大一高数知识点总结

大一高数 知识点 高中化学知识点免费下载体育概论知识点下载名人传知识点免费下载线性代数知识点汇总下载高中化学知识点免费下载 总结 :知识点 高数 高数 公式 小学单位换算公式大全免费下载公式下载行测公式大全下载excel公式下载逻辑回归公式下载 高数下册知识点归纳 大学高数知识点总结 篇一:大一高数知识点,重难点整理 第一章 基础知识部分 &1.1初等函数 一、函数的概念 1、函数的定义 函数是从量的角度对运动变化的抽象 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 述，是一种刻画运动变化中变化量相依关系的数学模型。 设有两个变量x与y，如果对于变量x在实数集合D内的每一个值，变量y按照一定的法则都有唯一的值与之对应，那么就称x是自变量，y是x的函数 ，记作y=f(x)，其中自变量x取值的集合D叫函数的定义域，函数值的集合叫做函数的值域。2、函数的表示方法 (1)解析法 即用解析式(或称数学式)表示函数。如y=2x+1, y=,x,，y=lg(x+1),y=sin3x等。 便于对函数进行精确地计算和深入 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 。 (2)列表法 即用表格形式给出两个变量之间函数关系的方法。 便于差的某一处的函数值。 (3)图像法 即用图像来表示函数关系的方法 非常形象直观，能从图像上看出函数的某些特性。 分段函数——即当自变量取不同值时，函数的表达式不一样，如 1??2x?1,x?0?xsin, f?x???y??x ?2x?1,x?0???0 x?0 x?0 隐函数——相对于显函数而言的一种函数形式。所谓显函数，即直接用含自变量的式子表示的函数，如y=x2+2x+3，这是常见的函数形式。而隐函数是指变量x、y之间的函数关系式是由一个含x，y的方程F(x,y)=0给出的，如2x+y-3=0，e可得y=3-2x，即该隐函数可化为显函数。 参数式函数——若变量x,y之间的函数关系是通过参数式方程? x?y 而由2x+y-3=0?x?y?0等。 ?x???t?， ?t?T?给出的，??y??t? 这样的函数称为由参数方程确定的函数，简称参数式方程，t称为参数。 反函数——如果在已给的函数y=f(x)中，把y看作自变量，x也是y的函数，则所确定的函数x=?(y)叫做y=f(x)的反函数，记作 x=fˉ1(y)或y= fˉ1(x)(以x表示自变量). 二、函数常见的性质 1、单调性(单调增加、单调减少) 2、奇偶性(偶:关于原点对称，f(-x)=f(x);奇:关于y轴对称，f(-x)=-f(x).) 3、周期性(T为不为零的常数，f(x+T)=f(x)，T为周期) 4、有界性(设存在常数M,0，对任意x?D，有f?(x)??M,则称f(x)在D上有界，如果不存在这样的常数M，则称f(x)在D上无界。 5、极大值、极小值 6、最大值、最小值 三、初等函数 1、基本初等函数 常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数共六大类函数统称为基本初等函数。(图像、性质详见P10) 2、复合函数——如果y是u的函数y=f(u),而u又是x的函数u=?(x)，且?(x)的值域与f(x)的定义域的交非空，那么y也是x的函数，称为由y=f(u)与u=?(x)复合而成的复合函数，记作y=f(?(x))。 3、初等函数——由基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数复合构成的，并且能用一个数学式子表示的函数，称为初等函数。 四、函数关系举例与经济函数关系式 1、函数关系举例 2、经济函数关系式 (1)总成本函数——总成本=固定成本+变动成本 平均单位成 本=总成本/产量(2)总收益函数——销售总收益=销售价格×产量(3)总利润函数——总利润=销售总收益-总成本 (4)需求函数——若其他因素不变，需求量Q=f(P)(P为产品销售价格) &1.2函数的极限 一、数列的极限 对于无穷数列{an}，当项数n无限增大时，如果an无限接近于一个确定的常数A，则 lim 称A为数列{an}的极限，记为a=A，或当n??时，an?A。 n??n lim1lim 若数列{an}存在极限，也称数列{an}收敛，例如?0，C?C(C为 n??nn?? limn 常数)， q=0q?1) 。 n?? 若数列{an}没有极限，则称数列{an}发散。 数列极限不存在的两种情况: (1)数列有界，但当n??