离散代数riccati方程及其耦合方程解特征值估计

离散代数riccati方程及其耦合方程解特征值估计 离数散代 Riccati 方程及其合方程耦 解的特征值值估 学 位 申 值 人值 值 玲值值姓名和值称刘教 建 州 授学称 院 名 数学与学学值算科院学 科 值 值运学与值值值控制值研 究 方 向最值控制理值值算与学位申值值值理 值 士学 学位授予值位湘 潭 大 学值文提交日期2012–4–18 On Eigenvalue Bounds of the Discrete Algebraic Riccati Equations and the Discrete Coupled Algebraic Riccati Equation CandidateYaling Zha Supervisor and RankProf. Jianzhou Liu CollegeMathematics and Computational Science ProgramOperational Research and Cybernetics SpecializationOptimal Control Theory and Computation DegreeMaster of Science UniversityXiangtan University DateApril 18th, 2012 湘潭大学 学声位值文原值性明 本人值重明,所呈交的值文是本人在值值的指值下立值行究声独研 所取得的究成果。除了文中特值加以值注引用的容外～本值文不包研内 含任何其他人或集已值值 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 或撰的成果作品。值本文的究做个体写研 出重要值的人和集～均已在文中以明方式值明。本人完全意值献个体确 到本明的法律后果由本人承。声担 作者值名,日期,年月日 学位值文版值使用授值值 本位值文作者完全了解校有值保留、使用位值文的值定～同学学学 意校保留向家有值部值或机送交值文的值印件和值子版～允学并国构 值值文被值值和借值。本人授值湘潭大可以本位值文的全部或学将学 部分容值入有值据值值行值索～可以采用影印、值印或值描等值制内数 手段保存和值值本位值文。学 涉密值文按校值定值理。学 作者值名,日期,年月日 值值值名,日期,年月日 摘要 值控制系值值行值定性分析、最值控制等究中研, 值多值值可以值值值Riccati矩值方程的求解和解的上下界值估. 因而, 离数散代Riccati 矩值方程及其合方耦程的究引起了外不少者的值注研国内学, 并取得了不少成果. 本文在散代离数Riccati 矩值方程存在唯一值正定解的情下称况, 值方程的解的特征值、特征值的和值值行值与估, 改值了已有值值, 并数用值例子值明其有效性. 本文主要容有以下方面内几个: 第一章介值了Riccati 矩值方程的值用背景和究的值研状, 值出了本文的主要工作, 并号与引入了一些基本符定值. 第二章利用矩值特征值不等式和Riccati 矩值方程正定解的性值, 值得了值矩值方程解的特征值的上下界值估, 值一步利用控制不等式、特征值和值的不等与式和不等式的放值技巧, 值合所值得的Riccati 矩值方程解的特征值不等式, 值出了Riccati 矩值方程半正定解的特征值和值的上下界值与估, 改值了已有值果, 并用值例子值明其有效性数. 第三章在近期文的基值上献, 值合函的值值性和凹函的性值数数, 利用不等式的性值, 研耦离数究了合形式的散代Riccati 矩值方程解的上界解的特征值的与上界, 并数用值例子值明其有效性. 值值值: Riccati 矩值方程; 正定解; 不等式; 特征值. I ABSTRACT Riccati equations are widely applied to various engineering areas, for example, inthe area of control system stability analysis, optimal and robust controllers, etc. Thus,lots of scholars pay much attention to the discrete algebraic Riccati equations and itscoupled equations, meanwhile they have obtained plenty of achievements. If those equations exist unique symmetric positive de,nite solutions, we improvethe bounds about the eigenvalues , certain sums and products of the eigenvalues for thesolutions. Main contents as follows: In chapter one, we introduce the background and the recent works for the discretealgebraic Riccati equations, then we showed the main work and some symbols whichwill be used in our paper. In chapter two, we obtain the bounds about the eigenvalues for the unique symmet-ric positive de,nite solutions by using inequality theory and the nature of the symmetricpositive de,nite solutions for the Riccati matrix equations. Moreover by combining thederived results with the inequality theory, we obtain certain sums or products of theeigenvalues for the solutions. Examples explain the e,ectiveness. In chapter three, on the basis of the recent references, combining the monotonicityof the function with the properties of concave function, we obtain the upper boundsabout the solutions and its’ eigenvalues. Examples explain the e,ectiveness. Key words:Riccati matrix equation; Hermitian positive de,nite solution; In-equality; Eigenvalue. II 目 值 第一章 值 值 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 背 景 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1?1.1 本文的主要工作 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3?1.2 基本符定值 号与. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3?1.3 第二章 散代离数Riccati矩值方程解的特征值值估 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 引言 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5?2.1 离散Riccati 方程解的特征值的界 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5?2.2 离散Riccati 方程解的特征值和的界. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10?2.3 离散Riccati 方程解的特征值乘值的界 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16?2.4 数值例子 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18?2.5 第三章 合散代耦离数Riccati方程解的值估 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 引言 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24?3.1 耦离数合散代Riccati方程解及特征值的界 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24?3.2 数值例子 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29?3.3 值 束 值 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 参献考文 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 致 值. