新人教版八年级数学上册
知识点
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总结归纳
新人教版八年级上册数学知识点总结
第十一章 三角形
1、三角形的概念
由不在同意直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。组成三角形的线段叫做三角形的边;相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点;相邻两边所组成的角叫做三角形的内角,简称三角形的角。
2、三角形中的主要线段
(1)三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交,这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线。
(2)在三角形中,连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。
(3)从三角形一个顶点向它的对边做垂线,顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线(简称三角形的高)。
3、三角形的稳定性
三角形的形状是固定的,三角形的这个性质叫做三角形的稳定性。三角形的这个性质在生产生活中应用很广,需要稳定的东西一般都制成三角形的形状。
4、三角形的特性与表示
三角形有下面三个特性:
(1)三角形有三条线段
(2)三条线段不在同一直线上 三角形是封闭图形
(3)首尾顺次相接
三角形用符号“”表示,顶点是A、B、C的三角形记作“ABC”,读作“三角形ABC”。 ,,
5、三角形的分类
三角形按边的关系分类如下:
不等边三角形
三角形 底和腰不相等的等腰三角形
等腰三角形
等边三角形
三角形按角的关系分类如下:
直角三角形(有一个角为直角的三角形)
三角形 锐角三角形(三个角都是锐角的三角形)
斜三角形
钝角三角形(有一个角为钝角的三角形)
三角形、全等三角形、轴对称、整式乘法和因式分解、分式 1
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把边和角联系在一起,我们又有一种特殊的三角形:等腰直角三角形。它是两条直角边相等的直角三角形。
6、三角形的三边关系定理及推论
(1)三角形三边关系定理:三角形的两边之和大于第三边。
推论:三角形的两边之差小于第三边。
(2)三角形三边关系定理及推论的作用:
?判断三条已知线段能否组成三角形
?当已知两边时,可确定第三边的范围。
?证明线段不等关系。
7、三角形的内角和定理及推论
三角形的内角和定理:三角形三个内角和等于180?。
推论:
?直角三角形的两个锐角互余。
?三角形的一个外角等于和它不相邻的来两个内角的和。
?三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
1注:在同一个三角形中:等角对等边;等边对等角;大角对大边;大边对大角。8、三角形的面积=×底2
×高
多边形知识要点梳理
定义:由三条或三条以上的线段首位顺次连接所组成的封闭图形叫做多边形。
凸多边形
分类1: 凹多边形
正多边形:各边相等,各角也相等的多边形叫做正多边形。
分类2:
多边形 非正多边形:
1、n边形的内角和等于180?(n-2)。
多边形的定理 2、任意凸形多边形的外角和等于360?。 三角形、全等三角形、轴对称、整式乘法和因式分解、分式 2
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3、n边形的对角线条数等于1/2?n(n-3)
只用一种正多边形:3、4、6/。
镶嵌 拼成360度的角
只用一种非正多边形(全等):3、4。
知识点一:多边形及有关概念
1、 多边形的定义:在平面内,由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.
(1)多边形的一些要素:
边:组成多边形的各条线段叫做多边形的边(
顶点:每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点(
内角:多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角,一个n边形有n个内角。
外角:多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。
2)在定义中应注意: (
?一些线段(多边形的边数是大于等于3的正整数);
?首尾顺次相连,二者缺一不可;
?理解时要特别注意“在同一平面内”这个条件,其目的是为了排除几个点不共面的情况,即空间
多边形.
2、多边形的分类:
(1)多边形可分为凸多边形和凹多边形,画出多边形的任何一条边所在的直线,如果整个多边形都在这
条直线的同一侧,则此多边形为凸多边形,反之为凹多边形(见图1).本章所讲的多边形都是指凸
多边形.
凸多边形 凹多边形
图1
(2)多边形通常还以边数命名,多边形有n条边就叫做n边形(三角形、四边形都属于多边形,其中三角
形是边数最少的多边形(
知识点二:正多边形
三角形、全等三角形、轴对称、整式乘法和因式分解、分式 3
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各个角都相等、各个边都相等的多边形叫做正多边形。如正三角形、正方形、正五边形等。
正三角形 正方形 正五边形 正六边形 正十二边形
要点诠释:
各角相等、各边也相等是正多边形的必备条件,二者缺一不可. 如四条边都相等的四边形不一定是正方形,
四个角都相等的四边形也不一定是正方形,只有满足四边都相等且四个角也都相等的四边形才是正方形
知识点三:多边形的对角线
多边形的对角线:连接多边形不相邻的两个顶点的线段,叫做多边形的对角线. 如图2,
BD为四边形ABCD的一条对角线。
要点诠释:
(1)从n边形一个顶点可以引(n,3)条对角线,将多边形分成(n,2)个三角形。
(2)n边形共有条对角线。
证明:过一个顶点有n,3条对角线(n?3的正整数),又?共有n个顶点,?共有n(n-3)
条对角线,但过两个不相邻顶点的对角线重复了一次,?凸n边形,共有条对角线。
知识点四:多边形的内角和公式
1.公式:边形的内角和为.
