 济南 250061 0 引 言 对晶体的双折射现象以及晶体的各向异性, 多数同学感到难以理解Λ大学物理教课书中 对此的解释不够清楚Λ然而晶体材料在高新技术中的作用是非常重要的, 很多高科技都离不 开它, 如激光、信息、光电子等领域, 为了使同学们更好地学习这部分内容, 本文从各向异性, 麦克斯韦方程组出发对双折射现象做出解释Λ 1 晶体的各向异性 (要想对晶体的各向异性严格细致地分析, 需要涉及到点群、空间群知识 见王仁卉等Λ晶 ) 体学中的对称群, 这里仅用特殊例子, 从晶体结构各向异性及物理性质各向异性来说明Λ 111 晶体结构各向异性 () 晶体是由构造基元 原子、原子团或离子团近似无限地、周期性地重复排列构成的, 晶 体结构是长程有序的Λ 其中构造基元的规则排列是晶体结构的关键Λ 然而规则排列和各向 异性如何联系呢? 其实这里的规则是限制的意思, 有了这种规则, 构造基元某些方向能排列 某些方向就不能去排, 能排列的位置与不能排列的位置本身就体现了构造上的各向异性Λ所 以规则排列导致了晶体结构上的各向异性Λ 112 物理性质的各向异性 _ _ 描述晶体性质的物理量也是各向异性的, 如介电常数, 在各向同性介质中, 有 = ,D ΕE _ _ 空间直角坐标系中有 = , = , = , 电场强度不太大时 是常数, 与 的方 D 1 ΕE 1 D 2 ΕE 2 D 3 ΕE 3 ΕD E _ _ 向相同Ζ 但在各向异性的晶体中, 与 的方向一般不相同, 各方向介电性不同, 如电场分量D E , , 分别在 方向产生的电位移量各为 , , , 可见各个方向介电常数是 E 1 E 2 E 3 x 1 Ε11 E 1 Ε12 E 2 Ε13 E 3 不同的, 则电位移矢量在 1 方向分量为,x D = ΕE + ΕE + ΕE 1 11 1 12 2 13 3 同理, = + + D 2 Ε21 E 1 Ε22 E 2 Ε23 E 3 = + + D 3 Ε31 E 1 Ε32 E 2 Ε33 E 3 ()( )1 即, , = 1, 2, 3 = ij D i Εi j E j ΕΕΕ 11 12 13 为 0 0 Ε 1 Ε0 0 2 0 Ε0 3 ( () ) Εi i= 1, 2, 3称介电常数的三个主值, 则 1式可写为, 2 ()D = ΕE = n E 2 i i i i i 2 双折射的解释 光波是一种电磁波, 晶体中光的传播可用麦克斯韦方程组和晶体的光学性质来分析Ζ对 _ _ 于透明非磁性不导电的晶体, 相对磁导率 Λr = 1, 故 Λ= Λ0 Λr = Λ0 , B = Λ0H , 电导率 Τ= 0Ζ 所 ( 以晶体光学性质的各向异性完全由介电常数的性质决定Ζ 对这类晶体, 当无电荷分布 =Θf ) 0时, 麦克斯韦方程组可以写为: _ _ 5H A Λ× E = - 0 5t _ _ 5D A × H = ()3 5t _ A D = 0 r _ A H = 0 r () 因麦克斯韦方程组 3是对时间和空间的微分方程组, 可令晶体中与单色平面波对应的特解 为: _ _ E E 0 _ _ _ n _ ()D D 4 0exp iΞ t - r rK = c _ _ H 0H __() 其中 为波矢量, 为位置矢量, 为光在晶体中的折射率Ζ对于用 4式表示的光波, 我们能 K r n _ Ξn 1 5 () 够以 , 以- 代替A代换 Λ= ΕiΞ i K , 且考虑 , 此时方程 3中前两式分别变为:0 0 c 5t c _ _ _ n ()H × E = 5 K cΛ0 _ _ _ n ()- K× H = D 6 c _ _ _ _ _ _ _ _ _ () () ( ) ( () 5式代入 6式再利用公式 × × = ? - ?得: a b c b a c c a b _ _ _ _ _ 2() () 7 D = Ε0 n 〔E - K K r E 〕 _ _ 2() ()即, = 〔- ?〕 8 D i Ε0 n E i K i K E () () 把 2代入 8式可知, _ _ 2 2 () ()9 n i E i = Ε0 n 〔E i - K i K E 〕r () 9式写成分量形式得下列齐次线性方程: 2 2 2 2 2 ) ( Εn 1 -K 〕E 1 + Ε0 n K 1 K 2 E 2 + Ε0 n K 1 K 3 E 3 =0 〔n -1 1 0 2 2 2 2 2 ) ( 0 ()1 -Ε0 n K 2 K 1 E 1 + 〔n -Εn K 〕E 2 + Ε0 n K 2 K 3 E 3 =2 10 2 0 2 2 2 2 2 ) (〕E = Ε0 n K 3 K 1 E 1 + Ε0 n K 3 K 2 E 2 + 〔n -Εn 1 -K 3 3 0 3 0 _ () 可见如果晶体 已知, 再知道光波的波法线 , , , 就可求得光波的折射率Ζ 为从Εi K K 1 K 2 K 3 _ () () 10式求得 1 , 2 , 3 的非零解, 要求其系数行列式为零, 即 E E E E 2 2 2 2 2 (- Εn 1 - ) Εn K K Εn K K n 1 0 K 0 1 20 1 31 2 2 2 2 2 (()Εn K K Εn 1 -) Εn K K 11 0 2 1 n 2 - 0 = 0 K 0 2 3 2 2 2 2 2 2 ) (n - Εn K K Εn 1 -K Εn K K 3 0 3 2 3 0 0 3 1 展开为: 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 () () () n Ε0 n 1 K 1 + n 2 K 2 + n 3 K 3 - n Ε0〔n 2 n 3 K 2 + K 3 + n 3 n 1 K 3 + K 1 ()12 2 2 2 2 2 2 2 () + n n K + n n n = 0 K 〕+2 1 2 3 1 2 1 2 这是一个 的二次方程, 通常可得到两不相等的正实根 ′, ″Ζ对不同种类晶体 ′, ″的情况 n n n n n ( ) () ( ) 不 相同: 1高级晶族 立方晶系, ′= ″= 为常光折射率, 即此类晶体无双折射, 可 n n n 0 n 0 () () 认为光学各向同性体; 2中级晶族 单轴晶, 一般 ′, ″中其一为 , 即一束光为常光另一 n n n 0 ( ) ( ) 束的非常光, 只有沿某一特殊方向时 ′= ″= , 此方向即为光轴; 3低级晶族 双轴晶,n n n 0 光束皆为非常光, 光轴方向光束虽不分离, 但光束仍为非常光Ζ 结束语 3 通过以上对晶体各向的说明及用麦克斯韦方程对双折射现象的解释, 能帮助同学们对 双折射的理解, 以及对晶体材料这一重要材料领域的了解, 而且也加深了对麦克斯韦方程组 的认识Ζ 大学物理交待出此方程组后, 只说明了此方程组在描述电磁波方面的重要性, 但怎 么重要同学们不能有较深层的理解Ζ通过以上对双折射的解释, 自然使他们对麦克斯韦方程 组领悟较深, 而且掌握较好Ζ然而以上推导也涉及到了一些较深的知识, 但通过适当引导, 强 调晶体的各向异性及麦克斯韦方程组对双折射的解释, 还是能收到好的效果Ζ