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .36 第一章值值 背景?1.1 值代控制理值[1] 的成果泛值用于近代工值生值、航空航天、机械化工、广网 值控制[2]等值域中, 近年来, 以值性系值[3] 和非值性系值[4][5] 值究值象的值代控研 制理值成值了外究的重要值域之一国内研. 值代控制理值的分析、值合和值值都是建立在值值域的模型基值之上数学, 其中涉及到值代的值多值域数学, 比如值性代、微分方程理值、矩值方程、李代理值等数数, 因而的究密不可分与数学研.在控制系值的分析和值值中, 人值值注的主要是系值的最值化控制和值定性分析,在值控制系值值行值定性分析和值化控制值合中, 值多系值的控制值值往往可以值化值值值某些矩值方程的求解值值, 因此值矩值方程的究具有重要的理值意研 值和高的值用价值很. 例如: 我值值常遇到如下散的控制系值会离[4][5] 值 值值值 x值 k+1 = A(rk)xk + B(rk)uk, 0 ? k ? N 值值值值 yk = C(rk)xk, 其中A(rk) R?n×n, B(rk) R?n×m, C(rk) R?q×n, x0是初始值状, xk R?n 是一值值个状量, uk R?m是一控制值量个, yk R?q是一值出值量个, k是值刻指值, rk是取值于有限集合S = {1, 2, ? ? ? , s}上的散值值的值值科夫值离, 值移函如下数 Pr{rk+1 = j|rk = i} = πi j ? 0, 1 ? i, j ? s,存在最值控制 uk, 使得性能指值函数 值N ,?1T T T ,,值值值? T(1.1.1)(xk Q(kr)xk + uk R(kr)uk) + xNP (Nr)xN,,,, ,J(x0, r0) = lim E ,,,N??k=0 ?最小, 其中i j [0, 1], π?πii > 0且πi j = 1, 值任意的k, Qk()r是n × n值值半正定矩称j?S 值, R(rk)是m × m值值正定矩值称, P(rk)是n × n值值半正定矩值称. 系值 (1.1.1) 的最小性能指值函数 J(x0, r0) 最值可以值化值求下面的合代耦数Riccati 矩值方程值 P(rk) = AT(rk)GkA(rk) + Q(rk) ? AT(rk)GkB(rk) ( )?1(1.1.2)R(rk) + BT(rk)GkB(rk) BT(rk)GkA(rk) ? πkiP(ri) R?n×n, 1 ? k ? s.的正定解, 其中Gk =i?S?πi j,如果我值在rk = i值刻, 引入以下值号 Ai :=Bi :=πiiA(rk) R?n×n, πi j :=πii 1 ?1?πiiB(rk)R(rk)? 2 R?n×m, Pi := P(kr) R?n×n, Qi := Q(kr) R?n×n, Fi =πi jP j + Pi ?j iRn×n, 值方程 (1.1.2) 就可以值化值合散代耦离数Riccati 方程(DCARE) (1.1.3)Pi = ATi FiAi ? ATi FiBi(I + BTi FiBi)?1BTi FiAi + Qi,所以通值化值把值值的最值控制值值(1.1.1) 值化成了值于合耦Riccati 方程(1.1.3)的求解值值. 特值地, 当 s = 1值, 系值(1.1.1)值就成值值入、值值出的控制系值, 其相值的方程 (1.1.3) 就可值化值散代离数Riccati 矩值方程(DARE) (1.1.4)P = AT PA ? AT PB(I + BT PB)?1BT PA + Q,其中A R?n×n, B R?n×m, Q是n × n的值半正定矩值称, 值了保值方程(1.1.4) 有正定解, 我值需要假值 (A, B)是可值定的矩值值, (Q, A)是可值的矩值值. 若B = 0, 值散代离数Riccati 矩值方程 (1.1.4) 就可值化值散代离数Lyapunov矩值方程(DALE) (1.1.5)P = AT PA + Q. 另外, 我值也常常遇到如下的值性系值会[3] x?(t) = Ax(t) + Bu(t), x(0) = x0, 使得性能指值函数?? J =(xT Qx + uTu)dt0 n×nn×m,B R?, x0 R?n是系值的初始值值量状, 此系值的最值值值最值, 其中A R? 最值可以值化值求值值代数Riccati 矩值方程(CARE) (1.1.6)AT X + XA ? XRX + Q = 0的正定解值值, 其中R = BBT R?n×n和 Q是n × n值值正定矩值称, (A, R)是可值定的, (Q, A)是可值的. 若B = 0, 值值值代数Riccati 矩值方程就值化值值值代数Lyapunov 矩值方程(CALE) (1.1.7)AT X + XA + Q = 0. 由于Riccati 矩值方程泛值用于控制值值的值多方面广, 所以值值值矩值方程的究越越泛研来广, 近年来, 随数学着和值算机等各方面的值展, 值值估Riccati 矩值方程的解和解的特征值等也成值值多者究的值点学研. 2 本文的主要工作?1.2 本文在散代离数Riccati 矩值方程存在唯一值半正定解的情下称况, 研究了有值方程半正定解的特征值的一些性值, 改值了已有值值, 并数用值例子值明其有效性. 本文主要容有以下方面内几个: 第一章介值了Riccati 方程的值用背景和究的值研状, 值出了本文的主要工作,并号与引入了一些基本符定值. 第二章利用矩值特征值不等式和Riccati 矩值方程正定解的性值, 值得了值矩值方程解的特征值的上下界值估, 值一步利用控制不等式、特征值和值的不等与式和不等式的放值技巧, 值合所值得的Riccati 矩值方程解的特征值不等式, 值出了Riccati 矩值方程半正定解的特征值和值的上下界值与估, 改值了已有值果, 并用值例子值明其有效性数. 第三章在近期文的基值上献, 值合函的值值性和凹函数数[6] 的性值, 利用不等式的性值, 研耦离数究了合形式的散代Riccati 矩值方程解的上界解的特征值与的上界, 并数用值例子值明其有效性. 基本符定值号与?1.3 值 Rm×n(Cm×n) 值 m × n 值值(值)矩值的全体, Rn值值域上数n值行向量的全体,Rn+值正值域上数n值行向量的全体, Sn值值域上数 n×n 值值矩值的全称体, Sn+值值数域上 n × n 值值半正定矩值的全称体, 且值任意的矩值S, T S?n, 如果S ? T S?n+,值值值:S ? T; 如果S ? T是正定矩值, 值值值:S ? T. 向量a = (a1, a2, ? ? ? , an)T > 0, 表示每分量个ai > 0(i = 1, 2, ? ? ? , n). 值 A = (ai j) C?n×n, AT 表示值矩值 A 的值置, A? 表示值矩值A的共值值置, 0, 值称A值非奇矩值异, 此det(A)表示矩值A的行列式, In表示值位矩值, 若det(A) 值用A?1表示矩值A的逆, tr(A)表示矩值A的迹, rank(A)表示矩值A的秩, 矩值A的特征值值值λi(A), i = 1, ? ? ? , n, Reλi(A)表示矩值A的第i个特征值的值部, 且按非增值序排列, 即 Reλ1(A) ? Reλ2(A) ? ? ? ? ? Reλn(A),矩值A的奇值值值 异σi(A), i = 1, ? ? ? , n, 也按非增值序排列; 如果 λi(A), σi(A), i =1, ? ? ? , n, 非零, 值 i(A[λ)]?1 和 [σi(A)]?1 分值值值值: λ?i 1(A) , σ?i 1(A), i = 1, ? ? ? , n;[λi(A)]2 和[σi(A)]2分值值值值:λ2i (A) , σ2i (A), i = 1, ? ? ? , n. 值于任意的 x = (x1, x2, ? ? ? , xn) R?n, 把 x的分量排成值的次序后值作减 x ?= (x[1], x[2], ? ? ? , x[n]), 即 x[1] ? x[2] ? ? ? ? ? x[n]. 3 x的分量排成值增的次序后值作把 x ?= (x(1), x(2), ? ? ? , x(n)), 即 x(1) ? x(2) ? ? ? ? ? x(n). [7]定值 1.1若x, y R?n值足 kk?? x[t ?]y[t], k = 1, ? ? ? , n ? 