高三数学三角函数一轮复习

高三数学三角函数一轮复习 第六章 三角函数 1(了解任意角的概念、 弧度的意义、正确进行弧度与角度的换算;理解任意角的正弦、余弦、正切的定义;了解余切、正割、余割的定义;会利用单位圆中的三角函数线 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示正弦、余弦、正切( 2(掌握三角函数的 公式 小学单位换算公式大全免费下载公式下载行测公式大全下载excel公式下载逻辑回归公式下载 (同角三角函数基本关系式、诱导公式、和、差角及倍角公式)及运用( 3(能正确运用三角公式进行简单的三角函数式的化简、求值和条件等式及恒等式的证明( 4(掌握正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质;会用单位圆中的三角函数线画出正弦函数、正切函数的图象、并在此基础上由诱导公式画出余弦函数的图象(会用“五点法”画出正弦函数、余弦函数和y Asin( x, )的简图，理解A、 、 的物理意义( 5(会由已知三角函数值求角，并会用符号arcsinx，arccosx，arctanx表示角( 6(掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形，能利用计算器解决解三角形的计算问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 ( 三角部分的知识是每年高考中必考的 ( 4(象限角是指: 5(区间角是指: 6(弧度制的意义:圆周上弧长等于半径长的弧所对的圆心角的大小为1弧度的角，它将任意角的集合与实数集合之间建立了一一对应关系( 7(弧度与角度互化:180º,弧度，1º, 弧度，1弧度, ( 8(弧长公式:l ,;扇形面积公式:S,. 第1课时 任意角的三角函数 二、任意角的三角函数 9(定义:设P(x, y)是角 终边上任意一点，且 |PO| ,r，则sin ,; cos ,tan , ; 10(三角函数的符号与角所在象限的关系: y y y ， ， , ， , ， O + , , , ， , sinx, cosx, tanx, 12 13(三角函数线:在图中作出角 的正弦线、余弦线、正切线( 例1. 若 是第二象限的角，试分别确定2 , 变式训练1:已知 是第三象限角，问 是哪个象限的角, 3 ,的终边所在位置. 23 例2. 在单位圆中画出适合下列条件的角 的终边的范围,并由此写出角 的集合: (1)sin ?13;(2)cos ?,. 22 变式训练2:求下列函数的定义域: (1)y=2cosx,1;(2)y=lg(3-4sin2x). 例3. 已知角 的终边在直线3x+4y=0上，求sin ,cos ,tan 的值. 变式训练3:已知角 的终边经过点P( m)(m 0),且sin 值( m，试判断角 所在的象限，并求cos 和tan 的4 例4. 已知一扇形中心角为α，所在圆半径为R( (1) 若α ，R,2cm，求扇形的弧长及该弧所在弓形面积; 3 (2) 若扇形周长为一定值C(C>0)，当α为何值时，该扇形面积最大，并求此最大值( 变式训练4:扇形OAB的面积是1cm2，它的周长是4cm，求中心角的弧度数和弦长AB( 小结归纳 1(本节 同角三角函数的基本关系及诱导公式 1(同角公式: (1) 平方关系:sin2α，cos2α,1，1，tan2α,1，cot2α,(2) 商数关系:tanα,，cotα,(3) 倒数关系:tanα,1，sinα1，cotα1 2(诱导公式: 规律:奇变偶不变，符号看象限 3(同角三角函数的关系式的基本用途: 根据一个角的某一个三角函数值，求出该角的其他三角函数值;化简同角三角函数式;证 明同角的三角恒等式( 4(诱导公式的作用: 0?~90º角的三角函数值( )=(1)化简f( ); (2)若 是第三象限角，且cos , 3 1 ，求f( )的值. 2 5 sin( , )cos(2 , )tan(, , ) ; ,tan(, , )sin(, , ) 变式训练1:已知A,A({,1, 1, ,2, 2} sin(k , )cos(k , ) ,(k Z)则A构成的集合是 ( ) sin cos B({1, ,1} C({2, ,2} 3 5 D({,2, ,1, 01, 2} 例2(求值:(1) 已知 2 ,cos( ,7 ) ,，求, )的值( 2 2) 已知 tan sin ,3cos ,1，求下列各式的值(?;?sin2 ,sin cos ,2 tan ,1sin ,cos 变式训练2:化简:? sin( ,5 ) tan 例3. 