时，数列通项不与任何常数无限接近，如:??1? n?1 ; (2)数列无界，如数列{n2}。 二、当x?0时，函数f(x)的极限 如果当x的绝对值无限增大(记作x??)时，函数f(x)无限地接近一个确定的常数A，那称A为函数f(x)当x??时的极限，记作 lim f?x??A，或当x??时，f(x) ?A。 x?? 单向极限定义 如果当x???或?x????时，函数f(x)无限接近一个确定的长寿湖A，那么称A为函数f(x)当x???或?x????时得极限，记作 lim?lim? ?。 ??f?x??A?fx?A??x????n???? 三、当X?Xo时，函数f(x)的极限 1、当X?Xo时，函数f(x)的极限定义如果当x无限接近Xo(记作X?Xo)时，函数f(x)无限接近于一个确定的常数A，则称A为函数f(x)当X?Xo时的极限，记作 lim f?x??A，或当X?Xo时，f(x) ?A。 n?? 2、当X?Xo时，函数f(x)的左极限和右极限 如果当X?Xoˉ(或x?x0)时，函数f(x)无限接近一个确定的常数A，则称函数f(x)当X?Xo时的左极限(右极限)为A，记作四、无穷大与无穷小 1、无穷大与无穷小的定义 ? ?lim???fx?Af?x?????x?x0?x?x0 lim ? A??。 ? lim 如果当X?Xo时，f(x)?0，就称f(x)当X?Xo时的无穷小，记作f?x??0;如 x?x0 果当X?Xo时，f(x)的绝对值无限增大，就称函数f(x)当X?Xo时为无穷大，记作 lim f?x???。其中，如果当X?Xo时，f(x)向正的方向无限增大，就称函数f(x)当X x?x0 lim ?Xo时为正无穷大，记作f?x????;如果当X?Xo时，f(x)向负的方向无限增大， x?x0 就称函数f(x)当X?Xo时为负无穷大，记作 2、无穷小与无穷大的关系 在自变量的同一变化中，如果f(x)为无穷大，那么 lim f?x????。 x?x0 1 为无穷小;反之，如果f(x)f(x) 为无穷小，那么 1 为无穷大。 f(x) 根据这个性质，无穷大的问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 可以转化为无穷小的问题。 3、无穷小的性质 性质1:有限个无穷小的代数和为无穷小; 性质2:有限个无穷小的乘积为无穷小; 性质3:有界函数与无穷小的乘积为无穷小。 4、无穷小的比较 设a与b是自变量同一变化中的两个无穷小，记作a=o(b); a =0，则称a是比b低阶的无穷小; ba (2) 如果lim=?, 则称a是比b高阶的无穷小; b (1)如果lim a =c(c为非零的常数),则称a是比b同阶的无穷小。 b a 特别的，当c=1,即lim=1时，称a与b是等阶无穷小，记作a,b。 b (3) 如果lim &1.3极限运算法则 法则一 若lim u=A，lim v=B，则 lim(u?v)=lim u?lim v=A?B; 法则二 若lim u=A，lim v=B，则 lim(u?v)=lim u?lim v=A?B; 法则三 若lim u=A，lim v=B，且B?0，则 lim ulimuA== vlimvB 推论 若lim u=A，C为常数，k?N，则 (1)lim C?u=C?lim u=C?A; (2)lim u= (lim u)k=A 注 运用这一法则的前提条件是u与v的极限存在(在商的情况下还要求分母的极限不为零)。 k k &1.4两个重要极限 一、 limsin x =1 x?0x lim?1?x 二、?1??=e x???x? &1.5函数的连续性 一、函数连续性的概念 1.函数在某点的连续性 若函数f(x)在点x0及其左右有定义，且处连续，x0为函数f(x) 的连续点。 理解这个定义要把握三个要点:(1)f(x)要在点x0及其左右有 定义;(2) lim f(x)=f(x0)，则称函数f(x)在点x0 x?x0 lim f(x)要存在 x?x0 lim f(x)= f(x0)。 x?x0 (3) 增量 ?x=x-x0 ?y= f(x)- f(x0) 设函数f(x)在点x0及其左右有定义，如果当自变量x在点x0处的增量?x趋近于零时，相应的函数增量?y也趋近于零，即 lim 则称函数f(x)在点x0处连续，x0?y?0， ?x?0 为f(x)的连续点。 2.函数在区间上的连续性、连续函数 如果函数f(x)在区间(a，b)上每一点上连续，则称函数f(x)在区间(a，b)上连续。 如果函数f(x)在某个区间上连续，就称f(x)是这个区间上的连续函数。 