1, t=1t=1 且nn?? x[t] =y[t], t=1t=1 值称 x被 y所(强)控制, 或值 y控制了 x, 值作 x ? y. [7]定值 1.2若x, y R?n值足 kk?? x[t ?]y[t], k = 1, ? ? ? , n, t=1t=1 值称 x被 y下(弱)控制, 值作 x ?ω y. [7]定值 1.3若x, y R?n值足 kk?? x(t ?)y(t), k = 1, ? ? ? , n, t=1t=1 值称 x被 y上(弱)控制, 值作 x ?ω y. 4 第二章离数散代Riccati 矩值方程解的特征值值估 引言?2.1 Riccati 方程在值性二次型高斯控制系值[8]和值性最值值波系值[8]的分析、值合、值值中起到了值值作用, 但在值值值值中值量常常参数受到各值干值, 所以需要考值值值值值化值系值的影的大小以并估响便分析值生的原因及其值差, 而且当数方程中矩值的值增大值, 值方程的求解值得相值值将当, 所以值的值比它估 值值, 值就使得值Riccati 矩值方程解的特征值值的究有了值值意值估研. 近几来学十年值多者已值值CARE解的界[9]、解的特征值的界[10-15] 、迹的界[9-18]等不同的方面值行究研, 得到了大量的值果, 其中值些值果大部分都必值要值足假值A + AT < 0. 在散代离数Riccati 矩值方程(DARE) (1.1.4) 中, 令R = BBT R?n×n, 运用Sherman-Morrison-Woodbury 公式 (I + S T)?1 = I ? S (I + TS )?1T, 方程 (1.1.4) 可等价改值写 (2.1.1)P = AT(P?1 + R)?1A + Q. 值多者值学DARE (1.1.4) 式或 (2.1.1) 式解的界[19-24]、解的特征值的界[11][19-24] 、迹[19-24]等不同的方面值行究研, 得到了大量的值果, 部分者值学研究了DARE方程解的牛值迭代法[25, 26]、Shur法[27-29] 及其衍生的方法[30-36],值出了一些求方程近似解的方法, 其中在值值多究的成果中都要求值足假值研 σ1(A) < 1 或 R 0?或 Q 0. ?值了克服σ1(A) < 1值件限制个条, Lee等在文献[37]介值了值 DARE (1.1.4) 的一值相似值值, 改值了部分值果; 戴值在文献[38]中不要求R 0?、Q 0, ?值(DARE) (2.1.1) 值行了究研, 得到了方程解的特征值和的上下界、值的上界、不值点迭代算法等. 本章主要利用控制不等式等的一些性值值DARE (2.1.1) 作值一步的究研, 改值了已有值果, 并数用值例子值明其有效性. 离散Riccati 方程解的特征值的界?2.2 [39][40]引理 2.1若S, T S?n, X R?n×m, 值 (i) 如果 S ? T, 那值 λk(S ) ? λk(T) (k = 1, ? ? ? , n); 5 (ii) λ1(S )I ? S λ?n(S )I; (iii) 如果S ? T, 那值XTS X ? XTT X; (iv) 如果 S ? T 0?, 那值T ?1 ? S ?1. 引理 2.2 [7] 值 G, H C?n×n 是Hermite矩值, 1 ? i1 < ? ? ? < ik ? n, 值k k k? ? ?(i)λit(G + H) ?it(G) +λλn?t+1(H),t=1 t=1 t=1k k k? ? ?(ii)λit(G + H) ?it(G) +λλt(H),t=1 t=1 t=1 当当且值 k = n 值, (i)(ii)中等成立号; 如果G, H都是半正定的, 值k k? ?(iii)λit(GH) ?it(Gλ)λn?t+1(H),t=1 t=1k k? ?(iv)λit(GH) ?λit(G)λt(H).t=1 t=1 [40]引理 2.3值 xi, yi是按非增次序排列的正值数, 如果值任意的 k = 1, ? ? ? , n, 成立 kk?? xn?i+1 ?yn?i+1, i=1i=1值 kk?? xn??1 ?i+1y?n?1i+1 . i=1i=1 [7]引理 2.4 值n,x, y R?k k? ?x[t]u[t] ?(i) 若 x ?ω y, 值y[tu][t, ]?u R?n+, k = 1, ? ? ? , n;t=1 t=1 k k? ?(ii) 若 x ? y, 值x[t]u(t) ?y[t]u(t, )?u R?n, k = 1, ? ? ? , n;t=1 t=1 k k? ?(iii) 若 x ?ω y, 值x(t)u[t] ?y(tu)[t, ]?u R?n+, k = 1, ? ? ? , n;t=1 t=1 (iv) 若 x ? y, 值 ( x11 , x12 , ? ? ? , x1n ) ?ω ( y11 , y12 , ? ? ? , y1n ), kk? 1? 1即?, k = 1, ? ? ? , n.x[t]y[t]t=1t=1 [41]引理 2.5值 A, B C?n×n是Hermite 矩值, 值任意的 t = 1, ? ? ? , n, 有 (i) λt(A + B) ? max {λi(A) + λ j(B)};i+ j=t+n (ii) λt(A + B) ? min {λi(A) + λ j(B)};i+ j=t+1 (iii) σt(AB) ? max {σi(A)σ j(B)};i+ j=t+n (iv) σt(AB) ? min {σi(A)σ j(B)}.i+ j=t+1 6 t引理 2.6 函f数 (t) =在[0, +?)上是值值不的减,其中a > 0. 1+at 值明: 因值值任意的 0 ? t1 ? t2 有 t1 t2f (1t) ? f (2) =t?1 + at1 1 + at2 t1 ? t2=(1 + at1)(1 + at2) ? 0, 所以 f (t)在[0, +?)上是值值不的减. [42]值 A, B C?n×n 是半正定的 Hermite 矩值, 值值任意的k = 1, ? ? ? , n,引理 2.7 有 kkk??? λn?t+1(A + B) ?λn?t+1(A) +λn?t+1(B). t=1t=1t=1 引理 2.8 值P R?n×n 是DARE (2.1.1) 的值正定解称,值值任意的t = 1, ? ? ? , n,有 σ2n(A)λn(Q)(i) λt(P) ?+ λt(Q) := αt,1 + λn(Q)λ1(R) 当1 + λn(Q)λn(R) ? σ21(A) > 0值,有 ′ λ 1 ( Q )(1 + λ t ( Q )λ n ( R ))(ii) λt(P) ?:= αt.21 + λt(Q)λn(R) ? σ1(A) 值明:因值 P 是DARE (2.1.1) 的值正定解称,值 P ? Q,利用引理 2.1有 λt(P) ? λt(Q), t = 1, ? ? ? , n,又由于值任意的可逆矩值X R?n×n有 (2.2.1)λ?n?1t+1(X) = λt(X?1), t = 1, ? ? ? , n,(i)利用引理 (2.2) (iii)和 (2.2.1) 式有 λn(AT(P?1 + R)?1A) = λn(AAT(P?1 + R)?1) ? σ2n(A)λn(P?1 + R)?1 = σ2n(A)λ?1 1(P?1 + R),又有R λ?1(R)I, 利用引理2.2(i)(iv)和引理2.6, 有 λ?1 1(P?1 + R) ? λ?1 1(P?1 + λ1(R)I) 1=λ1(P?1) + λ1(R) λn(P)=1 + λn(P)λ1(R) λn(Q)?,1 + λn(Q)λ1(R) 7 所以 σ2n(A)λn(Q)T?1?1λn(A (P+ R) A) ?,1 + λn(Q)λ1(R)又因值P 是DARE (2.1.1) 的值正定解称, 根据引理2.2(i)有 λt(P) = λt(AT(P?1 + R)?1A + Q) ? λn(AT(P?1 + R)?1A) + λt(Q) σ2n(A)λn(Q)?+ λt(Q) := αt.1 + λn(Q)λ1(R) (ii) 利用引理 (2.2) (iv)和 (2.2.1) 式有 λt(AT(P?1 + R)?1A) = λt(AAT(P?1 + R)?1) ? σ21(A)λt(P?1 + R)?1 = σ21(A)λ?n?1t+1(P?1 + R),又有R λ?n(R)I, 利用引理2.2(i)(iv)和引理2.6, 有 λ?n?1t+1(P?1 + R) ? λ?n?1t+1(P?1 + λn(R)I) 1=λn?t+1(P?1) + λn(R) λt(P)=1 + λt(P)λn(R) λt(P)?,1 + λt(Q)λn(R)所以 σ21(A)λt(P)λt(AT(P?1 + R?1)A) ?,1 + λt(Q)λn(R)又因值P 是DARE (2.1.1) 的值正定解称, 根据引理2.2(ii)有 λt(P) = λt(AT(P?1 + R)?1A + Q) ? λt(AT(P?1 + R)?1A) + λ1(Q) 21(A)λt(P)σ?