已知, 2 x 0，sin x，cos x, cos(8 , )， ? sin( ,),cos( ,) 44sin(, ,4 )1( 5 (1)求sin x,cos x的值( sin2x,2sin2x(2)求的值( 1,tanx 变式训练3:已知sin +cos =, ?(0, ).求值: (1)tan ;(2)sin -cos ;(3)sin3 +cos3 . 例4(已知tan =2,求下列各式的值: 2sin ,3cos 2sin2 ,3cos2 22(1);(2) ;(3)4sin-3sincos-5cos . 4sin ,9cos 4sin ,9cos 15 变式训练4:已知sin( +k )=-2cos( +k ) (k?Z).求:(1)4sin ,2cos 12;(2) sin2 +cos2 . 5cos ,3sin 45 1(求函数的定义域一般有三类问题:一是给出解释式(如例 1)，应抓住使整个解式有意义的自变量的集合;二是未给出解析式(如例2)，就应抓住 两角和与差的三角函数 1(两角和的余弦公式的推导方法: 2(基本公式 sin(α?β),sinα cosβ?cosα sinβ cos(α?β),tan(α?β),. 3(公式的变式 tanα，tanβ,tan (α，β)(1,tanα tanβ) 1,tanα tanβ,tan ,tan tan( , ) 4(常见的角的变换: 2 ,(α，β)，(α,β);α, α,(α，β),β ,(α,β)，β , 2 ( , 2， , 2,(α, 4 ),(,β); 22 4,x),(,x), 2 例1(求,2sin50?+sin10?(1+tan10?),2sin280 的值. 解:原式= 2sin50 ,sin10 1, sin10 2sin80 cos10 =(2sin50 ,sin10 cos10 ,3sin10 ) 2sin80 cos10 1cos10 ,sin10 2cos10 = 2sin50 ,2sin10 cos10 = 2sin50 , 2sin10 sin40 2cos10 cos10 =2sin60 2cos10 22sin60 cos10 =22 . 2 3 , )，sin =,则tan( ,)等于( ) 524 11A. B.7 C., D.,7 77变式训练1:(1)已知 ?( (2) sin163?sin223?+sin253?sin313?等于 ( ) 311 B. C., D. 2222 解:(1)A (2)B A., 例2. 已知α ( 解:?α, α?( 3 4,4 3 353 ，)，β (0，),cos(α,),，sin(，β),，求sin(α，β)的值( 444513443 4 4，，β,α，β，13 2 ) β?(0,,1 ,sinx 1) ?α,3 3 ?(0,) β，?(,π) 4424 ?sin(α,3 124), cos(, ),, 54413 2?sin(α，β),,cos[ ,,cos[(α,，(α，β)] 3 56)，(, )], 6544 变式训练2:设cos( , 求cos( +β). 解:? 2)=,1 2ππ，sin(,β)=，且, ,π，0,β,， 93222 ππππ π, ,π，0,β,，?,α,,π，,,,β,. 2242422 2故由cos( , 由sin()=,4 1，得sin(α,)=. 992 2,β)=5 , 2 ，得cos(,β)=.?cos=cos,( ,),(,β),332222 =cos( , 2)cos( 2, ),sin( , 2)sin( 12, )=, , 29322392 , ?cos( +β)=2cos, 1=2 -1=,. 7292 例3. 若sinA=,sinB=,且A,B均为钝角,求A+B的值. 510 5,sinB=， 510解 ?A、B均为钝角且sinA= ?cosA=-,sinA=-225=-2， 5 cosB=-,sinB=-23=-3， 10 ?cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB ,= 2 × ,3 -5=2 ? 