二、连续函数的运算与初等函数的连续性 1.连续函数的运算 如果两个函数在某一点连续，那么它们的和、差、积、商(分母不为零)在这一点也连续。 设函数u?????在点x0处连续，且u0???x0?，函数y=f(u)点u0处连续，那么复合函数y?f(??x0?)在点x0处也连续。 2.初等函数的连续性 初等函数在其定义域内是连续的。 第二章微分与导数 &2.1导数的概念 设函数y=f(x)在点x0处及其左右两侧的小范围内有定义，当?x ?0时，若 ?y 得极限?x 存在，则称y=f(x)在点x0处可导，并称此极限值为函数y=f(x) 点 x0处的导数，记作 limf?x0??x??f?x0??y ， ?x0??f’? ?x?0?x?x?0?x lim 还可记作y’ ? x?x0或 dydy ?x?x0 dxdx ? x?x0 。 ? (x0)和f?? (x0)都存在且等于A，即 函数f(x)在点x0可导且f′ (x0)=A等价于f? ??x0??f???x0??A。 f??x0??A?f? 根据这个定理，函数在某点的左、右导数只要有一个不存在，或者虽然都存在但不相等， 该点的导数就不存在。 &2.2导数的四则运算法则和基本公式 篇二:高数——大一复习总结 高等数学(本科少学时类型) 第一章 函数与极限 第一节 函数 ?函数基础(高中函数部分相关知识)(???) ?邻域(去心邻域)(?) U?a,???x|x?a?? ?无穷小与无穷大的相关定理与推论(??) (定理三)假设f?x?为有界函数，g?x?为无穷小，则lim??f?x??g?x????0 (定理四)在自变量的某个变化过程中，若f?x? 为无穷大，则f?1?x?为无穷小;反之，若f?x?为无穷小，且f?x??0，则f?1?x?为无穷大 【题型示例】计算:lim??f?x??g?x???(或x??) x?x0 ?? U?a,????x|0?x?a??? 第二节 数列的极限 ?数列极限的证明(?) 【题型示例】已知数列?xn?，证明lim?xn??a x?? ? 1(?f?x??M?函数f?x?在x?x0的任一去心邻域U?x0,??内是有界的; (?f?x??M，?函数f?x?在x?D上有界;) 2(limg?x??0即函数g?x?是x?x0时的无穷小; (limg?x??0即函数g?x?是x??时的无穷小;) x?? ? 【证明示例】??N语言 1(由xn?a??化简得n?g???， ?N???g????? 2(即对???0，?N???g?????，当n?N时，始终有不等式xn?a??成立， ?lim?xn??a x?? x?x0 3(由定理可知lim??f?x??g?x????0 x?x0 (lim??f?x??g?x????0) x?? 【题型示例】已知函数f?x?，证明limf?x??A x?x0 第三节 函数的极限 ?x?x0时函数极限的证明(?) 第五节 极限运算法则 ?极限的四则运算法则(??) (定理一)加减法则 (定理 二)乘除法则 关于多项式p?x?、q?x?商式的极限运算 mm?1 ??p?x??a0x?a1x???am 设:? nn?1 ??q?x??b0x?b1x???bn ??n?m?p?x??a0 ??n?m 则有lim x??qx?b0 n?m??0 ?f?x0? g?x0??0? gx0f?x??? g?x0??0,f?x0??0 lim??? x?x0gx?0 ?g?x0??f?x0??00?? f?x?0 (特别地，当lim?(不定型)时，通常分 x?x0gx0 【证明示例】???语言 1(由f?x??A??化简得0?x?x0?g???， ???g??? 2(即对???0，???g???，当0?x?x0??时，始终有不等式f?x??A??成立， ?limf?x??A x?x0 ?x??时函数极限的证明(?) 【题型示例】已知函数f?x?，证明limf?x??A x?? 【证明示例】??X语言 1(由f?x??A??化简得x?g???， ?X?g??? 2(即对???0，?X?g???，当x?X时，始终有不等式f?x??A??成立， ?limf?x??A x?? 第四节 无穷小与无穷大 ?无穷小与无穷大的本质(?) 函数f?x?无穷小?limf?x??0 函数f?x?无穷大?limf?x??? 子分母约去公因式即约去可去间断点便可求解出极限值，也可以用罗比达法则求解) 【题型示例】求值lim x?3 x?3 x2?9 【求解示例】解:因为x?3，从而可得x?3，所以原 x?3x?311 ?lim?lim? x?3x2?9x?3x?3x?3x?3x?36 x?3 其中x?3为函数f?x??2的可去间断点 x?9 式?lim 倘若运用罗比达法则求解(详见第三章第二节): ?2x?3? 