极限在高等数学中的地位

极限在高等数学中的地位 摘要：1821年柯西(1789―1857）在《分析 教程 人力资源管理pdf成真迷上我教程下载西门子数控教程protel99se入门教程fi6130z安装使用教程 》中，对极限概念的基本有了明确的叙述，并以极限概念为基础，对"无穷小量"、级无穷数的"和"等概念给出了比较明确的定义。后经过波尔察诺、魏尔斯特拉斯、戴德金、康托等人的卓越工作，又进一步把极限论建立在严格的实数理论基础上，并且形成了描述极限过程的ε-δ语言。微积分理论基础的严密化，使微积分跃进和扩展为现代数学的重要领域。本文将着重讨极限思想在高等数学中的广泛应用，从而体现极限在高等数学中的地位。 关键词：极限的定义，极限在高等数学中的应用，极限思想对数学发展的影响。 Position limit in Higher Mathematics Abstract: in 1821, Cauchy (1789 - 1857) in the "analysis" of the concept of limit, the basic with a clear narrative, and taking the limit concept as the foundation, to "infinitesimal", infinite number of concepts such as "and" gives a clear definition. After the excellent work, Weierstrass, Dai Dejin Cantor Bolzano, et al., and further the limit theory establishment in the real theory on the basis of strict, and the formation of the description of limit process epsilon Delta language. Rigorous calculus theory, the calculus Yuejin and extended important field of modern mathematics. Widely used in this paper will focus on pleasing limit thought in higher mathematics, which reflects the position limit in higher mathematics. 关键词：极限的定义，极限在高等数学中的应用，极限思想对数学发展的影响.。 Keywords: definition of limit, limit in higher mathematics, limit effects of ideas on the development of mathematics. 1 极限的定义 意即  使得   不等式|Xn-a|<ε刻划了Xn与a的无限接近程度，ε愈小， 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示接近得愈好；而正数ε可以任意地小，说明Xn与a可以接近到任何程度。然而，尽管ε有其任意性，但一经给出正整数N，ε就暂时地被确定下来，以便依靠它来求出ε，又ε既是任意小的正数，那么ε/2,ε的平方等等同样也是任意小的正数，因此定义中不等式|Xn-a|<ε中的 ε可用ε/2,ε的平方等来代替。同时，正由于ε是任意小正数，我们可限定ε小于一个确定的正数．另外，定义1中的Xn-a|<ε也可改写成Xn-a|≦ε。 2 数列极限与函数极限的定义 数列极限：设 {Xn} 为实数列，L 为定数．若对任给的正数 ε，总存在正整数N，使得当 n>N 时有∣Xn-a∣<ε 则称数列{Xn} 收敛于L，定数 L称为数列 {Xn} 的极限，并记作 ，或Xn→L（n→∞）读作“当 n 趋于无穷大时，{Xn} 的极限等于 或 趋于 L”。若数列 {Xn} 没有极限，则称 {Xn} 不收敛，或称 {Xn} 为发散数列。 该定义常称为数列极限的 ε—N定义。 函数极限：分为x→∞,x→+∞,x→-∞,x→Xo,，运用ε-δ定义，以x→Xo ，f(x) 在点Xo 以A为极限的定义是： 对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存在正数δ ，使得当x满足不等式0<|x-x。|<δ 时，对应的函数值f(x)都满足不等式： |f(x)-A|<ε ，那么常数A就叫做函数f(x)当 x→x。时的极限。 3 极限在高等数学中的应用 3.1极限在微分，积分中的体现： 积分定义：设函数f(x) 在区间[a,b]上连续，将区间[a,b]分成n个子区间[a,x0],(x0,x1],(x1,x2],…,(xi,b]，可知各区间的长度依次是：△x1=X0-a，△x2=X1-x0,…，△xi=b-xi.在每个子区间（xi-1,xi）任取一点ξi(i=1,2,…,n），作和式（见右下图），设λ=max{△x1，△x2,…，△xi}(即λ属于最大的区间长度），则当λ→0时，该和式无限接近于某个常数，这个常数叫做函数f(x) 在区间[a,b]的定积分，其中：a叫做积分下限，b叫做积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，函数f(x) 叫做被积函数，x 叫做积分变量，f(x)dx 叫做被积表达式，∫ 叫做积分号。 微分定义： 设函数y = f(x)在x.的邻域内有定义，x0及x0 + Δx在此区间内。如果函数的增量Δy = f(x0 + Δx) ? f(x0)可表示为 Δy = AΔx0 + o(Δx0)（其中A是不依赖于Δx的常数），而o(Δx0)是比Δx高阶的无穷小，那么称函数f(x)在点x0是可微的，且AΔx称作函数在点x0相应于自变量增量Δx的微分，记作dy，即dy = AΔx。 通常把自变量x的增量 Δx称为自变量的微分，记作dx，即dx = Δx。于是函数y = f(x)的微分又可记作dy = f'(x)dx。函数的微分与自变量的微分之商等于该函数的导数。因此，导数也叫做微商。 应用实例：已知 ，应用极限方法，就其微分 解： 4 极限思想 在刚才的讨论中我们看到，无论是微分还是积分的定义，都用到了极限的思想，即当函数定义域内的某一变量，以一个非常非常小的值变化时，讨论函数的各种变化。应用极限思想，形成了高等数学当中的微商、积分等互逆性计算。归纳导数、积分在极限思想的运用当中有以下共同特性：分割、近似及取极限。以上共同过程均是在分割并且细小化之后，应用中等数学之中的常量关系来处理高等数学微积分当中的变量关系问题，并通过极限思想以降低误差，让无法解决的无规律变化问题能够联系到极限思想，从而让所计算出来的结果更加精确，这也就为解决问题提出了一种新思维，即应用运动与变化之方式来处理问题，从而展示出极限思想深刻的辩证性。 5 总结 极限思想在很久的古代既已经产生，并在近代的微分和积分的定义,应用中得到了广泛地展现。 (1)  极限的精确定义对微积分的定义有重大意义。 (2)  极限思想是微积分的基本思想。 (3)  极限是高等数学研究基本问题的基 础工具。 (4)  极限的分析方法具有极大的实用性， 是架立在抽象与实体，巨大与极小之间的一 座重要桥梁。 6 [参考文献] [1]施红英. 对微积分“极限”思想方法教学的思考[J]. 甘肃广播电视大学学报，2005（9).. [1] Shi Hongying. Thinking on the teaching of calculus "limit" thinking method [J]. Journal of Gansu Radio and Television University, 2005 (9) [2]叶 林. 极限思想的发展与微积分的建立[J]. 内蒙古民族大学学报(自然科学版)，2008. [2] leaf forest. Develop and calculus limit theory [J]. Journal of Inner Mongolia University for the Nationalities (NATURAL SCIENCE EDITION), 2008 [3]翁祖荫;;关于黎曼—斯蒂吉司积分的乘积型求积公式[J];浙江大学学报(工学版);1980年03期. [3] Weng heritage; Riemann Stieltjes integrals; a product type quadrature formula [J]; Journal of Zhejiang University (Engineering and Technology Edition); 1980 03 period [4]张开菊;;关于极限若干计算方法的研究[J];新课程(教研);2011年08期. [4] Zhang Kaiju; [J]; Study on several methods for computing the limit; the new curriculum (Research); 2011 08 period [5]丁进忠;;微元问题的处理方法[J];物理通报;2011年09期. [5] Ding Jinzhong; processing method; micro problem [J]; physics Bulletin; 2011 09 period