二面角及面面垂直的判定与性质

二面角及面面垂直的判定与性质 【知识要点】 一、二面角 1、定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。 2、图形及 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示 二面角 ,,,,AB, 二面角 ,,,,a A a B , 二面角A-BD-C A D 3、二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个平面内分别作垂直于棱C B 的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。 注：二面角的大小由二面角的平面角来度量；二面角的大小与端点的选取无关；二面 角的平面角所在的面与棱垂直；二面角可以是钝角。 二、两个平面垂直的判定 1、根据定义：两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂 直。 2、根据判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂 直。 注：由判定定理，要证面面垂直，关键是证明线面垂直。 三、两个平面垂直的性质定理 1、如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。 2、如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内一点垂直于第二个平面的直线，在 第一个平面内。 【例题选讲】 例1、在三棱锥A－BCD中，, ，,，,:，,:ABCABDCBD4560, 求二面角C－AB－D的大小， 解：在AB上任取一点E， 在平面ABC内，作， EFAB, 交BC于F， A 在平面ABD内，作， EGAB, 交BD于G， E 是二面角C－AB－D的平面角， ？，FEG G 连接FG，设BE＝a B D 则EF＝EG＝a，FGa,2 ？，,:FEG90 即二面角C－AB－D为 90: 注意：并不是所有的题端点都可以任意选，端点的选择应该使得到的图形可解而且计 F 算量尽量小。 C 例2、在三棱锥A－BCD中，所有的棱长均为a， 求二面角A－CD－B的余弦值 解：取CD的中点E， A 连接AE、BE， ？ACAD, ？,AECD 同理 BECD, 是二面角A－CD－B的平面角， ？，AEBB D 3 在AEBEaABa,,,,中， ,ABEE 2C 33222()()aaa，,122 cos，,ABE, 3332,,aa22 1 即二面角A－CD－B的余弦值为 3 例3、三棱锥D－ABC中，平面ABC，，ACBCACBCDC,,,,,,,152012DC, 求二面角D－AB－C的大小。 解：过D作， DEAB, 垂足为E， D 连接CE， 平面ABC ？DC, 是ED在平面ABC内的射影， ？EC （三垂线逆定理） ？,ECAB 是二面角D－AB－C的平面角， ？，DECC A 在中，易得EC＝12 ,DEC E 又DC?EC ， B , ？，,:DEC45 即二面角D－AB－C为 45: 例4、如图，正方体ABCD－ABCD中，M，N是BC和DC的中点，求平面BDMN11111111 和平面BCCN所成二面角的正切值。 1 解：过C作CQBN,，垂足为Q， 连接DQ， 平面BCCN， ？DC,1 ？QC是DQ在平面BCCN的射影， 1 ？,DQBN ？，DQC是所求二面角的平面角 在正方形BCCB中，设边长为a， 11 25 易得CQa, 5 D1 1N M A C1B 1 Q D C DC5 ？，,,tgDQCQC2 5B A 即所求二面角的正切值是 2 例5、如图,垂足分别为A，B，且PAaPBaP,,23,,到二面角PAPB,,,,, 的棱l的距离为2a，求二面角的大小。 ,,,,l,,,,l 解： ？PAl,,,,, P ？,PAl 同理又 PBl,,PAPBP,, , 垂直PA，PB确定的平面 ？l 设, lPABE,, A 连接AE，BE，PE , E 则 lAElBElPE,,,,, B 是二面角的平面角， ,,,,l？