+ λ1(Q),1 + λt(Q)λn(R) 所以有()σ21(A)λt(P) 1 ?? λ1(Q),1 + λt(Q)λn(R) 又因值 1 + λt(Q)λn(R) ? σ21(A) > 0, 所以 λ 1 ( Q )(1 + λ t ( Q )λ n ( R ))′λt(P) ?:= αt.1 + λt(Q)λn(R) ? σ21(A) 8 定理 2.1 值P R?n×n 是DARE (2.1.1) 的值正定解称, 值值任意的t = 1, ? ? ? , n, 有{}σ2u(A)αvmax {(i) λt(P) ? max} + λ j(Q) ,i+ j=t+nu+v=i+ 1 + αnvλ1(R)当1 + λn(Q)λn(R) ? σ21(A) > 0值,有 ′{}σ2u(A)αvmax {(ii) λt(P) ? min} + λ j(Q) ,i+ j=t+1u+v=i+1 1 + αvλn(R) ′其中 αv, αv由引理2.8中所值出. 值明: 因值P 是DARE (2.1.1) 的值正定解称, 值 P ? Q, 利用引理2.1有 λt(P) ? λt(Q), t = 1, ? ? ? , n,且值任意的矩值U, V R?n×n, 都有λi(UV) = λi(VU).(i)利用 (2.2.1) 式和引理2.5(iii), 有 λi(AT(P?1 + R)?1A) = σi(AT(P?1 + R)?1A) ?max {σ2u(A)λv((P?1 + R?1))}u+v=i+n =max {σ2u(A)λ?n?1v+1(P?1 + R)},u+v=i+n 又有R λ?1(R)I, 利用引理2.2(i)、(2.2.1) 式、引理2.6 和引理2.8, 有 λ?n?1v+1(P?1 + R) ? λ?n?1v+1(P?1 + λ1(R)I) 1=λn?v+1(P?1) + λ1(R) λv(P)=1 + λv(P)λ1(R) αv?,1 + αvλ1(R)所以 σ2u(A)αv}, t = 1, ? ? ? , n,λi(AT(P?1 + R)?1A) ? max {u+v=i+n1 + αvλ1(R)又因值P 是DARE (2.1.1) 的值正定解称, 根据引理2.5(i)有 λt(P) = λt(AT(P?1 + R)?1A + Q) ?max {λi(AT(P?1 + R?1)A) + λ j(Q)},i+ j=t+n 所以 {}σ2u(A)αvmaxλt(P) ?max {} + λ j(Q) .i+ j=t+nu+v=i+ 1 + αnvλ1(R) 9 (ii)利用 (2.2.1) 式和引理2.5(iv), 有 λi(AT(P?1 + R)?1A) = σi(AT(P?1 + R)?1A) ?min {σ2u(A)λv((P?1 + R?1))}u+v=i+1 =min {σ2u(A)λ?n?1v+1(P?1 + R)},u+v=i+1 又有R λ?n(R)I, 利用引理2.1 (i)和(2.2.1) 式, 有 λ?n?1v+1(P?1 + R) ? λ?n?1v+1(P?1 + λn(R)I) 1=λn?v+1(P?1) + λn(R) λv(P)=1 + λv(P)λn(R)′αv,?1 + αvλn(R)所以 ′ σ2u(A)αvT ?1?1min {},λi(A (P+ R) A) ?u+v=i+1 1 + αvλn(R)又因值P 是DARE (2.1.1) 的值正定解称, 根据引理2.5(ii)有 λt(P) = λt(AT(P?1 + R)?1A + Q) ?min {λi(AT(P?1 + R?1)A) + λ j(Q)},i+ j=t+1 所以 ′{}σ2u(A)αvminλt(P) ?max {} + λ j(Q) .i+ j=t+1u+v=i+1 1 + αvλn(R) 离散Riccati 方程解的特征值和的界?2.3 定理 2.2 值 P R?n×n 是DARE (2.1.1) 的值正定解称, 值值任意的 k = 1, ? ? ? , n, 有 值k ,k?? 值值 2i (σA)αn?t+1值值tλit(P) ?值值值+ λn?t+1(Q),,,, ,值1 + αn?λt+1t(R)t=1t = 1 其中αt由由引理2.8中所值出. 10 n×n, 都有λi(UV) = λi(VU), 利用 (2.2.1) 式和值明:由于值任意的矩值U, V R? 引理2.2(iii), 有 kk?? λit(AT(P?1 + R)?1A) =λit((P?1 + R)?1AAT) t=1t=1 k? ?λit(AT A)λn?t+1((P?1 + R)?1) t=1 k? =σ2it(A)λ?t 1(P?1 + R), t=1 由引理2.2(ii), 我值可以得到 kk?? λt(P?1 + R) ?(λt(P?1) + λt(R)), k = 1, 2, ? ? ? , n ? 1, t=1t=1 且 n? λt(P?1 + R) = tr(P?1 + R) t=1 = tr(P?1) + tr(R) n? ( )?1=λt(P ) + λt(R) . t=1 因值有 λ1(P?1 + R) ? λ2(P?1 + R) ? ? ? ? ? λn(P?1 + R), λ1(P?1) + λ1(R) ? λ2(P?1) + λ2(R) ? ? ? ? ? λn(P?1) + λn(R),所以我值可以分值值 x[t] = λt(P?1 + R), y[t] = λt(P?1) + λt(R),由定值1.1知有 x ? y, 再利用引理2.4(iv), 我值可以得到 kk?? (λt(P?1) + λt(R))?1, k = 1, 2, ? ? ? , n,λ?t 1(P?1+ R) ? t=1t=1 又因值有 λ?1 1(P?1 + R) ? λ?2 1(P?1 + R) ? ? ? ? ? λ?n 1(P?1 + R), )?1( )?1 ( )?1 ( ,λ1(P?1) + λ1(R) ? λ2(P?1) + λ2(R) ? ? ? ? ? λn(P?1) + λn(R) 此值我值分值值 ()?1 x(t) = λ?t 1(P?1 + R),( yt) = λt(P?1) + λt(R), u[t] = σ2it(A), 11 由定值1.3知有:x ?w y, 利用 (2.2.1) 式和引理2.4 (iii), 有 kk?? + R) ?σ2ti(A)λ?t 1(P?1σ2it(A)(λt(P?1) + λt(R))?1 t=1t=1 k?σ2it(A)λn?t+1(P)=,1 + λn?t+1(P)λt(R)t=1所以 kk?? σ2i (A)λn?t+1(P)tT?1?1.λit(A (P+ R) A) ?1 + λn?t+1(P)λt(R)t=1t=1又因值P 是DARE (2.1.1) 的值正定解称, 根据引理2.2(i), 有 kk?? λit(AT(P?1 + R)?1A + Q)λit(P) = t=1t=1 kk??T?1?1?λn?t+1(Q)λit(A (P+ R) A) + t=1t=1 kk??σ2it(A)λn?t+1(P)(2.3.1)?+λn?t+1(Q),1 + λn?t+1(P)λt(R)t=1t=1利用引理2.6和引理2.8(i), 可以得到 λn?t+1(P)αn?t+1?,1 + λn?t+1(P)λt(R)1 + αn?t+1λt(R)更值一步地有 kk??λn?t+1(P)αn?t+1?,σ2t(iA)σ2t(iA)1 + λn?t+1(P)λt(R)1 + αn?t+1λt(R)t=1t=1代入 (2.3.1)式就可以得到 kkk??? σ2i (A)αn?t+1tλit(P) ?+λn?t+1(Q).1 + αn?t+1λt(R)t=1t=1t=1 定理 2.3 值{P R?n×n 是DARE (2.1.1)}的值正定解称, 如果 1 + λn(Q)λn(R) ?′σ21(A) > 0, min1 + αn?t+1λt(R) ? σ2n?k+(tA) > 0,值值任意的k = 1, ? ? ? , n,有1?t?k?n ?kkλn?t+1(Q)?t=1(i),λn?t+1(P) ?? 2?(Ak+)tσk nt=1)′(1 ?1+αn?t+1λt(R)t=1 ?kλn?t+1(Q)k?t=1(ii)λn?t+1(P) ? () 21 ,?kσ2n?k+(tA)t=1)2(1 ?′1+αn?t+1λt(R)t=1 ′ 其中αt由引理2.8中所值出. 12 值明:利用 (2.3.1) 式和引理2.8(ii), 可以得到 kk?? λn?t+1(P) =λn?k+t(P) t=1t=1 kk??σ2 n ? k + t ( A )λ n ? t +1 ( P )?+λn?t+1(Q)1 + λn?t+1(P)λt(R)t=1t=1 kk?? 2?(kAn+σ?(t)λtP+1)?+λn?t+1(Q),′1 + αn?t+1λt(R)t=1t=1值一步整理, 有 kk)? (?σ2n?k+(tA)(2.3.2)1 ?λn?t+1(Q),λn?t+1(P) ?