解:lim??x??2x?1?? x?1 ?2x?1?2? ?lim??x?? ?2x?1? 2x?12 ??x?1?22x?1 x?1 2?? ?lim?1??2x?1?? ?2x?1? 2 x?1 2?? ?lim?1??2x?1?? ?2x?1? 2x?12x?1 ??22?? ?lim??1???2x?1????2x?1?? ??? ??x?1?? ? ?2?lim???x?1?? ?2x?1???2x?1 ??x?1? x?3???x?311 ?lim?lim? 解:lim2 x?3x?9L?x?3x?32x6 ?x2?9?? ?连续函数穿越定理(复合函数的极限求解)(??) (定理 五)若函数f?x?是定义域上的连续函数，那 00 ? 2?? ??lim?1? ?2x?1???2x?1????e 2x?1??? 2x?12 ???? 2x?1????2x?1 lim ?2 ?e ?2x?2? lim?? 2x?1? ?e1?e ??x???f?lim??x?? 么，limf?????x?x0?x?x0? 【题型示例】求值:lim x?3 x?3 x2?9 第七节 无穷小量的阶(无穷小的比较) ?等价无穷小(??) U~sinU~tanU~arcsinU~arctanU~ln(1?U)1( U ~?e?1?2(U~1?cosU (乘除可替，加减不行) ln?1?x??xln?1?x?【题型示例】求值:lim 2x?0x?3x 【求解示例】 ln?1?x??xln?1?x?解:因为x?0,即x?0,所以原式?limx?0x2?3x ?1?x??ln?1?x??lim?1?x??x?limx?1?1?limx?0x?0xx?3x?0x?3xx?33 第八节 函数的连续性 ?函数连续的定义(?) x?x0? 【求解示例】x?3 ??1 2 2 第六节 极限存在准则及两个重要极限 ?夹迫准则(P53)(???) 第一个重要极限:lim??x??0, sinx ?1 x?0x sinx??? ?1 ?，sinx?x?tanx?limx?0x?2? lim1x1x?0 lim?lim??1 x?0sinxx?0sinx?sinx? lim??x?0x?x? limf?x??lim?f?x??f?x0? x?x0 ?间断点的分类(P67)(?) ?跳越间断点(不等) 第一类间断点(左右极限存在)? ?可去间断点(相等) ??? 第二类间断点? ?)?无穷间断点(极限为 (特别地，可去间断点能在分式中约去相应公因式) sin(x?x0) (特别地，lim?1) x?x0x?x0 ?单调有界收敛准则(P57)(???) ?1? 第二个重要极限:lim?1???e x?? ?x? (一般地，lim??f?x???limf?x??0) g?x? x ???limf?x??? limg?x? ，其中 ?e2xx?0 【题型示例】设函数f?x??? ，应该怎样选 a?xx?0? 择数a，使得f?x?成为在R上的连续函数, 【求解示例】 ? ?f?0???e2?0?e1?e? 1(??f0??a?0??a ???? f?0??a?? f?x??limf?x??f?0??e 2(由连续函数定义lim?? x?0 x?0 ?2x?3?【题型示例】求值:lim??x??2x?1?? 【求解示例】 x?1 ?a?e 第九节 闭区间上连续函数的性质 ?零点定理(?) 【题型示例】证明:方程f?x??g?x??C至少有一个根介于a与b之间 【证明示例】 1((建立辅助函数)函数??x??f?x??g?x??C在闭区间?a,b?上连续; 2(???a????b??0(端点异号) 3(?由零点定理，在开区间?a,b?内至少有一点?，使 ????g????C?0(0???1)4(这等式说明方程f?x??g?x??C在开区间?a,b?内至少有一个根? 第二章 导数与微分 第一节 导数概念 ?高等数学中导数的定义及几何意义(P83)(??) 得?????0，即f 【题型示例】求函数f?1?x?的导数 【求解示例】由题可得f?x?为直接函数，其在定于域D 上单调、可导，且f??x??0;???f ?1 ? ?x???? 1 f?x?复合函数的求导法则(???) 【题型示例】设y?lne【求解示例】 解:y?? ? ，求y? ? e ? ? ? ?ex?1x?0 【题型示例】已知函数f?x??? ，在x?0 x?0?ax?b 处可导，求a，b 【求解示例】 ?f?0???e0?1?e0?1?20 ?f???0??e?1?1(??