5 210 10 5 又? ,A, , ,B, , 22 ? ,A+B,2 由??知，A+B=7 . 4? 变式训练3:在?ABC中，角A、B 、C满足4sin2解 在?ABC中，A+B+C=180?, 由4sin2 得7A,C-cos2B=, 227A,C-cos2B=,求角B的度数. 221,cos(A,C)7-2cos2B+1=, 22 所以4cos2B-4cosB+1=0. 于是cosB=,B=60?. 例4(化简sin2 ?sin2 +cos2 cos2 -1cos2 ?cos2 . 212 解 方法一 (复角?单角，从“角”入手) 原式=sin2 ?sin2 +cos2 ?cos2 - =sin2 ?sin2 +cos2 ?cos2 -1?(2cos2 -1)?(2cos2 -1) 21(4cos2 ?cos2 -2cos2 -2cos2 +1) 2 1 2=sin2 ?sin2 -cos2 ?cos2 +cos2 +cos2 - =sin2 ?sin2 +cos2 ?sin2 +cos2 - =sin2 +cos2 -111=1-=. 2221 2 方法二 (从“名”入手，异名化同名) 原式=sin2 ?sin2 +(1-sin2 )?cos2 - =cos2 -sin2 (cos2 -sin2 )-1cos2 ?cos2 21cos2 ?cos2 2 =cos2 -sin2 ?cos2 -1cos2 ?cos2 2 2 1 2 =cos2 -cos2 ? sin ,cos2 1 2 2?sin ,(1,2sin ) 2 1,cos2 11=-cos2 =. 222=1,cos2 -cos2 2 方法三 (从“幂”入手，利用降幂公式先降次) 原式= 1 41,cos2 1,cos2 1,cos2 1,cos2 1+-cos2 ?cos2 22222111(1+cos2 ?cos2 +cos2 +cos2 )-?cos2 ?cos2 =. 422 1cos2 ?cos2 2=(1+cos2 ?cos2 -cos2 -cos2 )+方法四 (从“形”入手，利用配方法，先对二次项配方) 原式=(sin ?sin -cos ?cos )2+2sin ?sin ?cos ?cos - =cos2( + )+ =cos2( + )- =cos2( + )- 11sin2 ?sin2 -cos2 ?cos2 221?cos(2 +2 ) 211?,2cos2( + )-1,=. 22 4 4 变式训练4:化简:(1)2sin ,x +cos ,x ; 2cos2 ,1(2). 2 2tan , sin , 4 4 解 (1)原式=2 sin 2 13 ,x , cos ,x 4 2 4 =22 sinsin ,x ,coscos ,x 66 4 4 =22cos ,,x =22cos(x- 64 12). =cos2 (1,sin2 )1,sin2 (2)原式=cos2 1,tan 1,cos ,2 1,tan 2 =1. 1(三角函数式的化简、求值、证明等是三角变形常见的题型，三角函数式变形的过程就是分析矛盾、发现差异，进而消 除差异的过程。在这一过程中须仔细观察到式子中各项的角、函数名称及运算式子的差异，找出特征，从中找到解题的突破口。对于角与角之间的关系，要充分应用角的恒等变换，以整体角来处理和解决有关问题，这样可以避免一些较复杂的计算，如:2α，β=α+ (α，β)等( 2(在应用过程中要能灵活运用公式，并注意总结公式的应用经验。对一些公式不仅会正用，还要会逆用、变形用，如正切的和角公式的变形用，正、余弦的和、差角公式的逆用。另外还要能对形如sinx?3cosx、sinx?cosx的三角函数式要创造条件使用公式( 第4课时 二倍角的正弦、余弦、正切 1(基本公式: sin2α,; cos2α,; tan2α,2(公式的变用: 1，cos2α, 1,cos2α, 例1. 求值:sin40 (1,2cos40 ) 2cos40 ,cos40 ,1 解:原式, ,sin40 ,sin80 cos40 ,cos80 sin(60 ,20 ),sin(60 ,20 ),cos(60 ,20 ),cos(60 ,20 ) 12,sin3 12变式训练1:(cos A(, 解:D 12)(cos 12，sin), ( ) 11 B(, C( D( 2222 例2( 已知α为锐角，且tan 解:?