′1 + αn?t+1λt(R)t=1t=1 ′ (i)因值1 + αn?t+1λt(R) ? σ2n?k+(tA) > 0, 值 (2.3.2)式可以利用不等式 kkk??? (xt)(yt) ?xtyt, xt ? 0, yt ? 0, t=1t=1t=1 可以得到 kkk? () ??σ2n?k+(tA)1 ?λn?t+1(P) ?λn?t+1(Q),′ 1 + αn?t+1λt(R) t=1t=1t=1值一步整理有 ?k kλn?t+1(Q)?t=1.λn?t+1(P) ??kσ2n?k+(tA)t=1)(1 ?′1+αn?t+1λt(R)t=1 (ii) 值 (2.3.2)式利用Cauchy-Schwarz不等式, 有 kkk) 12( ?) 12 ( ??σ2n?k+t(A)22(1 ???)λn?t+1(Q),′λn?t+1(P)1 + αn?t+1λt(R)t=1t=1t=1 ?kλn?t+1(Q)k) 21( ?t=12(2.3.3)λn?t+1(P)? () 21 ,?kσ2n?k+(tA)t=1)2′(1 ?1+αn?t+1λt(R)t=1 值(2.3.3)式利用不等式 kk)2( ?? ?λn?t+1(P)λ2n?t+1(P), t=1t=1 13 可以得到 ?kλn?t+1(Q)kt=1 λn?t+1(P) ? () 21 .?kσ2n?k+(tA)t=1)2′t=1 由定理2.2, 我值可以得到以下推值. 推值 2.1 值P R?n×n 是DARE (2.1.1) 的值正定解称, 值值任意的k = 1, ? ? ? , n, 有 kkk tλt(P) ?+λn?t+1(Q), t=1t=1t=1 kkk λn?t+1(P) ?+λn?t+1(Q), t=1t=1t=1n tr(P) ? tr(Q) +. t=1 > 0值, 有特值地, 当1 + λn(Q)λn(R) ?σ21(A) tr(Q) tr(P) ? () 21 ,?nσ2n?k+1(A))2(1 ?′t=1 ′ 定理 2.4 值P R?n×n 是DARE (2.1.1) 的值正定解称, 如果1 + λn(Q)λn(R) ? σ21(A) > 0, 值 值′k ,k λit(P) ?值值值′+ λt(Q),,,, , k = 1, 2, ? ? ? , n, t=1t = 1 值kk λit(P) ?+ λt(Q),,,, , k = 1, 2, ? ? ? , n, (R)t=1 it n?t+1t=1 , ′ 值 值 值 ′ 值明:由于值任意的矩值U, V R?n×n, 都有λi(UV) = λi(VU), 利用 (2.2.1) 式和 引理2.2 (iv), 有 kk T ?1?1λit((P?1 + R)?1AAT) t=1t=1 k λit(AT A)λt((P?1 + R)?1)? t=1 k =σ2it(A)λ?n?1t+1(P?1 + R), t=1 14 ? (1 ?1+αn?t+1λt(R) ??? σ2(A)αn?t+1 1 + αn?t+1λt(R) ??? 2?(kAσ+n?t)αt+1 1 + αn?t+1λt(R) ?σ2t (A)αn?t+1 1 + αn?t+1λt(R) 1+αn?t+1λt(R) 其中αt, αt由引理2.8中所值出. ?σ2it(A)αt? 值值值值 值1 + αtλn?t+1(R) ?σ2t (A)αit? 值值值值 值1 + α′ λ 其中αt由引理2.8中所值出. ?? λit(A (P+ R) A) = ? ? 由引理2.2(i), 我值可以得到 kk?? λn?t+1(P?1 + R) ?(λn?t+1(P?1) + λn?t+1(R)), t=1t=1 又因值值任意的 k = 1, ? ? ? , n, λt(P?1 + R)和λt(P?1) + λt(R)都是按非增次序排列的正值数, 所以利用引理2.3, 我值可以得到 kk?? (λn?t+1(P?1) + λn?t+1(R))?1,λ?n?1t+1(P?1 + R) ? t=1t=1 因值 σ2i1(A) ? σ2i2(A) ? ? ? ? ? σ2ik(A), λ?k 1(P?1 + R) ? ? ? ? ? λ?2 1(P?1 + R) ? λ?1 1(P?1 + R), (λk(P?1) + λk(R))?1 ? ? ? ? ? (λ2(P?1) + λ2(R))?1 ? (λ1(P?1) + λ1(R))?1,所以我值可以分值值 u[t] = σ2it(A), x[t] = λ?n?1t+1(P?1 + R) , y[t] = (λn?t+1(P?1) + λn?t+1(R))?1,由定值1.2知有:x ?w y, 利用 (2.2.1) 式和引理2.4(i), 我值可以得到 kk( )?1???1+ R) ?λn?t+1(P ) + λn?t+1(R)σ2t(iA)σ2it(A)λ?n?1t(+1P?1 t=1t=1 k?σ2it(A)λt(P)=,1 + λt(P)λn?t+1(R)t=1 所以有 kk??σ2it(A)λt(P)T?1?1,λit(A (P+ R) A) ?1 + λt(P)λn?t+1(R)t=1t=1 又因值P 是DARE (2.1.1) 的值正定解称, 根据引理2.2 (ii), 有 kk?? λit(AT(P?1 + R)?1A + Q)λit(P) = t=1t=1 kk?? λit(AT(P?1 + R)?1A) +?λt(Q) t=1t=1 kk??σ2it(A)λt(P)(2.3.4)?+λt(Q),1 + λt(P)λn?t+1(R)t=1t=1利用引理2.6和引理2.8(ii), 可以得到 ′λt(P)αt?,′1 + λt(P)λn?t+1(R)1 + αtλn?t+1(R) 15 更值一步地有 ′kk??λt(P)αt(2.3.5)?,σ2t(iA)σ2it(A)′1 + λt(P)λn?t+1(R)1 + αtλn?t+1(R)t=1t=1将 (2.3.5)式代入 (2.3.4)式, 有 ′kkk???αtλit(P) ?+λt(Q).σ2it(A)′1 + αtλn?t+1(R)t=1t=1t=1同理可值似的值明第二不等式个. 由定理2.3我值可以得到以下推值. 推值 2.2 值P R?n×n 是DARE (2.1.1) 的值正定解称, 如果1 + λn(Q)λn(R) ? σ21(A) > 0, 那值 ′ kk k? ??σ2 (tA)αtλt(P) ?′t(Q), k = 1, 2, ? ? ? , n,λ1 + αtλn?t+1(R)t=1 t=1t=1 n ′?σ2t (A)αt+tr(P) ? tr(Q) +′ .αtλn?t+1(R) + 1t=1 ′其中αt由引理2.8中所值出. 离散Riccati 方程解的特征值乘值的界?2.4 引理 2.9 值 P R?n×n 是DARE (2.1.1) 的值正定解称, 如果 Q 0?, 值 P ? AT(α?n 1I + R)?1A + Q := Nα,其中αn由引理2.8中所值出. 值明:由于 Q 0, ?根据引理2.8有 λn(P) ? αn ? λn(Q) > 0,根据引理2.1(ii)有 P λ?n(P)I α?nI 0,?因值P 是DARE (2.1.1) 的值正定解称, 根据引理2.1(iii)(iv)有 P = AT(P?1I + R)?1A + Q ? AT(α?n 1I + R)?1A + Q := Nα. 16 定理 2.5 值P R?n×n 是DARE (2.1.1) 的值正定解称, 如果存在正定矩值N, 使得N ? P, 值值任意的k = 1, ? ? ? , n, 有 kkk??? σ2n(A)λ?t 1(N?1+ R) +λn?t+1(P) ?λn?t+1(Q). t=1t=1t=1 值明: 因值P 是DARE (2.1.1) 的值正定解称, 根据引理2.2 (iii)、(2.2.1)式和引理2.7, 有 kk?? λn?t+1(AT(P?1 + R)?1A + Q)λn?t+1(P) = t=1t=1 kk??T ?1?1?+ R) A) +λn?t+1(Q)λn?t+1(A (P t=1t=1 kk?? ?σ2n(A)λn?t+1((P?1 + R?1)) +λn?t+1(Q) t=1t=1 kk?? (2.4.1)=σ2n(A)λ?t 1(P?1+ R) +λn?t+1(Q), t=1t=1由于0 ? N ? P, 利用引理2.1(i)(iv), 可以得到 (2.4.2)λ?t 1(P?1 + R) ? λ?t 1(N?1 + R), 把 (2.4.2)式代入(2.4.1)式, 就可以得到 kkk??? σ2n(A)λ?t 1(N?1 + R) +λn?t+1(P) ?λn?t+1(Q). t=1t=1t=1注: 由引理2.9我值知道正定矩值 N是存在的. 推值 2.3 值 P R?n×n 是DARE (2.1.1) 的值正定解称, 如果 Q 0?, 值值任意的k = 1, ? ? ? , n, 有 kkk??? σ2n(A)λ?t 1(Nn?1+ R) +λn?t+1(P) ?λn?t+1(Q), t=1t=1t=1其中Nα由引理2.9中所值出. 