，? ??f0?b??? ??f???0??a? f?0??e0?1?2?? ? ? ? ??e??????e?????earcsi? ?? x?a? ? ?? ? 22 第四节 高阶导数 ?f ?n? ?n?1? ?n?1???n??dydy)(或(?) ?x????n?n?1?dx?dx? ?x????f ?f???0??f???0??a?1 2(由函数可导定义? ??? ??f0?f0?f?0??b?2 ?a?1,b?2 【题型示例】求函数y?ln?1?x?的n阶导数 【求解示例】y?? ???? 1?1 ??1?x?， 1?x 【题型示例】求y?f?x?在x?a处的切线与法线方程 (或:过y?f?x?图像上点??a,f?a???处的切线与法线方程) 【求解示例】 1(y??f??x?，y?|x?a?f??a? 2(切线方程:y?f?a??f??a??x?a? 法线方程:y?f?a??? 1 x?a? ?f?a?1??2 ?y????1?x?????1???1?x?， ?? ?2??3 y???????1???1?x?????1????2???1?x? ?? ?? y?n??(?1)n?1?(n?1)～?(1?x)?n 第五节 隐函数及参数方程型函数的导数 ?隐函数的求导(等式两边对x求导)(???) 【题型示例】试求:方程y?x?e所给定的曲线C: y 第二节 函数的和(差)、积与商的求导法则 ?函数和(差)、积与商的求导法则(???) 1(线性组合(定理一):(?u??v)???u???v? 特别地，当????1时，有(u?v)??u??v? 2(函数积的求导法则(定理二):(uv)??u?v?uv? y?y?x?在点?1?e,1?的切线方程与法线方程 【求解示例】由y?x?e两边对x求导 即y??x??e?y?? y ??化简得y??1?e y ? y ?y? ? ?u?u?v?uv? 3(函数商的求导法则(定理三):??? 2 vv?? 第三节 反函数和复合函数的求导法则 ?反函数的求导法则(?) 11 ? 1?e11?e 1 ?x?1?e? 1?e ?切线方程:y?1? 法线方程:y?1???1?e??x?1?e? ?参数方程型函数的求导 ?x?0，函数f?x?在闭区间?0,x?上连续，在开区 ?x???t?dy ，求2 dx?y???t? ??dy? ?dy???t?d2y?dx??【求解示例】1.2.2? ? ??tdx??tdx 2 【题型示例】设参数方程? 1 ; 1?x 2(由拉格朗日中值定理可得，????0,x?使得等式 间?0,??上可导，并且f??x?? ln?1?x??ln?1?0?? 化简得ln?1?x???f????? 1 ?x?0?成立， 1?? 第六节 变化率问题举例及相关变化率(不作要求) 第七节 函数的微分 ?基本初等函数微分公式与微分运算法则(???) dy?f??x??dx 第三章 中值定理与导数的应用 第一节 中值定理 ?引理(费马引理)(?) ?罗尔定理(???) 【题型示例】现假设函数f?x?在?0,??上连续，在?0,?? 上可导，试证明:????0,??， 使得f 1 x，又????0,x?， 1?? 1 ?1，?ln?1?x??1?x?x， 1?? x 即证得:当x?1时，e?e?x 第二节 罗比达法则 ?运用罗比达法则进行极限运算的基本步骤(??) ? 1(等价无穷小的替换(以简化运算) 2(判断极限不定型的所属类型及是否满足运用罗比达法则的三 个前提条件 A(属于两大基本不定型( ???cos??f????sin??0成立 【证明示例】 1((建立辅助函数)令??x??f?x?sinx 显然函数??x?在闭区间?0,??上连续，在开区间 0? ,)且满足条件，0? f?x?f??x? 则进行运算:lim ?lim x?agxx?ag?x?0,??上可导; 2(又???0??f?0?sin0?0 ?????f???sin??0 即??0???????0 3(?由罗尔定理知 (再进行1、2步骤，反复直到结果得出) ? B(不属于两大基本不定型(转化为基本不定型) ?0??型(转 乘为除，构造分式) 【题型示例】求值:limx?lnx x?0 ? 【求解示例】 解:limx??lnx?lim x?0 ????0,??，使得f???cos??f????sin??0成立 ?拉格朗日中值定理(?) 【题型示例】证明不等式:当x?1时，e?e?x 【证明示例】 1((建立辅助函数)令函数f?x??e，则对?x?1， xx lnx ?lim x?0L?x?0 ?1?x ?x ?? ?lnx?? ???? 