基本不等式
教案
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3(4(1基本不等式(1) 【教学目标】
1学会推导并掌握基本不等式,理解这个基本不等式的几何意义,并掌握定理中的不等号“?”取等号的条件是:当且仅当这两个数相等;
2(过程与方法:通过实例探究抽象基本不等式;
3(情态与价值:通过本节的学习,体会数学来源于生活,提高学习数学的兴趣 【教学重点】
ab,ab,应用数形结合的思想理解不等式,并从不同角度探索不等式的证明2过程;
【教学难点】
ab,ab,基本不等式等号成立条件 2
【教学过程】
1.课题导入
ab,ab,基本不等式的几何背景: 2
探究:如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标,会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的,颜色的明暗使它看上去象一个风车,代
表
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中国人民热情好客。
2 合作探究
(1)问题 1:你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗,
提问2:我们把“风车”造型抽象成图在正方形ABCD中有4个全等的直角三角形.设直角三
b角形的长为、,那么正方形的边长为多少,面积为多少呢, a
2222ab,ab,生答:,
提问3:那4个直角三角形的面积和呢,
2ab生答:
提问4:好,根据观察4个直角三角形的面积和正方形的面积,我们可得容易得到一个不等
22abab,,2式,。什么时候这两部分面积相等呢,
ab,生答:当直角三角形变成等腰直角三角形,即时,正方形EFGH变成一个点,这时有22abab,,2
22abab,,2bab,结论:一般地,对于任意实数 、,我们有,当且仅当时,等号成立。 a
提问5:你能给出它的证明吗,
22222证明: ababababababab,,,,,,,,,,2(),()0,()0,当时,当时,
2222abab,,2abab,,2ab,所以 时, 注意强调 当且仅当
(2)特别地,如果,也可写成 ababababab,,,,0,0,,用和分别代替、可得2
ab,,引导学生利用不等式的性质推导 abab,,,(0,0)2
(板书,请学生上台板演):
ab,要证: ? ,,,abab(0,0)2
ab,,即证 ?
,0ab,,要证?,只要证 ?
2,0要证?,只要证 ( - ) ?
ab,显然, ?是成立的,当且仅当时, ?的等号成立
(3)观察图形3.4-3,得到不等式?的几何解释
ab,ab,两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数2 探究:课本中的“探究”
在右图中,AB是圆的直径,点C是AB上的一点,AC=a,BC=b。过点C作垂直于
ab,ab,AB的弦DE,连接AD、BD。你能利用这个图形得出基本不等式的几何2解释吗,
2易证,t?A,D?,t?D,B,那么,D,,A?,B
即,. ,Dab
a,b这个圆的半径为,显然,它大于或等于CD,即2
a,b,其中当且仅当点C与圆心重合,即a,b时,等号成立. ,ab2
ab,ab,因此:基本不等式几何意义是“半径不小于半弦” 2
a,b评述:1.如果把看作是正数a、b的等差中项,看作是正数a、b的等ab2
比中项,那么该定理可以叙述为:两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.
即学即练:
0,,abab,,11若且,则下列四个数中最大的是 ( )
122ab,,( ,( ,(2ab ,(a 2
abab,2,,ab2 a,b是正数,则三个数的大小顺序是 ( ) 2ab,
abab,2abab,2,(,,ab ,(ab,, 2ab,2ab,
2abab,2abab, ,(ab,, ,(,,abab,2ab,2
答案 B C
例题分析:
xyxyxy (1),2即,?2. ,,2,yxyxyx
22332233xyxyxy(2)x,y?2,0 x,y?2,0 x,y?2,0
2233223333xyxyxy?(x,y)(x,y)(x,y)?2?2?2,,xy
223333即(x,y)(x,y)(x,y)?,xy.
变式训练:
1 ,,0,当,取何值时,+有最小值,最小值是多少 x
解析:因为,,0,
11,x ,+ ?2=2 xx
1时即x=1时有最小值2 当且仅当,=x
点评:此题恰好符合基本不等式的用法,1正2定3相等 可以具体解释每一项的意思。
当堂检测:
1.下列叙述中正确的是( ).
(A)两个数的算术平均数不小于它们的几何平均数
(B)两个不等正数的算术平均数大于它们的几何平均数
(C)若两个数的和为常数,则它们的积有最大值
(D)若两个数的积为常数,则它们的和有最小值
2下面给出的解答中,正确的是( ).