值定理2.2中的不等式值用何几平均不等式, 我值可以得到 DARE (2.1.1) 解的特征值乘值的上界. 定理 2.6 值 P R?n×n 是 DARE (2.1.1) 的值正定解称, 如果值足 1+λn(Q)λn(R)?σ21(A) > 0, 值值任意的 k = 1, ? ? ? , n, 有 k值值值 k?σ2it(A)αt值值值值值值值1 ? ,,,k + λt(Q),,,,,,,, , k = 1, 2, ? ? ? , n,λit(P) ? ,,, ,,, ′k t=1 1 + αtλn?t+1(R)t=1, 17 ′ 值值k值 k k + λt(Q),,,,,,,, , k = 1, 2, ? ? ? , n,k t=1 1 + αitλn?t+1(R)t=1, ′ ′ 推值 2.4 值 P R?n×n 是 DARE (2.1.1) 的值正定解称, 如果值足 1+λn(Q)λn(R)?σ21(A) > 0, 值值任意的 k = 1, ? ? ? , n, 有 值 k ( ′),kkσ2t (A)αt′+ λt(Q) ,,,, , k = 1, 2, ? ? ? , n, t=1 特值地有 值 n ( ′),nσ2t (A)αt′+ λt(Q) ,,,, , k = 1, 2, ? ? ? , n, ′ 数值例子?2.5 我值分值用R是奇的和异R是非奇矩值的值例子值明值值的有效性异数来,值些值算例都是是用数MATLAB 7.1值算的, 并取值差限? = 1.0e ? 008. 在n = 5值,值了和戴值在文献[38]中的值值相比值,特值的在本章定理2.2、定理2.3、定理2.4 和定理2.6中, 我值取k = 3, i1 = 1, i2 = 2, i3 = 3, 利用以下例子值明我值值值的值越性. 例2.1 考值DARE(2.1.1) P = AT(P?1 + R)?1A + Q, 其中 1 0 0值值,00值值值.0 02值值值 0 0. 0值值值 0 .01 2 0 0 0 0 , 0 ,0 . 值值值值值值值值值 值值值值值值值值值1 1 1 0 4 , 值值值值值值 值值值值?σ2t (A)αit值值值值值值值1 ? ,,,0 0λit(P) ? ,,, ,,, ′值值值值值值值值1 00 0 ,,值值值其中αt由引理2.8中所值出.0 1值值0 0 ,,值值值值0 0 值值值值值2 0 0 0 2 ,0 010 1值值值值?值值值值值1 ?值值λt(P) ? ,,,k t=1 1 + αtλn?t+1(R) 值值值值值值值值值1 ?det(P) ? ,,,n t=1 1 + αtλn?t+1(R)值值 值其中αt由引理2.8中所值出. 值 值 18 值值值 0.4值值值值值值5 1 1 1 1 ,,,,值值值值值值值值值1 4 0 0 1 ,,,,值值值值值值值值值 ?0.6值值值值值值 ,A = ,,,,,Q = ,,,,,1 0 4 0 1 ,,,, ,值值值值值值值值值值值值值0 0.5 ?0.2 ,,,,1 0 0 4 0 ,,,,值值值值值值值值值值值值值值值0 0.1 0.2值值值 1值值值0 1 ,,,,2 0 0 0 2 ,,,,值值值值值值 值值值0 1 0 0 0 ,,,,值值值 0值值值值值值值值值 ,B = ,,,,, 0R = BBT = ,,,,,0 0 1 0 0 ,,,, .值值值值值值值值值 1 0 ,,,,0 0 0 1 0 ,,,,值值值值值值值 0值值值值值值 值算得到 值值 ?0.2200 0.0200 0 0值值值 0.2400值值值值值值值值值值值值 0值值值值值值 ?0.2200 0.3700 0.0100 0值值值值值值值值值值值值 ,0AAT = ,,,,, 0.0200 0.0100 0.0100 0值值值值值值值值值值值值值 0 0 0 0.2900 0.0100值值值值值值值值值值值值值0 0 0 0.0100 0.0500 λ(Q) = {7.0861, 4.4280, 4.0000, 3.0000, 2.4859} , σ2(A) = {0.5344, 0.2904, 0.0823, 0.0496, 0.0033} , λ(R) = {4.0000, 1.0000, 1.0000, 1.0000, 0} ,由于例子中R是奇矩值异, 利用以上值果, 值合引理2.8中的公式可以值值的得到 α = {7.0869, 4.4288, 4.0080, 3.0008, 2.4867} , ′α ? 15.2193. 在文献[38]的定理2.1中有 σ25(A)λ1(Q)σ24(A)λ2(Q)5(+ λQ) ++ λ4(Q)1 + λ1(Q)λ1(R)1 + λ2(Q)λ1(R) σ23(A)λ3(Q)++ λ3(Q) = 9.5178,1 + λ3(Q)λ1(R) σ21(A)λ5(Q)σ22(A)λ4(Q)5(Q) ++ λ4(Q)+ λ1 + λ5(Q)λ1(R)1 + λ4(Q)λ1(R) σ23(A)λ3(Q)+ + λ3(Q) = 9.6937, 1 + λ3(Q)λ1(R)? θ + θ2 + 4λ 1 (R )(λ 5 (Q ) + λ 4( Q ) + λ 3 (Q ))= 3.0216,1(R)2λ 在本文定理2.2中有 σ21(A)α5σ22(A)α4+ λ5(Q) ++ λ4(Q)1 + α5λ1(R)1 + α4λ2(R) σ23(A)α3++ λ3(Q) = 9.8910,1 + α3λ3(R) 所以有 (2.5.1)λ1(P) + λ2(P) + λ3(P) ? 9.8910 ? max{9.5178 , 9.6937 , 3.0216}, 19 在文献[38]的定理2.2中有 1λ1(Q) = 15.2193,1 ? σ21(A)? 3[Θ + Θ2 + 4λ 4 ( R )η/3]= 32.6569,2λ4(R) 在本文定理2.4中有 ′ σ21(A)α+ λ1(Q) = 15.2193,1 + α′λ5(R)′ ′σ21(A)α22(A)ασ+ λ1(Q) +2(Q)+ λ1 + α′λ5(R)′λ4(R1 + α)′ σ23(A)α+ + λ3(Q) = 23.9970,1 + α′λ3(R) 所以有 λ1(P) ? 15.2193, (2.5.2)λ1(P) + λ2(P) + λ3(P) ? 23.9970 ? 32.6569, 在文献[38]的定理2.3中有 ([Θ + ?Θ2 + 4λ 4 ( R )η/3])3 = 1289.9212,2λ4(R) 在本文定理2.6中有 ′[1( σ2(A)α′σ22(A)α1+ λ2(Q)+ λ1(Q) +3 1 + α′λ5(R) 1 + α′λ4(R)′)]3σ24(A)α+ + λ3(Q) = 511.8080,1 + α′λ3(R) 所以有 (2.5.3)λ1(P)λ2(P)λ3(P) ? 511.8080 ? 1289.9212, 不等式(2.5.1)、(2.5.2)、(2.5.3)值值了本章定理2.2、定理2.4 和定理2.6的值越性.值于同值的例子, 在本文定理2.3中有 λ5(Q) + λ4(Q) + λ3(Q)= 5.4762,1σ23(A)σ25(A)σ24(A)[(1 ?)2 ′ )2)2] 2′′+ (1 ?+ (1 ?1?α λ2(R)1?α λ1(R)1?α λ3(R)所以有 (2.5.4)λ5(P) + λ4(P) + λ3(P) ? 5.4762,不等式(2.5.4)值出了方程解的后3个个估特征值和的一下界值. 20 T(P?1 + R)?1A + Q, 其中例2.2 考值DARE(2.1.1) P = A 值值值 5 1 1 1 1 值值值 值值值值值值值1 3 0 0 1 值值值值值0 0 0.1 0 01 0 3 0 1 值值值值值值值1 0 0 4 1 值值值值0 0 0 0.1 0.2 ,1 1 1 1 5值 值值 值值 值值 值 值 值 值 值 0 值 值值 值值值 值值值 值值值 2 0 0 0 1 , 值算得到 值 ?0.2200 0.0200 0 0 值值值 0 0 0 0 0 0 0.0100 0.0500 值值值 λ(Q) = {7.4709, 4.0000, 3.7393, 3.0000, 1.7898} , σ2(A) = {0.5344, 0.2904, 0.0823, 0.0496, 0.0033} , λ(R) = {5.8284, 2.6180, 2.0000, 0.3820, 0.1716} , 值值值值值值 0.4 0.2 0.2 0 0值值值值值值利用以上值果, 值合引理2.8中的公式可以值值的得到值 值值值值值值值值值值值 值值值值值值 ?0.6 0 0.1 0 0值值值值值值值值值 值值值α = {7.4714, 4.0005, 3.7398, 3.0005, 1.7903} ,值值值 ,值值值 ,Q = ,,,,,A = ,,,,值值值′值值值值值值值值值值值值0 0 0 0.5 ?0.2 ,,,,值值值值值值值值值值值值值 在文献[38]的定理2.1中有 值值值 1 0值值值值值值0 0 ,,,,σ25(A)λ1(Q)σ24(A)λ2(Q)值值值值值值值值值值值值值值值5(Q) ++ λ4(Q)+ λ1 + λ1(Q)λ1(R)值值值1 + λ2(Q)λ1(R)0 0 ,,,,值值值 0 1.4142 0值值值值值值σ23(A)λ3(Q)++ λ3(Q) = 8.5513,值值值 .B = ,,,,, 0 0 1.4142 0 0 ,,,,, ,R = BBT = ,,,,,1 + λ3(Q)λ1(R)值值值值值值值值值值值值值值值 0 0 0.7071 0.7071 0 ,,,,,值值值值值值 值值值 21 值值值 0.2400值值值 值值值值值值值值 值值值 ?0.2200 0.3700 0.0100 0值值值值值值值值值 ,AAT = ,,,, 0.0200 0.0100 0.0100 0值值值值值值值值值 0 0.2900 0.0100值值值值值值值值值值 α = {9.7554, 10.9366, 11.0766, 11.5432, 12.6376} , σ21(A)λ5(Q)σ22(A)λ4(Q)5(Q) ++ λ4(Q)+ λ1 + λ5(Q)λ1(R)1 + λ4(Q)λ1(R) σ23(A)λ3(Q)+ + λ3(Q) = 8.6734, 1 + λ3(Q)λ1(R)? θ + θ 2 + 4λ 1 (R )(λ 5 (Q ) + λ 4( Q ) + λ 3 (Q ))= 1.8198,1(R)2λ 在本文定理2.2中有 σ21(A)α5σ22(A)α4+ λ5(Q) ++ λ4(Q)1 + α5λ1(R)1 + α4λ2(R) σ23(A)α3++ λ3(Q) = 8.7475,1 + α3λ3(R) 所以有 (2.5.5)λ1(P) + λ2(P) + λ3(P) ? 8.7475 ? max{8.5513 , 8.6734 , 1.8198}, 在文献[38]的定理2.2中有 ? 3[Θ +Θ2 + 4λ4(R)η/3]= 24.9364,2λ4(R) 在本文定理2.4中有 ′ σ21(A)α1σ22(A)α2′′ + λ1(Q) + ′ 1 + α1λ5(R)2λ1 + α4(R)′σ23(A)α3+ ′ + λ3(Q) = 17.8126, 1 + α3λ3(R) 所以有 (2.5.6)λ1(P) + λ2(P) + λ3(P) ? 17.8126 ? 24.9364, 在文献[38]的定理2.3中有 ([Θ + ?Θ2 + 4λ 4 ( R )η/3])3 = 574.2837,2λ4(R) 在本文定理2.6中有 ′[1( σ2(A)α′σ22(A)α21 + λ2(Q)+ λ1(Q) +1′ ′3 1 + α1λ5(R)1 + α2λ4(R)′)]3σ24(A)α3+ ′ + λ3(Q) = 209.3236, 1 + α3λ3(R) 所以有 (2.5.7)λ1(P)λ2(P)λ3(P) ? 209.3236 ? 574.2837, 22 不等式(2.5.5)、(2.5.6)、(2.5.7)值值了本章定理2.2、定理2.4 和定理2.6的值越性.值于同值的例子, 在本文定理2.3中有 λ5(Q) + λ4(Q) + λ3(Q)= 4.9240,1σ24(A)σ23(A)σ25(A))2] 2[(1 ?)2 + (1 ?2 + (1 ?)′′′1?α4λ2(R)3λ1?α3(R)1?α5λ1(R) 所以有 (2.5.8)λ5(P) + λ4(P) + λ3(P) ? 4.9240,不等式(2.5.8)值出了方程解的后3个个估特征值和的一下界值. 23 第三章耦离数合散代Riccati 方程解的值估 引言?3.1 在合散代耦离数Riccati 方程(DCARE)(1.1.3) 中, 令Ri = BiBTi, 运用Sherman- Morrison-Woodbury 公式, 方程 (1.1.3) 就可等价的值写 ? (3.1.1)πi jP j + Pi.Pi = ATi(Fi?1 + Ri)?1Ai + Qi, Fi = j i Adam Czornik等在文献[45]中值合的耦Riccati 矩值方程值行究研, 利用函数的性值、不等式的放值技巧,得到了方程解的下界; Richard Davies等在文献[46]中值合的耦Riccati 矩值方程值行究研, 利用解的最大特征值的上界解的值系与,得到了方程解的上界;本章主要值合散代耦离数Riccati 方程(DCARE)的(3.1.1)形式值行究研, 得到了方程(3.1.1) 的值正定解的上界、解的特征值的上界称. 耦离数合散代Riccati方程解及特征值的界?3.2 值了得到本章中的值值, 首先我值值出以下值和引理号. 本章中要用到的值有号 πi = max{πi j, j ? S, ji},ai = σ21(Ai), k? ri = λn(Ri),qi =λt(Qi), t=1 au = max{i,a i ? S },ru = min{ri, i ? S }, ?? qπu = qi,u = max{ πi j, i ? S }, i?Sj?s, j i? ?a +a2 + bcf (a, b, c) =, (b0).b 引理 3.1 值任意的r > 0, xi > 0, (i = 1, 2, ? ? ? , k), 有 ?kxik?i=1xi?.?k1 + rxiri=1xi1 +ki=1 值明:构数造函 xg(x) =, (x > 0, r > 0)1 + rx 24 有 ′′′12r< 0,g (x) => 0, g (x) = ?2(1 + rx3)(1 + rx) 由凹函的性值可数知g(x)是值值值增的凹函数, 有 值 k ,k? 1值值值? xi ,,,gg(xi),值值值 k ,,, ?ki=1i=1 值 k ,k?值值值?xi ,,, 值g(xi) ? kg ,,, k ,, ,i=1i=1代入函数g(x)的定值式中, 整理就可得到值值. 定理 3.1 值正定矩值Pi, i ? S 是DCARE (3.1.1) 的值正定解称, 且值任意 的k = 1, 2, ? ? ? , n, i ? S , 如果存在一正常数β使得 k? ? (3.2.1)λt(Pi) ? β, i?s t=1 值值任意的k = 1, 2, ? ? ? , n, i ? S , 有 k? 2 r i(3.2.2)λt(Pi) ? θ(β, k, i) :=i, f (M(1 ? πi), 2Ni),kt=1 其中 Mi = 1 + rki πiβ + aiπi ? ai ? rki qi + rki qiπi, Ni = aiπiβ + qi + rki qiπiβ. 值明:值任意的矩值U, V R?n×n, 有 λi(UV) = λi(VU), 矩值 Pi 是DCARE(3.1.1) 的值正定解称, 利用引理2.1 (v)和引理2.2 (iv), 有 kk?? λt(Pi) =λt(ATi(Fi?1 + Ri)?1Ai + Qi) t=1t=1 kk?? ?λt(Qi)λt((Fi?1 + Ri)?1AiATi) + t=1t=1 kk?? ?λt((Fi?1 + Ri)?1)λt(AiATi) +λt(Qi) t=1t=1 kk?? (3.2.3)?λt(Qi),λt((Fi?1 + Ri)?1)σ21(Ai) + t=1t=1 25 根据引理2.5 (i)、(2.2.1)式和引理3.1, 有 kk1?1λt((Fi?1+ λn(Ri)λn?t+1(Fi?1)t=1t=1 kλt(Fi)?1 + λn(Ri)λt(Fi)t=1 ?k t=1(3.2.4)?,λn ( Ri) ?1 +k?πi jP j + Pi利用引理2.1(v), 有值Fi =j i kk? λt(Fi) =πi jP j + Pi)λt( j it=1t=1 kk? ?λt(Pi) +πi jP j)λt( j it=1t=1 kk (3.2.5)?λt(Pi) + πiλt(P j), t=1j i t=1 利用不等式(3.2.1), 可以得到 kk (3.2.6)λt(P j) ? β ?λt(Pi), j i t=1t=1 将不等式(3.2.6)代入不等式(3.2.5)中得到 kk (3.2.7)λt(Fi) ? πiβ + (1 ? πi)λt(Pi), t=1t=1 利用引理3.1, 将不等式(3.2.7)代入不等式(3.2.4)中, 可以得到 ?k kt=1?1λt((Fi?1λn ( Ri) ?t=11 +k 将不等式(3.2.8)代入不等式(3.2.3)中, 可以得到 ?kkt=1(3.2.9)λt(Pi) ?i,+ qri ?t=1k ?? + Ri) ) ? 26? λt(Fi) k λt(Fi)t=1?? ?? ?? ? ? ?? ?? πiβ + (1 ? πi)λt(Pi)? + Ri) ) ?k (πiβ+ (1 ? πi)λt(Pi))t=1 ai(πiβ + (1 ? πi)λt(Pi))? k 1 +(πiβ+ (1 ? πi)λt(Pi))t=1 i ? 0, 整理不等式(3.2.9)可以得到利用1 ? π 值值 k值2 , k 值值值值值?值值值ri(1 ? πi) ,,,,?(3.2.10)λt(Pi),,,, ?i N ? 