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求异面直线所成的角专题辅导

求异面直线所成的角专题辅导求异面直线所成的角专题辅导求异面直线所成的角祁正红求异面直线所成的角，一般有两种方法，一种是几何法，这是高二数学人教版(A)版本倡导的传统的方法，其基本解题思路是“异面化共面，认定再计算”，即利用平移法和补形法将两条异面直线转化到同一个三角形中，结合余弦定理来求。还有一种方法是向量法，即建立空间直角坐标系，利用向量的代数法和几何法求解，这是高二数学人教版(B)倡导的方法，下面举例说明两种方法的应用。例:长方体ABCD,ABCD中，AB=AA=2cm，AD=1cm，求异面直线AC与BD所11111...

求异面直线所成的角专题辅导求异面直线所成的角祁正红求异面直线所成的角，一般有两种方法，一种是几何法，这是高二数学人教版(A)版本倡导的传统的方法，其基本解题思路是“异面化共面，认定再计算”，即利用平移法和补形法将两条异面直线转化到同一个三角形中，结合余弦定理来求。还有一种方法是向量法，即建立空间直角坐标系，利用向量的代数法和几何法求解，这是高二数学人教版(B)倡导的方法，下面举例说明两种方法的应用。例:长方体ABCD,ABCD中，AB=AA=2cm，AD=1cm，求异面直线AC与BD所11111111成的角。解法1:平移法设AC与BD交于O，取BB中点E，连接OE，因为OE//DB，所以?COE或其补1111111角就是异面直线AC与BD所成的角?COE中 1111 15OC,AC,11122 11322OE,BD,,2，2，1, 1222 2222CE,BC，BE,1，1,21111 222OC，OE,CE11所以，,cosCOE1,2OCOE1 22,,253,,,,，，，,2,,,,22,,,, , 532，，22 5,5 5COEarccos 所以，, 15 5 所以异面直线所成的角为arccos AC与BD1115 图1 解法2:补形法在长方体ABCD—ABCD的面BC上补上一个同样大小的长方体，将AC平移到BE，11111 BE,5则?DBE或其补角就是异面直线AC与BD所成的角，在?BDE中，BD=3，，111111 22 DE,4，2,251 用心爱心专心 115号编辑 222BD，BE,DE11cos，DBE,12BD,BE1 2223525，，，,，， , 235，， 5,,5 5 所以异面直线AC与BD所成的角为 arccos1115 图2 解法3:利用公式 cos,,cos,,cos,12 设OA是平面α的一条斜线，OB是OA在α内的射影，OC是平面α内过O的任意一 ,,,条直线，设OA与OC、OA与OB、OB与OC所成的角分别是、、，则12 (注:在上述题设条件中，把平面α内的OC换成平面α内不经过Ocos,,cos,,cos,12 点的任意一条直线，则上述结论同样成立)DB在平面ABCD内射影是BD，AC看作是底1 面ABCD内不经过B点的一条直线，BD与AC所成的角为?AOD，DB与BD所成角为?1 ,DBD，设DB与AC所成角为，，cos,,cos，DBD,cos，AOD111 BD5。 cosDBD，,,1BD51 222OD，OA,AD，,cosAOD,2ODOA 22,,,,552,,,,，,1,,,,223,,,,,,555，,222 ,cos,cos，DBD,cos，AOD 1 53,,35 5,5 5,arccos, 所以 5 5arccos 所以异面直线AC与BD所成的角为 1115 用心爱心专心 115号编辑图3 a,bcos,, 解法4:向量几何法: |a||b|,,, 设为空间一组基向量 AB、AD、AA1 ,,, AB,a,AD,b,AA,c1 |a|,2,|b|,1,|c|,2 a,b,0,a,c,0,b,c,0 ,,,, BD,BA，AA，AD,b，c,a1111 , AC,a，b11 ,22AC,|a，b|,2，1,511 ,2222|BD|,|b，c,a|,|b|，|a|，|c|,31 ,,22BDAC(bca)(ab)|b||a|143,,，,，,,,,,,111 , cosBD ,1 ,,,BDAC,35,111AC,,,,,11,,535|BD||AC|111 5arccos 所以异面直线AC与BD所成的角为 1115 图4 解法5:向量代数法: ab，ab，ab112233cos,, 222222a，a，a,b，b，b123123 用心爱心专心 115号编辑以D为坐标原点，DC、DA、DD分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，则A(0，1 ,, 1，0)、C(2，0，0)，B(2，1，0)、D(0，0，2)， BD,(,2,,1,2),AC,(2,,1,0)11 ,,55, cosBD,AC,,,,,1535 5 所以异面直线AC与BD所成的角为 arccos1115 图5 解法6:利用公式 2222AD，BC,AB,DC cos, ,2AC,BD , 定理:四面体A—BCD两相对棱AC、BD间的夹角必满足 2222AD，BC,AB,DCcos, ,2AC,BD 图6 ,解:连结BC、AB在四面体中，异面直线AC与BD所成的角是，易B,ACD11111111 求得 AC,BC,5,AB,22,BD,311111 图7 用心爱心专心 115号编辑 222AD，BC,AB,DC111111由定理得: cos,,2AC,BD111 2222，，，，1，5,22,2, 2，5，3 5,5 5所以 ,arccos,5 用心爱心专心 115号编辑

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