2.公式的证明:
证法1:在边形内任取一点,并把这点与各个顶点连接起来,共构成个三角形,这个三角形的内角和
为,再减去一个周角,即得到边形的内角和为.
证法2:从边形一个顶点作对角线,可以作条对角线,并且边形被分成个三角形,这
个三角形内角和恰好是边形的内角和,等于.
证法3:在边形的一边上取一点与各个顶点相连,得个三角形,边形内角和等于这个三角
形的内角和减去所取的一点处的一个平角的度数,
即.
要点诠释:
(1)注意:以上各推导
方法
快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载
体现出将多边形问
题
快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题
转化为三角形问题来解决的基础思想。
(2)内角和定理的应用:
?已知多边形的边数,求其内角和;
三角形、全等三角形、轴对称、整式乘法和因式分解、分式 4
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?已知多边形内角和,求其边数。
知识点五:多边形的外角和公式
1.公式:多边形的外角和等于360?.
2.多边形外角和公式的证明:多边形的每个内角和与它相邻的外角都是邻补角,所以边形的内角和加外角和为,外角和等于.注意:n边形的外角和恒等于360?,它与边数的多少无
关。
要点诠释:
(1)外角和公式的应用:
?已知外角度数,求正多边形边数;
?已知正多边形边数,求外角度数.
(2)多边形的边数与内角和、外角和的关系:
?n边形的内角和等于(n,2)?180?(n?3,n是正整数),可见多边形内角和与边数n有关,每增加
1条边,内角和增加180?。
?多边形的外角和等于360?,与边数的多少无关。
知识点六:镶嵌的概念和特征
1、定义:用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖,通常把这类问题叫做用多边形覆盖平面(或
平面镶嵌)。这里的多边形可以形状相同,也可以形状不相同。
2、实现镶嵌的条件:拼接在同一点的各个角的和恰好等于360?;相邻的多边形有公共边。
3、常见的一些正多边形的镶嵌问题:
(1)用正多边形实现镶嵌的条件:边长相等;顶点公用;在一个顶点处各正多边形的内角之和为360?。
(2)只用一种正多边形镶嵌地面
对于给定的某种正多边形,怎样判断它能否拼成一个平面图形,且不留一点空隙,解决问题的关键在于正多边形的内角特点。当围绕一点拼在一起的几个正多边形的内角加在一起恰好组成一个周角360?时,就能铺成一
个平面图形。
事实上,正n边形的每一个内角为,要求k个正n边形各有一个内角拼于一点,恰好覆盖地面,这样360?,,由此导出k,,2,,而k是正整数,所以n只能取3,4,6。因而,
用相同的正多边形地砖铺地面,只有正三角形、正方形、正六边形的地砖可以用。
注意:任意四边形的内角和都等于360?。所以用一批形状、大小完全相同但不规则的四边形地砖也可以无三角形、全等三角形、轴对称、整式乘法和因式分解、分式 5
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空隙的地板,用任意相同的三角形也可以铺满地面。
(3)用两种或两种以上的正多边形镶嵌地面
用两种或两种以上边长相等的正多边形组合成平面图形,关键是相关正多边形“交接处各角之和能否拼成一个周角”的问题。例如,用正三角形与正方形、正三角形与正六边形、正三角形与正十二边形、正四边形与正八
边形都可以作平面镶嵌,见下图:
又如,用一个正三角形、两个正方形、一个正六边形结合在一起恰好能够铺满地面,因为它们的交接处各角
之和恰好为一个周角360?。
规律方法指导
1(内角和与边数成正比:边数增加,内角和增加;
边数减少,内角和减少. 每增加一条边,内角的和
就增加180?(反过来也成立),且多边形的内
角和必须是180?的整数倍.
2(多边形外角和恒等于360?,与边数的多少无关.
3(多边形最多有三个内角为锐角,最少没有锐角
(如矩形);多边形的外角中最多有三个钝角,最少
没有钝角.
4(在运用多边形的内角和公式与外角的性质求值
时,常与方程思想相结合,运用方程思想是解决本节
问题的常用方法.
5(在解决多边形的内角和问题时,通常转化为与三角形相关的角来解决. 三角形是一种基本图形,是
研究复杂图形的基础,同时注意转化思想在数学中的应用.