α为锐角 ? ,sin2 cos ,sin sin2 cos2 1sin2 cos ,sin ，求的值. 2sin2 cos2 , sin (2cos2 ,1)2sin cos cos2 15,,tan2 , cos 4 变式训练2:化简: 2tan(2cos2 ,14, ) sin2(4, ) 解:原式, 2sin( cos(cos2 ,1 4, ), ) , ) cos2( 4 例3(已知f(x) ,sin2x,sinxcosx; (1) 求f(25 13)的值; (2) 设 (0, ),f() ,，求sinα的值( 6242解:(1)?sin ?f(251 62cos25 3 6225 25 25 25 ) ,cos2,sincos 0 6666 (2)f(x) ?f() a 231cos2x,,sin2x 222113 cos ,sin , ,22242 1 35 816sin22,4sinα,11,0 解得sin ?2 (0, ) sin 0 故sin ,1,5 8 变式训练3:已知sin( 解:cos( ,2sin2( 6, ),12 ，求cos(,2 )的值( 332 ，2α),2cos2(，α),1 33 7,α) ,1 ,, 69 )，求sinα、tanα的值( 2例4(已知sin2 2α，sin2α cosα,cos2α,1，α (0， 解:由已知得 sin22α，sin2αcosα,2cos2α,0 即(sin2α，2cosα) (sin2α,cosα),0 cos2α(1，sinα) (2sinα,1),0 ?α?(0， 2) cosα?0 sinα?,1 1 2?2sinα,1 sinα, ?tanα,3 3 变式训练4:已知α、β、r是公比为2的等比数列( [0,2 ])，且sinα、sinβ、sinr也成等比数列，求α、β、r的值( 解:?α、β、r成公比为2的等比数列( ?β,2α，r,4α ?sinα、sinβ、sinr成等比数列 ?sin sinrsin2 sin4 cos 2cos22,1 sin sin sin sin2 1 2即2cos22,cos ,1 0，解得cosα,1或cos , 当cosα,1时，sinα,0与等比数列首项不为零矛盾故cosα,1舍去 当cos ,时，?2?[0,2π] ?2 ? 122 2 或2 332 4 8 4 8 16 , ,r 或 , ,r 333333 1(二倍角公式是和角公式的特殊情况，在学习时要注意它们之间的联系; 2(要理解二倍角的相对性，能根据公式的特点进行灵活应用(正用、逆用、变形用)( 3(对三角函数式的变形有以下常用的方法: ? 降次(常用降次公式) ? 消元(化同名或同角的三角函数) ? 消去常数“1”或用“1”替换 ? 角的范围的确定 第5课时 三角函数的化简和求值 1(三角函数式的化简的一般要求: ? 函数名称尽可能少; ? 项数尽可能少; ? 尽可能不含根式; ? 次数尽可能低、尽可能求出值( 2(常用的基本变换方法有:异角化同角、异名化同名、异次化同次( 3(求值问题的基本类型及方法 ? “给角求值”一般所给的角都是非特殊角，解题时应该仔细观察非特殊角与特殊角之间的关系，通常是将非特殊角转化为特殊角或相互抵消等方法进行求解( ? “给值求值”即给出某些角的三角函数(式)的值，求另外的一些角的三角函数值，解题关键在于:变角，使其角相同; ? “给值求角”关键也是:变角，把所求的角用含已知角的式子表示，由所求得的函数值结合该函数的单调区间求得角( 4(反三角函数arcsinα、arccosα、arctanα分别表示[,, cos40 ,sin50 (1,3tan10 ) sin70 ,cos40 22]、[0，π]、(,, 22)的角( 例1. (1)化简: 1,sin6x,cos6x (2)化简: 1,sin4x,cos4x cos10 ,sin10 解:?1,tan10 cos10 ,2cos(60 ,10 )2cos50 ?原式 cos10 cos10 2sin50 cos50 cos40 ,12cos220 =2 sin70 2cos20 2cos220 2cos220 cos40 , 变式训练1:已知f(x) 解:2 sin 1,x，若 (, )，则f(cos ), f(,cos )可化简为( 21,x 例2. 