1?lim x?0??x??1 ?2x 1 ??limx??0 ax?0 (一般地，limx??lnx??0，其中?,??R) ? x?0 ? 显然函数f?x?在闭区间?1,x?上连续，在开区间 ????型(通分构造分式，观察分母) 【题型示例】求值:lim? ?1,x?上可导，并且f??x??ex; 2(由拉格朗日中值定理可得，????1,x?使得等式 ? 成立， ex?e1??x?1?e x11 又?e?e，?e?e??x?1?e?e?x?e， 1??1 ?? x?0sinxx?? ?1 【求解示例】 1??1?x?sinx??x?sinx? 解:lim????lim??lim???x?0sinxx?x?0?x?sinx?x?0?x2?? 化简得e?e?x，即证得:当x?1时，e?e?x 【题型示例】证明不等式:当x?0时，ln?1?x??x 【证明示例】 1((建立辅助函数)令函数f?x??ln?1?x?，则对 xx ?lim L?x?0 00 ?x?sinx?? ?x?? 2 1?cosx???1?cosxsinx ?lim?lim?lim?0x?0x?02xL?x?0?2x??2 ?0型(对数求极限法) 【题型示例】求值:limx x?0 x 【求解示例】 解:设y?xx,两边取对数得:lny?lnxx?xlnx? ? ? lnxx 0?00 ?0(2)(1)(3) ?????????0??????1? ???0 ?? ?通分获得分式(通常伴有等价无穷小的替换) ?取倒数获得分式(将乘积形式转化为分式形式) ?取对数获得乘积式(通过对数运算将指数提前) 第三节 泰勒中值定理(不作要求) 第四节 函数的单调性和曲 线的凹凸性 ?连续函数单调性(单调区间)(???) 【题型示例】试确定函数f?x??2x3?9x2?12x?3的单调区间 【求解示例】 1(?函数f?x?在其定义域R上连续，且可导 2 ?f??x??6x?18x?12 lnx???lnx 对对数取x?0时的极限:lim?lny??lim?lim x?0x?01L?x?0 ?1????x ?x? 1 limlny ?lim??limx?0，从而有limy?limelny?ex?0?e0?1x?0x?0x?0x?0?2x ?1型(对数求极限法) 【题型示例】求值:lim?cosx?sinx? x?0 1x ? 【求解示例】 解:令y??cosx?sinx?,两边取对数得lny? ln?cosx?sinx? , x ln?cosx?sinx? 对lny求x?0时的极限，limlny?lim x?0x?0x ?0ln?cosx?sinx???cosx?sinx1?0???lim?lim??1,从而可得 L?x?0x?0cosx?sinx1?0??x? 1 x 2(令f??xx??1x???2??0??6 ，解得:x1?1,x2?2 limy=limelny?ex?0 x?0 x?0 limlny ?e1?e ??型(对数求极限法) 【题型示例】求值:lim?【求解示例】 4(?函数fx的单调递增区间为??,1,2,??; 单调递减区间为?1,2? 【题型示例】证明:当x?0时，e?x?1 【证明示例】 1((构建辅助函数)设??x??e?x?1，(x?0) xx ?1? ?x?0x?? tanx ?1? 解:令y??? ?x? tanx ?1? ,两边取对数得lny?tanx?ln??, ?x? 2(???x??e?1?0，(x?0) x ???x????0??0 3(既证:当x?0时，e?x?1 【题型示例】证明:当x?0时，ln?1?x??x 【证明示例】 1((构建辅助函数)设??x??ln?1?x??x，(x?0) x ??1?? 对lny求x?0时的极限，limlny?lim?tanx?ln??? x?0x?0 ?x???1? ? ?lnx???limlnx? ??lim??lim2x?0?x?01?L?x?0secx?1?????2 ??tanx?tanx?tanx??sin2x???sinx2sinx?cosx ?lim?lim?lim?0,x?0x?0xL?x?0x?1 2 1 ?1?0，(x?0) 1?x ???x????0??0 2(???x?? 3(既证:当x?0时，ln?1?x??x ?连续函数凹凸性(???) 【题型示例】试讨论函数y?1?3x?x的单调性、极值、 凹凸性及拐点 【证明示例】 2 3 从而可得limy=limelny?ex?0 x?0 x?0 limlny ?e0?1 ?运用罗比达法则进行极限运算的基本思路(??) 