定积分与微积分基本定理
【考点导读】
1． 了解定积分的实际背景，初步掌握定积分的相关概念，体会定积分的基本方法。
2． 了解微积分基本定理的含义，能利用微积分基本定理计算简单的定积分，解决一些简单的几何和物理问题。
【基础练习】
1．下列等于1的积分是 （3） 。
（1）
（2）
（3）
（4）
2.曲线
与坐标轴围成的面积是
。
3．已知自由落体运动的速率
，则落体运动从
到
所走的路程为
。
4．如果10N的力能使弹簧压缩10cm，为在弹性限度内将弹簧拉长6cm，则力所做的功为 0.18J 。
5．
1 ,
__
。
【范例导析】
例1．计算下列
定积分的值：
（1）
；（2）
；（3）
；（4）
；
分析：求
函数
在某一区间上的
定积分，常用的方法有两种：一是利用定积分的几何意义，转化为曲边梯形的面积来处理；二是应用微积分基本定理，关键
在于找到
，使
。
解：（1）
（2）因为
，所以
；
（
3）
（
4）
点评：除了题目有明确要求之外，在求定积分的两种方法中我们基本上选用微积分基本定理解决问题，避免每次都要进行“分割、以直代曲、作和、逼近”的操作，不过有时候我们不容易找到比较
，这时候用定义或者其几何意
义就显得方便了。
例2．利用定积分
表
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示下列图形的面积：
分析：定积分的几何意义就是它的数值可以用曲边梯形的面积的代数和来表示。所以，我们可以用定积分来表示曲边梯形的面积。
解：（
1）中阴影部分的面积为：
；
（2）中阴影部分的面积为：
；
（3）中阴影部分的面积为：
。
点
评：注意“代数和”的理解：若在曲间
上
则
，若在曲间
上
则
。如上面的（3）。
例3.求由曲线
与
，所围成的平面图形的面积(画出图形)。
解：如图
所示，由
，
可得
曲线的交点的坐标为
所以所求面积为
点评：求图形面积的总体思路是：先求出图形，
根据图形求出交点坐标，将图形进行适当分割，
用定积分进
行表示，从而求
出所要
的面积。
【反馈演
练】
1．求由
围成的曲边梯形的面积时，若选择ｘ为积分变量，则积分区间［0，2］。
2．由直线
，及ｘ轴围成平面图形的面积为
3．如果1N力能拉长弹簧1cm，为将弹簧拉长6cm，所耗费的功是 0.18 。
4．
=
。
5．
=
。
6．由抛物线
、
轴和直
线
所围成的图形绕
轴旋转一周
，得到的旋转体的体积是
，那么
。
7．曲线
，所围成的图形的面积可用定积分表示为
。
8．由
及
轴围
成的介于0与2π之间的平面图形的面积，利用定积分表达为
9．按万有引力定律，两质点间的吸引力
，ｋ为常数，
为两质点的质量，ｒ为两点间距离，若两质点起始距离为ａ，质点
沿直线移动至离
的距离为ｂ处，试求所作之功（ｂ＞a）
。
10．曲线
及
轴所围成的图形的面积是
。
11．物体A以速度
在一直线上运动，在此直线上与物体A出发的同时，物体B在物体A的正前方5m处以
的速度与A同向运动，问两物体何时相遇？相遇时物体A的走过的路程是多
少？（时间单位
为：s，速度单位为：m/s）。
解：.设A追上B时,所用的时间为
，由题意有：
即
， 所以
所以
， 所以
所以
。
12．抛物线
在第一象限内与直线
相切
．此抛物线与
轴所围成的图形的面积记为
．求使
达到最大值的
值，
并求
的最大值。
解：由题
设可知抛物线为凸形，它与x轴的交点的横坐标分别为
，
所以
(1)
又直线
与抛物线
相切，即它们有唯一的公共点，
由方程组
得：
，其判别式
，即
．
于是
代入
（1）式得：
，
；
令S'(b)=0；在b＞0时得b=3，且当0＜b＜3时，S'(b)＞0；当b＞3时，S'(b)＜0．
故在b=3时，S(b)取得极大值，也是最大值，
即a=－1，b=3时，S取得最大值，且
．
点评：本题将导数与定积分有机的结合起来，考查了学生分析问题、解决问题的综合能力。
浙公网安备 33021202002483