，AEB, PE＝2a， 易得 ，,:AEB105 常见的求二面角的 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 有： (1)根据定义（如例1)； (2)根据特殊图形的性质(如例2)； (3)根据三垂定理或逆定理(如例3，例4)，已知二面角的一个面内的一点到另一个面的垂线时，用这种方法； (4)作棱的垂面(例5) 321 (5)用公式,(其中 为二面角的大小，1.23cm,23cm2.cm2 是面积的S的图形在S所在平面上的射影)如例3， 1 ECcos，,DECDE 1ABEC,2 , 1ABDE,2 SABC,,SABC, 其中 是 在平面ABC内的射影，结论可以推广到任意多边形，但书中,ABC,ABD 并没有此结论，仅限于填空题或选择题。 例6、已知平面ABCABBCAMSB,,,,于M，N为SC上一点，求证：平面SA, 平面AMN。 SBC, 证明：平面ABC SA, ？SABC, 又ABBCSAABA,,,,, S N 平面， ？,BCSAB 平面， ？AM,SAB ？,AMBC M 又 AMSBSBBCB,,,, ,平面SBC， ？AMC A 又平面AMN， AM ？平面平面AMN. SBC, 注：证明面面垂直的关键是证明线面垂直。 B 例7、平面垂直相交于CD，AB与所成的角都是，求异面直线AB，CD,,,,,,30: 所成的角。 解：作，垂足为E，F， AEBFCD,, 作连接BE， BGCDEGBF||,||, 是异面直线AB，CD ？，ABG 所成的角(或其补角) 设 BFa, ？，,:BAF30, , ？,ABa2 A ？，,:ABE30 ？,AEa, D AFa,3, , ？,EFa2G E 即 BGa,2 F B BG2C ？cos，ABG,, AB2 ？，ABG,45: 即AB与CD所成的角为 45: 第八周 二面角及面面垂直的判定与性质 【练习及 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 】 一、选择题 1、已知的两条直角边BA，CA的长分别是3cm和4cm，平面RtABC,PC, CAB,,则二面角P－AB－C等于（ ） PCcm,4 (A)30: (B)45: (C)60: (D)90: 2、三棱锥中，所有棱长均为a，相邻两面所成的二面角的平面角是,，则（ ） 11()cos()sinAB,,,,33 33()sin()cosCD,,,,33 3、正方体ABCD－ABCD中，二面角A－BD－A的余弦值为（ ） 11111 1133 ()()()()ABCD 2353 4、下列四个命题 (1)二面角的棱与它的平面角所在的平面的平面垂直。 (2)若直线l-与二面角的棱a平行，则. ,,,,all||,||,, (3)已知二面角,A,B是a上两点，，且，则异,,,,aCD,,,,,ACQaBDa,,,面直线AC与BD所成的角与二面角的大小相等。 ,,,,a (4)若是二面角的平面角，，则直线PB在上的射影在直,,,,a,，BPAPB,, 线PA上。 其中真命题有（ ） (A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个 二、填空题： 1、已知二面角M－AB－N的大小为,，P是M上一点，若P到N的距离等于3cm，当,＝60:时，P到AB的距离等于 ，当,＝120:时，P到AB的距离是 。 2、P是二面角,,,,a内的一点，二面角,,,,a的大小为60:，P到,，,的距离分别是1cm和2cm，则P到,的距离等于 。 三、解答题 1、如图，，求二面角A－BC－SSASBSCASBASCBSC,,，,，,:，,:,,6090 S 的度数。 C A B 2、如图，从二面角,,,,EF的棱上一点A在平面,内引一条射线AP，AP与二面角的棱成45:的角，与平面,成30:的角，求二面角,,,,EF的度数。 , P A E F , ，再把三角板ABC沿BC折，,，,:BACDCB90 起，使平面ABC垂直平面BCD。 3、如图把一付直角三角板拼接， 求证：平面平面 ABD,ACDA C B 【答案】 D 一、B，A，D，A 二、321 1.23cm,23cm2.cm2三、1、易知是等边 ,,SABSAC,, ？,ABAC 取BC的中点E， 连接AE，BE 易证是二面角A－BC－S的平面角 ，SEA 可得 ，,:SEA90 2、过P作 PCEF, 垂足为C 过P作PB,,，垂足为B 连接BC，BA 易证是所求二面角的平面角 ，PCB 可得 ，,:PCB45 3、？平面平面BCD ABC, 又 DCBC, 平面ABC， ？,DC ？,DCAB, 又 ACABDCACC,,,, 平面ACD， ？,AB 又平面ABD。 AB, ？平面平面ACD。 ABD,