数学论文：如何解三角函数复合型单调性问题

数学论文：如何解三角函数复合型单调性问题 数学教学 论 文 如何解复合型三角函数单调性问题 单位:上高二中 姓名:朱建文 76263 电话:0795-25 1 如何解复合型三角函数单调性问题 yfu,()ugx,()内容摘要: 利用较简单函数及来研究较复杂的复合函数yfgx,[()]的单调性～体现了数学的化归思想。本文通过实例透析～利用复合函数的单调性规律处理较复杂的三角函数单调性问题思路清晰～易于操作～有效地降低了问题的难度～这也是笔者教学实践中切身体会。 关键词:复合函数、单调性、化归思想、思路清晰、切身体会。 yfu,()ugx,()ugx,()xab,(,)(,)ab已知函数和～在区间上具有单调性～当时umn,(,)yfu,()(,)mnyfgx,[()](,)ab且 在 上也具有单调性～则复合函数在区间上具有单调性～规律如下: yfu,() 增 ? 减? ugx,() 增? 减? 增 ? 减 ? yfgx,[()] 增? 减 ? 减 ? 增 ? yfgx,[()]yfu,()ugx,()复合函数的单调性可以由函数及的单调性确定的～ yfu,()ugx,()yfgx,[()]且规律是“同增～异减”。因为函数及较复合函数简单～ yfu,()ugx,()yfgx,[()]故此～利用函数及来研究复合函数的单调性～体现了数学的化归思想。利用复合函数的单调性规律处理较复杂的三角函数单调性问题～降低了问题的难度～下面结合具体问题谈谈。 ,例1.求函数的单调区间。 yx,，sin(2)3 ,yt,sin解析:令～则。 tx,，23 ,,5,,由得, tkkkZ,,，，,[2,2](),,，，,xkkkZ[,](),,,,221212 ,,3,,7 得。 ,，，,,，，,tkkkZ[2,2]()xkkkZ[,](),,,,221212 ,5,,在区间上为增函数～ tx,，2,，，,[,]()kkkZ,,31212 ,,yt,sin在区间上为增函数～ [2,2](),，，,kkkZ,,22 ,5,,在区间上为增函数, ？yx,，sin(2),，，,[,]()kkkZ,,31212 ,,,7在区间上为增函数～ tx,，2，，,[,]()kkkZ,,31212 2 ,,3yt,sin在区间上为减函数～ ，，,[2,2]()kkkZ,,22 ,5,,在区间上为减函数。 ？yx,，sin(2),，，,[,]()kkkZ,,31212 ,【变式】1. 求函数的单调区间。 yx,,,sin(2)3 ,yt,sin思路一:令～则～再利用复合函数的单调性规律求函数的tx,,,23 单调区间, ,,yt,,sin思路二:先将函数变形为令～则～再利用复yx,,，sin(2)tx,，233 合函数的单调性规律求函数的单调区间。 2(求函数的单调增区间。 yxxx,,,,sin23cos2,[,0], ,,yt,2sin解析:先将函数变形为～令～则。 tx,,2yx,,2sin(2)33 7,。 ,,,,,,xt[,0][,],,33 73,,7,,,,由得, 得。 ,,,t,,,[,]x,,[,0],,,t[,]x[,],12233212 ,7,,,在和区间上为增函数～ tx,,2,,[,],,[,],32312 73,,,,yt,sin在和区间上为增函数～ [,],,,,[,]2332 7,,,在和区间上为增函数。 ？yxxx,,,,sin23cos2,[,0],[,],,,,[,],2312 xxx17,2fx()3(已知函数～求函数在的最大值和最fx()sincoscos2,，,[,],22212 小值。 23,23,,，,yt,,sinfxx()sin()tx解析:先将函数变形为～令～则。 ,，222424 1755,,53,,5,。由得, ,,,,,t[,]x[,]xt[,][,],,,4241243 35,,517,,5,fx()得。因为在上为减函数～ ,,[,]t[,]x[,],423412 32，517,,5,,在上为增函数～故当,时～有最小值, xfx()[,]24412 3 1766，而～所以当时～有最大值-2。 fx()x,,,,ff()2,()2,,,,,,122 ,sin(2)x，13y,()例2.求函数的单调区间。 2 ,1,t～则。由例1知函数在解析:令tx,，sin(2)y,tx,，sin(2)()332 5,,,,3区间上为增函数～在区间上为减函,，，,，，,[,]()kkkZ[2,2]()kkkZ,,,,121222 ,sin(2)x，11t3y,()数。又函数在R上是减函数～所以～函数在y,()22 5,,,,3区间上为减函数～在区间上为增函,，，,，，,[,]()kkkZ[2,2]()kkkZ,,,,121222 数。 ,【变式】求函数yx,，logsin(2)的单调增区间。 132 ,解析:需要考虑定义域内求函数的单调区间。令～则。 yt,logtx,，sin(2)132 ,,,,由～ 2(2,2)()(,)()xkkkZxkkkZ，,，，,,,，，，,,,,,,32123 ,,,在上是减函数～且yt,log是减函数～ tx,，sin(2)(,)()，，，,kkkZ,,131232 ,,,？yx,，logsin(2)在上是增函数。 (,)()，，，,kkkZ,,131232 x22例3.函数的一个单调增区间是, , fxx()cos2cos,,2 ,,2,,,,,A. B. C. D. (,)(,),(0,)(,)6236633 22fx()解析:将函数变形为～令～则～ fxxx()coscos1,,,ytt,,,1tx,cos ,,,,fx() 因为在上没有单调性～故在上没有单调性～排(,),(,),tx,cos6666除选项D, 3,,,,2fx()t,(0,)因为时～此时～没有单调性～故在上(,)x,(,)ytt,,,126262 没有单调性～排除选项B, ,1,12因为时～此时～在是减函数～在是x,(0,)(0,)t,(,1)tx,cosytt,,,1(,1)3223 4 ,fx()增函数～故在是减函数～排除选项C, (0,)3 ,,211,,22因为时～此时～在是减函数～在,ytt,,,1x(,)tx,cos(,)t,,(,)333322 11,,2fx()是减函数～故在是增函数～正确选项是A。 (,)(,),3322 1sin,x【变式】求函数的单调区间。 fx()log,11sin，x2 1sin,x12,t解析:由～令～则在,-1～1,上tx,sin,,1,,,,,01sin1x11，，tt1sin，x 1,t是减函数～所以在,-1～1,上是增函数。 y,log11，t2 ,,又因为在上是增函数～ tx,sin(2,2)(),，，,kkkZ,,22 ,,3,,fx()在上是减函数～所以在上，，,(2,2)(),，，,kkkZ(2,2)()kkkZ,,,,2222 ,,3是增函数～在上是减函数。 ，，,(2,2)()kkkZ,,22 通过以上实例可见～利用复合函数的单调性规律处理较复杂的三角函数单 调性问题思路清晰～易于操作～有效地降低了问题的难度～这也是笔者教学实 践中切身体会。 参考文献: 1、《中学教材全解》 2、《五年高考三年模拟》 3、《教与学》 5