篇三:高等数学知识点归纳 第一讲: 一. 数列函数: 1. 类型: 极限与连续 (1)数列: *an?f(n);*an?1?f(an) (2)初等函数: (3)分段函数: *F(x)?? ?f1(x)x?x0?f(x)x?x0 ; *F(x)??;* ,, ?ax?x0?f2(x)x?x0 (4)复合(含f)函数: y?f(u),u??(x) (5)隐式(方程):F(x,y)?0 (6)参式(数一,二): ? ?x?x(t) ?y?y(t) (7)变限积分函数: F(x)? ? x a f(x,t)dt (8)级数和函数(数一,三): S(x)? 2. 特征(几何): ?ax,x?? nnn?0 ? (1)单调性与有界性(判别); (f(x)单调??x0,(x?x0)(f(x)?f(x0))定号) (2) 奇偶性与周期性(应用). 3. 反函数与直接函数: y?f(x)?x?f二. 极限性质: 1. 类型: *liman; *limf(x)(含x???); *limf(x)(含x?x0?) n?? x?? ?1 (y)?y?f?1(x) x?x0 2. 无穷小与无穷大(注: 无穷量): 3. 未定型: 0?? ,,1,???,0??,00,?0 0? 4. 性质: *有界性, *保号性, *归并性 三. 常用结论: an n?1, a(a?0)?1, (a?b?c?maxa(b,, c, ) ?a?0??0 n! n n 1n1n1nn 1xnlnnxx x?1,lix?0?0, (x?0)??,lim,lim? x???x???x?0xex x xlnx?0lim, e??x?0? n ?0x??? , ???x??? 四. 必备公式: 1. 等价无穷小: 当u(x)?0时, ux(?)ux(; )tanu(x)?u(x); 1?cosu(x)?sin 12 u(x); 2 eu(x)?1?u(x);ln(1?u(x))?u(x); (1?u(x))??1??u(x); unx(?)ux; ( arctanu(x)?u(x) arcsi 2. 泰勒公式: 12 x?o(x2); 2!122 (2)ln(1?x)?x?x?o(x); 2134 (3)sinx?x?x?o(x); 3! 12145 (4)cosx?1?x?x?o(x); 2!4! ?(??1)2? x?o(x2). (5)(1?x)?1??x? 2! (1)e?1?x? x 五. 常规方法:前提: (1)准确判断, 1. 抓大弃小( 0??1 ,1,?M(其它如:???,0??,00,?0); (2)变量代换(如:?t) 0?x ?), ? 2. 无穷小与有界量乘积 (??M) (注:sin ? 1 ?1,x??) x 3. 1处理(其它如:0,?) 4. 左右极限(包括x???): 1 1x (1)(x?0);(2)e(x??); ex(x?0);(3)分段函数: x, [x], maxf(x) x 00 5. 无穷小等价替换(因式中的无穷小)(注: 非零因子) 6. 洛必达法则 (1)先”处理”,后法则( 0xlnxxlnx最后方法); (注意对比: lim与lim) x?1x?001?x1?x v(x) (2)幂指型处理: u(x)?e v(x)lnu(x) (如: e 1x?1 ?e?e(e 1x1x11?x?1x ?1)) (3)含变限积分; (4)不能用与不便用 7. 泰勒公式(皮亚诺余项): 处理和式中的无穷小 8. 极限函数: f(x)?limF(x,n)(?分段函数) n?? 六. 非常手段 1. 收敛准则: (1)an?f(n)?limf(x) x??? (2)双边夹: *bn?an?cn?, *bn,cn?a? (3)单边挤: an?1?f(an) *a2?a1? *an?M? *f'(x)?0? ?f ?fx'0( ) ?x?0?x 1112n [?)f(??)?f(??)]fxd( 3. 积分和: lif, x) 0n??nnnn 2. 导数定义(洛必达?): li 4. 中值定理: lim[f(x?a)?f(x)]?alimf'(?) x??? x??? 5. 级数和(数一三): ? 2nn! (1)?an收敛?liman?0, (如limn) (2)lim(a1?a2???an)??an, n??n??nn?? n?1n?1 ? ? (3){an}与 ?(a n?1 n ?an?1)同敛散 七. 常见应用: 1. 无穷小比较(等价,阶): *f(x)?kxn,(x?0)? (1)f(0)?f'(0)???f(2) (n?1) (0)?0,f(n)(0)?a?f(x)? ana x??