已知6sin2 ,sin cos ,2cos2 0，α?[ ， ]，求sin(2α，)的值( 23 解法一:由已知得(3sinα，2cosα) (2sinα,cosα),0 3sinα，2cosα,0或2sinα,cosα,, 由已知条件可知cosα?0 ?α? 即α?( ,π) 22 ?tanα,, sin(2α， ),sin2αcos323 ，cos2αsin 33 ,sinαcosα， , ,sin cos 32(cos2α,sin2α) 3cos2 ,sin2 2cos2 ,sin2 cos2 ,sin2 tan , 31,tan2 ,,21,tan2 1,tan2 653,1326 ,, 解法二:由已知条件可知cosα?0 则α? 2 从而条件可化为 6 tan2α，tanα,2,0 ?α?( ,π) 解得tanα,,2(下同解法一) 23 变式训练2:在?ABC中，sinA,cosA 解:?sinA，cosA, ?2sinAcosA,,1 22，AC 2，AB 3，求tanA的值和?ABC的面积( 222 ? 从而cosA,0 A?( 2, ) ?sinA,cosA,(sinA,cosA)2,4sinAcosA ,2 ? 6,2 4据??可得 sinA, ?tanA,,2, S?ABC,3( cosA,,6, 4 11，tanβ,-，且α、β?(0， )，求2α,β的值. 276,2)4例3. 已知tan(α,β), 解:由tanβ,,1 β?(0，π) 7 得β?( , π) ? 2 由tanα,tan[(α,β)，β],1 α?(0，π) 3 得0,α, ? 0,2α,π 2 由tan2α,3,0 ?知0,2α, ? 42 ?tan(2α,β),tan2 ,tan 1,tan2 tan ,1 由??知 2α,β?(,π，0) ?2α,β,,3 4 (或利用2α,β,2(α,β)，β求解) )变式训练3:已知α为第二象限角，且sinα,，求的值( sin2 ,cos2 ,14sin( , 解:由sinα, ?cosα,,1 44 α为第二象限角 ? ,) sin2 ,cos2 ,12cos (sin ,cos )sin( , )sin( , 122cos ,,2 例4(已知3 10 ,tan ,cot ,( 43 (1)求tanα的值; 5sin2 2(2)求,8sin 2cos 2,11cos2 2,8 2sin( ,2的值( ) 解:(1)由tan ,cot ,10 3 得3tan22,10tan ,3 0 解得tanα,,3或tan , 又3 1 ，所以tan ,为所 求( 3413 (2)原式: 5 1,cos 1,cos ,4sin ,11 ,8 ,2cos 5,5cos ,8sin ,11,11cos ,16 ,22cos 8sin 66cos ,2cos 8tan ,6 ,2 , 52 6 变式训练4:已知 2sin2 ,sin2 ，试用k表示sin ,cos 的值( k(<α<) 421,tan 2sin cos 2解:?2sin ,sin2 1,tan ?k,2sinαcosα ?(sinα,cosα)2,1,k 又?α?(, 42) ?sinα,cosα,,k 1(三角函数的化简与求值的难点在于:众多的公式的灵活运用和解题突破口的选择，认真分析所给式子的整体结构，分 析各个三角函数及角的相互关系是灵活选用公式的基础，是恰当寻找解题思维起点的关键所在; 2(要熟悉角的拆拼、变换的技巧，倍角与半角的相对性，熟悉几种常见的入手方式: ? 变换角度 ? 变换函数名 ? 变换解析式结构 3(求值常用的方法:切割化弦法、升幂降幂法、辅助元素法、“1”的代换法等( 第6课时 三角函数的恒等变形 一、三角恒等式的证明 1(三角恒等式的证明实质是通过恒等变形，消除三角恒等式两端结构上的差异(如角的差异、函数名称的差异等)( 2(证三角恒等式的基本思路是“消去差异，促成同一”，即通过观察、分析，找出等式两边在角、名称、结构上的差异，再选用适当的公式，消去差异，促进同一( 3(证明三角恒等式的基本方法有:? 化繁为简;? 左右归一;? 