经典例题透析
类型一:多边形内角和及外角和定理应用
1(一个多边形的内角和等于它的外角和的5倍,它是几边形,
总结升华:本题是多边形的内角和定理和外角和定理的综合运用. 只要设出边数,根据条件列出关于
的方程,求出的值即可,这是一种常用的解题思路.
举一反三:
【变式1】若一个多边形的内角和与外角和的总度数为1800?,求这个多边形的边数. 三角形、全等三角形、轴对称、整式乘法和因式分解、分式 6
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【
【变式2】一个多边形除了一个内角外,其余各内角和为2750?,求这个多边形的内角和是多少,
【答案】设这个多边形的边数为,这个内角为,
.
【变式3】一个多边形的内角和与某一个外角的度数总和为1350?,求这个多边形的边数。
类型二:多边形对角线公式的运用
【变式1】一个多边形共有20条对角线,则多边形的边数是( ).
A(6 B(7 C(8 D(9
【变式2】一个十二边形有几条对角线。
总结升华:对于一个n边形的对角线的条数,我们可以总结出规律条,牢记这个公式,以后只要用
相应的n的值代入即可求出对角线的条数,要记住这个公式只有在理解的基础之上才能记得牢。
类型三:可转化为多边形内角和问题
【变式1】如图所示,?1+?2+?3+?4+?5+?6=__________.
【变式2】如图所示,求?A,?B,?C,?D,?E,?F的度数。
三角形、全等三角形、轴对称、整式乘法和因式分解、分式 7
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第十二章 全等三角形 一、全等三角形
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。一个三角形经过平移、翻折、旋转可以得到它的全等形。 2、全等三角形有哪些性质
(1):全等三角形的对应边相等、对应角相等。
(2):全等三角形的周长相等、面积相等。
(3):全等三角形的对应边上的对应中线、角平分线、高线分别相等。 3、全等三角形的判定
边边边:三边对应相等的两个三角形全等(可简写成“SSS”)
边角边:两边和它们的夹角对应相等两个三角形全等(可简写成“SAS”)
角边角:两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(可简写成“ASA”) 角角边:两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等(可简写成“AAS”) 斜边.直角边:斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(可简写成“HL”) 4、证明两个三角形全等的基本思路:
二、角的平分线:
1、(性质)角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
2、(判定)角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。
三、学习全等三角形应注意以下几个问题:
(1):要正确区分“对应边”与“对边”,“对应角”与 “对角”的不同含义; (2):表示两个三角形全等时,表示对应顶点的字母要写在对应的位置上; (3):“有三个角对应相等”或“有两边及其中一边的对角对应相等”的两个三角形不一定全等; (4):时刻注意图形中的隐含条件,如 “公共角” 、“公共边”、“对顶角”
1、全等三角形的概念
能够完全重合的两个图形叫做全等形。
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。两个三角形全等时,互相重合的顶点叫做对应顶点,互相重合
的边叫做对应边,互相重合的角叫做对应角。夹边就是三角形中相邻两角的公共边,夹角就是三角形中有公共端
点的两边所成的角。
三角形、全等三角形、轴对称、整式乘法和因式分解、分式 8
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2、全等三角形的表示和性质
全等用符号“?”表示,读作“全等于”。如?ABC??DEF,读作“三角形ABC全等于三角形DEF”。
注:记两个全等三角形时,通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。
3、三角形全等的判定
三角形全等的判定定理:
(1)边角边定理:有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(可简写成“边角边”或“SAS”)
(2)角边角定理:有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(可简写成“角边角”或“ASA”)
(3)边边边定理:有三边对应相等的两个三角形全等(可简写成“边边边”或“SSS”)。
直角三角形全等的判定:
对于特殊的直角三角形,判定它们全等时,还有HL定理(斜边、直角边定理):有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(可简写成“斜边、直角边”或“HL”)
4、全等变换
只改变图形的位置,二不改变其形状大小的图形变换叫做全等变换。
全等变换包括一下三种:
(1)平移变换:把图形沿某条直线平行移动的变换叫做平移变换。
(2)对称变换:将图形沿某直线翻折180?,这种变换叫做对称变换。
(3)旋转变换:将图形绕某点旋转一定的角度到另一个位置,这种变换叫做旋转变换。
第十二章 轴对称
知识回顾:
一、轴对称图形 3、轴对称图形和轴对称的区别与联系
轴对称轴对称图形1. 把一个图形沿着一条直线折叠,如果直线两旁的部分能够完全重合,那么这个图形就叫做轴对称图形。这条AA'A图形直线就是它的对称轴。这时我们也说这个图形关于这条直线(成轴)对称。 CC'BB'BC(1)轴对称图形是指( )(1)轴对称是指( )图形一个两个2. 把一个图形沿着某一条直线折叠,如果它能与另一个图形完全重合,那么就说这两个图关于这条直线对称。具有特殊形状的图形,的位置关系,必须涉及区别只对( )图形而言;一个( )图形;两个(2)对称轴( )只有一条不一定(2)只有( )对称轴.一条这条直线叫做对称轴。折叠后重合的点是对应点,叫做对称点
如果把轴对称图形沿对称轴如果把两个成轴对称的图形分成两部分,那么这两个图形拼在一起看成一个整体,那联系、轴对称图形和轴对称的区别与联系 3就关于这条直线成轴对称.么它就是一个轴对称图形.