(xn)?xn n!n! ? x f(t)dt??ktndt x 2. 渐近线(含斜): f(x) ,b?lim[f(x)?ax]?f(x)?ax?b?? x??x??x 1 (2)f(x)?ax?b??,(?0) x (1)a?lim 3. 连续性:(1)间断点判别(个数);(2)分段函数连续性(附:极限函数, f'(x)连续性) 八. [a,b]上连续函数性质 1. 连通性: f([a,b])?[m,M] (注:?0???1, “平均”值:?f(a)?(1??)f(b)?f(x0)) 2. 介值定理: (附: 达布定理) (1)零点存在定理: f(a)f(b)?0?f(x0)?0(根的个数); (2)f(x)?0?( ? x a f(x)dx)'?0. 第二讲:导数及应用(一元)(含中值定理) 一. 基本概念: 1. 差商与导数: f'(x)?lim ?x?0 f(x??x)?f(x)f(x)?f(x0) ; f'(x0)?lim x?x0?xx?x0 (1)f'(0)?lim x?0 f(x)?f(0)f(x) ?A(f连续)?f(0)?0,f'(0)?A)(注:lim x?0xx (2)左右导: f?'(x0),f?'(x0); (3)可导与连续; (在x?0处, x连续不可导; xx可导) 2. 微分与导 数: ?f?f(x??x)?f(x)?f'(x)?x?o(?x)?df?f'(x)dx (1)可微?可导; (2)比较?f,df与0的大小比较(图示); 二. 求导准备: 1. 基本初等函数求导公式; (注: (f(x))') 2. 法则: (1)四则运算; (2)复合法则; (3)反函数三. 各类求导(方法步骤): dx1 ? dyy' f(x?h)?f(x?h) h 1. 定义导: (1)f'(a)与f'(x)x?a; (2)分段函数左右导; (3)lim h?0 ?F(x)x?x0 (注: f(x)??, 求:f'(x0),f'(x)及f'(x)的连续性) , x?xa?0 2. 初等导(公式加法则): (1)u?f[g(x)], 求:u'(x0)(图形题); (2)F(x)?(3)y?? ? x a f(t)dt, 求:F'(x)(注: (?f(x,t)dt)',(?f(x,t)dt)',(?f(t)dt)') a a a xbb ?f1(x)x?x0 ,,求f?'(x0),f?'(x0)及f'(x0) (待定系数) ?f2(x)x?x0 dyd2y, 3. 隐式(f(x,y)?0)导: dxdx2 (1)存在定理; (2)微分法(一阶微分的形式不变性).(3)对数求导法. ?x?x(t)dyd2y ,2 4. 参式导(数一,二): ?, 求: dxdx?y?y(t) 5. 高阶导f(n)(x)公式: (e) ax(n) 1(n)bnn! ; )??ae; (n?1 a?bx(a?bx) nax(n) (sinax) ?ansin(ax? ? 2 ?n);(cosax)(n)?ancos(ax? ? 2 ?n) 1(n?1)2(n?2) (uv)(n)?u(n)v?Cnuv'?Cnuv?? 注: f (n) f(n)(0) (0)与泰勒展式: f(x)?a0?a1x?a2x2???anx???an? n! n 四. 各类应用: 1. 斜率与切线(法线); (区别: y?f(x)上点M0和过点M0的切线) 2. 物理: (相对)变化率?速度; 3. 曲率(数一二): ?? 曲率半径, 曲率中心, 曲率圆) 4. 边际与弹性(数三): (附: 需求, 收益, 成本, 利润) 五. 单调性与极值(必求导) 1. 判别(驻点f'(x0)?0): (1) f'(x)?0?f(x)?;f'(x)?0?f(x)?; (2)分段函数的单调性 (3)f'(x)?0?零点唯一; f(x)?0?驻点唯一(必为极值,最值). 2. 极值点: (1)表格(f'(x)变号); (由lim x?x0 f'(x)f'(x)f''(x) ?0,lim?0,lim2?0?x?0的特点) x?x0x?x0xxx (2)二阶导(f'(x0)?0) 注(1)f与f',f的匹配(f'图形中包含的信息); (2)实例: 由f'(x)??(x)f(x)?g(x)确定点“x?x0”的特点.(3)闭域 上最值(应用例: 与定积分几何应用相结合, 求最优) 3. 不等式 证明(f(x)?0) (1)区别: *单变量与双变量? *x?[a,b]与x?[a,??),x?(??,??)? (2)类型: *f'?0,f(a)?0; *f'?0,f(b)?0