0,λt(Pi),,, +i ,,, Mk ,,t=1t=1 ?k将λt(Pi)看成一个体整作值未知值量, 解值一个元二次不等式(3.2.10), 就可以得t=1 到不等式(3.2.2). 定理 3.2 假如正定矩值 Pi, i ? S , 值足 DCARE (3.1.1) ,值值任意的 k = 1, 2, ? ? ? , n, i ? S, 有 k? ? 2 r u(3.2.11)λt(Pi) ? f (K,(1 + πu), 2qu) := δ,ksi?S t=1 ru其中 K = 1 ?u a(πu + 1) ?+ 1).q (πuks u 值明:值不等式(3.2.3)中所有的i ? S 求和, 可以得到 值值kkk? ?? ??值? 值值?1 ?1 ,,,值值值2(Ai)σλt(Pi) ?λt(Qi) +λt((Fi + Ri) ),,值 1i?Si?S t=1i?S t=1t=1 k? ? (3.2.12)? auλt((Fi?1 + Ri)?1)) + qu, i?S t=1 接下来, 我值先估值(3.2.12)式右值第一分量的一部分个, ?k kλt(Fi)?? ?t=1?1λt((Fi?1+ Ri) )) ?kλn ( Ri) ?i?Si?S t=11 +λt(Fi)kt=1 ?kλt(Fi)?t=1??krui?S1 +λt(Fi)kt=1 ? ?kλt(Fi)i?S t=1(3.2.13)?,kru ? ?1 +λt(Fi)ksi?S t=1由于 kkk?? ?? ?? (λt(Fi) ?λt(Pi) +πi jλt(P j)) j ii?Si?S t=1t=1t=1 k? ? (3.2.14)? (πu + 1)λt(Pi), i?S t=1 27 利用引理3.1、(3.2.13)式和(3.2.14)式, 可以得到 ? ?k(πu + 1)λt(Pi)k? ?i?S t=1?1(3.2.15),λt((Fi?1+ Ri) )) ?kru ? ?i?S t=11 +(πu+ 1)λt(Pi)ksi?S t=1利用au ? 0, 将(3.2.15)式代入(3.2.12)式, 有 ? ?k(πu + 1)λt(Pi)k? ?i?S t=1λt(Pi) ? au+ qu,kru ? ?i?S t=11 +(πu+ 1)λt(Pi)ki?S t=1s 值值 值2 , k值值值值值? ?值值值? ?值值值 r u(3.2.16)λt(Pi),,,, ?u q ? 0,λt(Pi),,, + K ,,,kski?S t=1i?S t=1 ? ?k(πu + 1) ,,,λt(Pi)看成一个体整作值未知值量, 解值一个元二次不等式(3.2.16), 就可以将 i?S t=1 得到(3.2.11)式. 值合用定理运3.1和定理3.2, 我值可以得到以下值值. 定理 3.3 假如正定矩值 Pi, i ? S , 值足 DCARE(3.1.1) ,值值任意的 k = 1, 2, ? ? ? , n, i ? ?S, 有 ()k 2λ n ( B i B Ti )(3.2.17)λt(Pi) ? f Mi,(1 ? pd), 2Ni := θd(δ, k, i),kt=1 其中λn(BiBTi) ?值值值值值值πiβd + (πi ? 1) ,,λ1(AiAi ) +值值kk λ n ( B i B Ti )TMi = 1 +λt(Qi),,,, ,?kλn(BiBTi) ?t=1 kk k ()Ni = λt(Qi) + λ1(AiATi)πiβd + λt(Qi)πiβd,? rβd = f ?a1 + 1 ?? a1π??1 ?q?1(π?1 + 1),(π?1 + 1), 21 ,q?t=1 t=1 r 2?? ks ks a1 = max{λ1(AiATi), i ? S }, π1 = max{ π ji, i ? S, },? ?j i k q1 =λt(Qi).r = min{λn(BiBTi), i ? S }, i?S t=1 定理 3.4 假如正定矩值Pi, i ? S ,值足DCARE(3.1.1) ,值值任意的i ? S , 有 I (3.2.18)+ BiBTi)?1Ai + Qi,Pi ? ATi( ?πi jθd(δ, 1, jd) + θ(δ, 1, i)j i 其中δ, θd分值由式(3.2.11),(3.2.17)所值出. 28 值明:利用引理2.1 (ii)(iv)和引理2.5 (ii), 有 ? (3.2.19)ATi(Fi?1+BiBTi)?1Ai?πi jλ1(P j) + λ1(Pi))?1 × I + BiBTi)?1Ai,ATi(( j i 把(3.2.19)式代入方程(3.1.1), 我值可以得到 I(3.2.20)+ BiBTi)?1Ai + Qi,Pi ? ATi( ?πi jλ1(P j) + λ1(Pi)j i 令(3.2.17)式中的k = 1, 可以得到 (3.2.21)λ1(Pi) ? θd(δ, 1, i),i ? S, 将(3.2.21)式代入(3.2.20)式的右值, 就可以得到(3.2.18)式. 数值例子?3.3 值一值值出值例子值明定理的有效性数来, 数值算例是利用MATLAB 7.1值行值算的. 例3.1 值值DCARE(3.1.1), 我值取S = {1, 2},系矩值值数 值 值 值 值 值 值 值 值 值值值 1 2 ,,,值值值 0 ,,,值值值 1 ?1 ,,,值值值 1 ,,,值值值值值值值值 , A值值值 1 = ,,,,, B2 = ,,,,值值值值 2 = ,,,,, BA1 = ,,,,值值 ,值 1 0 ,,,值值 1 ,, ,, 0 0 ,, ,, 0 , 值 值 值 值 值值值 0.5 0.5 ,,,值值值 1 0 ,,,值 值值值值值值值.(πi j)i, j? = ,,,,SQ1 = Q2 = ,,,,值值值 ,值 0 1 ,,,值 0.5 0.5 值算得到DCARE(3.1.1)的近似值正定解是称 值 值 值值值 6.8068 8.8250 ,,,值值值值,P1 = ,,,,值 8.8250 16.8597 ,,, 值 值 值值值 1.8398值?0.8398 ,,,,,值 ,P2 = ,,,,值 ?0.8398 1.8398 ,,,特征值分值是 λ(P1) = {21.9893 , 1.6772} , λ(P2) = {2.6797 , 1.0000} , 29 利用(3.2.18)式,我值可以得到 值 值 值值值 7.5360 8.7658 ,,,′值值值值,P1 ? P1= ,,,,值 8.7658 17.5315 ,,, 值 值 值值值 3.6534 0.6534 ,,,′值值值值,P2 ? P2= ,,,,值 0.6534 3.5400 ,,,′ ′其中P1, P2的特征值分值是 ′λ(P1) = {22.6242 , 2.4433} , ′λ(P2) = {4.2526 , 2.9408} . 30 值 束 值 在航空航天、机械化工、工值生值、金融值值、值控制等值域中都涉及到网 以矩值方程值工具分析和解一些控制系值的值值来决. 因此值于值性矩值方程的研很究不值具有强的理值价值, 而且值值值用价值也足弥珍值. 近些年来, 此值值值的究研国内学吸引了外的值多者, 他值采用多值不同的方法不同的方面得到从 了某些矩值方程的解及其解的一些性值. 本文是在前人究的基值上研, 利用不等式的一些技巧, 研离数究了散代Riccati矩值方程及其合方程的解及其特征值的一些性值耦, 得到了方程解的特征值的上下界、特征值和的上下界、特征值值的上下界. Riccati 矩值方程正定解更精确的上下界值、正定解的值界估数确估更精的值、方程求解的高效值定快速算法等方面是值得我值值一步探值和究的值值研. 31 参献考文 [1] 段广仁, 值性系值理值 [M], 哈值值工值大出版学社, 2004. [2] B.D.O. Anderson, J.B. Moore, Optimal Filtering [M], Prentice-Hall, Englewood Cli,s, New Jersey,1979. [3] R. Davies, P. shi, R. Wiltshire, New upper solution bounds for perturbed continuous al- gebraic Riccati equations applied to automatic control [J], Chaos, Solitons and Fractals, 32(2007), pp. 487-495. [4] O.L.R. Jacobs, Introduction to Control Theory [M]. London: Oxford University Pressp, 1974. [5] P.Lancaster, L. Rodman , Algebraic Riccati Equations [M]. Oxford: The Clarendon Press, 1995. 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