11(A)y,x,?2x?,2,?y有最小值2 xx
44(B)y,|sinx|,x|?y有最小值4 ?2|sin,4,?|sinx||sinx|
22x,2x,3x,3,(C)y,x(,2x,3)?(),(),又由x,,2x,3得x,1,?22
2,1,3,1时,有最大值(),1 当xy2
99(D)y,3,x, ?3,2x?,,3,y有最大值,3 xx
4已知,0,则,,3的最小值为( ). 3.xxx
(A)4 (B)7 (C)8 (D)11
14.设函数f(x),2x,,1(x,0),则f(x)( ). x
A)有最大值 (B)有最小值 (C)是增函数 (D)是减函数 (
答案:1 B 2.D 3 B 4 .A
?3.4.2 基本不等式的应用 【教学目标】
1 会应用基本不等式求某些函数的最值,能够解决一些简单的实际问题; 2 本节课是基本不等式应用举例。整堂课要围绕如何引导学生分析题意、设未知量、找出
数量关系进行求解这个中心。
3 能综合运用函数关系,不等式知识解决一些实际问题( 教学重点:正确运用基本不等式解决一些简单的实际问题 教学难点:注意运用不等式求最大(小)值的条件
教学过程:
一、创设情景,引入课题
ab,ab、提问:前一节课我们已经学习了基本不等式,我们常把叫做正数的算术平均数,2
ab、把叫做正数的几何平均数。今天我们就生活中的实际例子研究它的重用作用。 ab
2px,y讲解:已知x,y都是正数,?如果xy是定值p,那么当x,y时,和有最小值;
12x,yx,ys?如果和是定值,那么当时,积有最大值 s4
二、探求新知,质疑答辩,排难解惑
1、 新课讲授
2例1、(1)用篱笆围一个面积为100的矩形菜园,问这个矩形的长、宽各为多少时,所m
用的篱笆最短,最短的篱笆是多少,
m(2)一段长为36的篱笆围成一个矩形菜园,问这个矩形的长、宽各为多少时,菜
园的面积最大。最大面积是多少,
分析: (1)当长和宽的乘积确定时,问周长最短就是求长和宽和的最小值
(2)当长和宽的和确定时,求长与宽取何值时两者乘积最大
yxy,100,xy,x解:(1)设矩形菜园的长为 m,宽为 m,则 篱笆的长为2()
xy,由 ,xy, 2
可得 xy,,2100
xy,,402()
等号当且仅当,因此,这个矩形的长、宽为10 m时,xyxy,,,时成立,此时10
所用篱笆最短,最短篱笆为40m
yxy,xy,x (2)设矩形菜园的长为 m,宽为 m,则2()=36,=18,矩形菜园的面
2xy积为, m
xy,18xy,81由 可得 , xy,,,9,22
可得等号当且仅当 xyxy,,,时成立,此时9
2px,y点评:此题用到了 如果xy是定值p,那么当x,y时,和有最小值;
12x,yx,y如果和是定值,那么当时,积有最大值s s4
4a变式训练: 用长为的铁丝围成矩形,怎样才能使所围的矩形面积最大,
xxa(02),,Sxax,,(2)xax,,,0,202ax,解:设矩形的长为,则宽为,矩形面,(
xax,,(2)xax,,2由((当且近当,即时取等号), xa,xaxa(2),,,2
由此可知:
22Sxax,,(2)当时,有最大值(答:将铁丝围成正方形时,才能有最大面积( xa,aa
32例2某工厂要建造一个长方体无盖贮水池,其容积为4800m,深为3m,如果池底每1m的造
2价为150元,池壁每1m的造价为120元,问怎样设计水池能使总造价最低,最低总造价是多少元,
分析:此题首先需要由实际问题向数学问题转化,即建立函数关系式,然后求函数的最值,其中用到了均值不等式定理。
l解:设水池底面一边的长度为,水池的总造价为元,根据题意,得 xm
16001600,240000,720,2x, l,240000,720(x,)xx
,240000,720,2,40,297600
1600当 x,,即x,40时,l有最小值2976000.x
因此,当水池的底面是边长为40m的正方形时,水池的总造价最低,最低总造价是297600元 评述:此题既是不等式性质在实际中的应用,应注意数学语言的应用即函数解析式的建立,
又是不等式性质在求最值中的应用,应注意不等式性质的适用条件。
3变题:某工厂要制造一批无盖的圆柱形桶,它的容积是立方分米,用来做底的金属每平,2
方分米价值3元,做侧面的金属每平方米价值2元,按着怎样的尺寸制造,才能使圆桶的成
本最低。
2,r,2,2,rhh解:设圆桶的底半径为分米,高为分米,圆桶的成本为元,则3 mm,r
3h求桶成本最低,即是求在、取什么值时最小。将代入的解析式,得 h,mmr22r
36,22mrrr=,,,,32(2)()3,,,2rr2
,,,,3333223,3r,,,3(3,r),,,9, rrrr
3,3,3,2r当且仅当时,取“=”号。 ,,,3,rrr
3h,?当1(分米),(分米)时,圆桶的成本最低为9(元)。 ,r,2
点评:分析题意、设未知量、找出数量关系进行求解, 归纳整理,整体认识
ab,222abab,,21(求最值常用的不等式:,,( abab,,2ab,()2
2(注意点:一正、二定、三相等,和定积最大,积定和最小(
3.建立不等式模型解决实际问题
当堂检测:
1 下列函数中,最小值为4的是: ( )
44yx,,(0),,x,yx,,sin,( ,( xsinx
xx,yx,,log4log3,( ,( y,,e4e3x
xy2. 设的最小值是( ) xyxy,,5,33,,,,R且则
A. 10 B. C. D. 6346183
2 3函数的最大值为 . yxx,,1
324建造一个容积为18m, 深为2m的长方形无盖水池,如果池底和池壁每m 的造价为200元和150元,那么池的最低造价为 元.
5某食品厂定期购买面粉,已知该厂每天需要面粉6吨,每吨面粉的价格为1800元,面粉的保管等其它费用为平均每吨每天3元,购面粉每次需支付运费900元(求该厂多少天购买一次面粉,才能使平均每天所支付的总费用最少,
110989x,10答案:1C 2 D 3 4 3600 5 时,y有最小值, 2