三角形、全等三角形、轴对称、整式乘法和因式分解、分式 9
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4.轴对称的性质
?关于某直线对称的两个图形是全等形。
?如果两个图形关于某条直线对称,那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
?轴对称图形的对称轴,是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
?如果两个图形的对应点连线被同条直线垂直平分,那么这两个图形关于这条直线对称。 二、线段的垂直平分线
1. 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线,也叫中垂线。 2.线段垂直平分线上的点与这条线段的两个端点的距离相等
3.与一条线段两个端点距离相等的点,在线段的垂直平分线上
三、用坐标表示轴对称小结: 在平面直角坐标系中,关于x轴对称的点横坐标相等,纵坐标互为相反数.关于y轴对称的点横坐标互为相反数,纵坐标相等.
点(x, y)关于x轴对称的点的坐标为______.
点(x, y)关于y轴对称的点的坐标为______.
2.三角形三条边的垂直平分线相交于一点,这个点到三角形三个顶点的距离相等 四、(等腰三角形)知识点回顾
1.等腰三角形的性质
?.等腰三角形的两个底角相等。(等边对等角)
?.等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。(三线合一) 2、等腰三角形的判定:
如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等。(等角对等边) 五、(等边三角形)知识点回顾
1.等边三角形的性质:
等边三角形的三个角都相等,并且每一个角都等于600 。
2、等边三角形的判定:
?三个角都相等的三角形是等边三角形。
?有一个角是600的等腰三角形是等边三角形。
03.在直角三角形中,如果一个锐角等于30,那么它所对的直角边等于斜边的一半。 三角形、全等三角形、轴对称、整式乘法和因式分解、分式 10
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1、等腰三角形的性质
(1)等腰三角形的性质定理及推论:
定理:等腰三角形的两个底角相等(简称:等边对等角)
推论1:等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边。即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合。
推论2:等边三角形的各个角都相等,并且每个角都等于60?。
(2)等腰三角形的其他性质:
?等腰直角三角形的两个底角相等且等于45?
?等腰三角形的底角只能为锐角,不能为钝角(或直角),但顶角可为钝角(或直角)。
b?等腰三角形的三边关系:设腰长为a,底边长为b,则
规范
编程规范下载gsp规范下载钢格栅规范下载警徽规范下载建设厅规范下载
,不要随便跳步,以便查对有无
错误或
分析
定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析
出错的原因。
加减后得出的结果一定要化成最简分式(或整式)。
知识点六整数指数幂
? 引入负整数、零指数幂后,指数的取值范围就推广到了全体实数,并且正正整数幂的法则对对负整数指数幂一样适用。即
nmmnmnm,n,,a,aa,a,a? ?
nnnmnm,n,,ab,abna,0a,a,an? ? () aa,,1,n,,,a,nnbb,,a,0a? ? ()
0a,0a,1? () (任何不等于零的数的零次幂都等于1)
其中m,n均为整数。
科学记数法
n1,a,10a,10若一个数x是0
10的数则可以表示为(,即a的整数部分只有一位,n为整数)的形式,n
81.2,10的确定n=比整数部分的数位的个数少1。如120 000 000=
9个数字 知识点七分式方程的解的步骤
?去分母,把方程两边同乘以各分母的最简公分母。(产生增根的过程)
?解整式方程,得到整式方程的解。
?检验,把所得的整式方程的解代入最简公分母中:
如果最简公分母为0,则原方程无解,这个未知数的值是原方程的增根;如果最简公分母不为0,则是原方程的解。
产生增根的条件是:?是得到的整式方程的解;?代入最简公分母后值为0。
知识点八列分式方程
基本步骤
三角形、全等三角形、轴对称、整式乘法和因式分解、分式 17
新人教版八年级上册数学知识点总结 ? 审—仔细审题,找出等量关系。 ? 设—合理设未知数。
? 列—根据等量关系列出方程(组)。 ? 解—解出方程(组)。注意检验
答—答题。
?
三角形、全等三角形、轴对称、整式乘法和因式分解、分式 18