变更问题( 二、三角条件等式的证明 1(三角条件等式的证明就是逐步将条件等价转化为结论等式的过程，须注意转化过程确保充分性成立( 2(三角条件等式的证明，关键在于仔细地找出所附加的条件和所要证明的结论之间的内在联系，其常用的方法有: ? 代入法:就是将结论变形后将条件代入，从而转化为恒等式的证明( ? 综合法:从条件出发逐步变形推出结论的方法( ? 消去法:当已知条件中含有某些参数，而结论中不含这些参数，通过消去条件中这些参数达到证明等式的方法( ? 分析法:从结论出发，逐步追溯到条件的证明方法，常在难 于找到证题途径时用之( 例1(求证:1,cos ,cos sin ,sin ,2sin 1,cos 2cos2 ,cos cos 证明:左边, 2sin cos 2cos 2,sin 2 sin(1,2cos)(1,2cos)2 2 ,2 cot sin 21,cos sin2,右边 )，tan(α,),2tan2α 44变式训练1:求证:tan(α， 证明:?(α， ?tan[(α， 4 4)，(α, 4 4),2α )，(α,)],tan2α ,),tan( ,)?tan(44 1,tan( , 4) tan( , tan2 )4 ,),tan( ,)?tan(44 tan2 1,tan( ,) cot( ,)44 ?tan(α， 4)，tan(α, 4),2tan2α tan5 ,tan3 4(tan5 ,tan3 ) 例2(求证:cos2 cos4 sin5 sin3 ,证明:左边, cos2 cos4 sin8 4sin2 cos2 cos4 ,cos5 cos3 cos2 cos4 cos5 cos3 cos2 cos4 ,4sin2 cos2 cos4 cos5 cos3 cos2 cos4 cos4 4sin2 , cos5 cos3 右边,4(sin5 sin3 ,) cos5 cos3 4sin2 cos5 cos3 sin5 cos3 ,cos5 sin3 ,,cos5 cos3 ?左边,右边 即等式成立 变式训练2:已知2tanA,3tanB，求证:tan(A,B), 3tanB,tanBtanA,tanB 证明:tan(A,B), 21,tanA tanB1,tanB2sin2B( 5,cos2B sinB tanBsinBcosB ,2,3tan2B3sin2B2cos2B,3sin2B 2,cos2B ,2sinB cosB4cos2B,6sin2B sin2B 4,2sin2B sin2B 5,cos2B 例3(如图所示，D是直线三角形?ABC斜边上BC上一点，AB,AD，记?CAD=α，? ABC=β( (1)证明:sinα，cos2β=0; (2)若AC 3DC，求β的值( 解:(1)? 2, BAD 2,(2 ,2 ) 2 , 2 D C ?sin sin(2 , 2) ,cos2 即sinα，cos2β,0 (2)在?ADC中，由正弦定理得 即DCAC ( sin sin( , )DC3DC ?sin sin sin sin 由(1)sinα,,cos2β ?sin ,3cos2 ,3(1,2sin2 ) 即23sin2 ,sin , 0 解得sin 因为0 或sin , 22 2，所以sin 33从而 22变式训练3.已知 , (0,)且sinβ?cosα,cos(α，β)( 2 (1)求证:tan sin2cos ; 1,sin2 (2)用tanβ表示tanα( 解:(1)?sin cos cos( , ) ?sin cos cos ,sin sin sin ?sin sin cos cos ,sin2 sin sin cos 1,sin2 ?tan sin cos tan 1,2tan2 (2)tan sin2 ,cos2 ,sin2 2 CA32例4.在?ABC中，若sinA?cos2，sinC?cos2,2sinB，求证:sinA，sinC,2 sinB( 证明:?sinA?cos2 ?1,cosC 2C2，sinC?cos21,cosA2A2,sinB 32，,sinB 3 2 ?sinA，sinC，sinA?cosC，cos,?sinC,3sinB ?sinA，sinC，sin(A，C),3sinB ?sin(A，C),sinB ?sinA，sinC,2sinB 变式训练4:已知sinθ，cosθ,2sinα，sinθ?cosθ,sin2β，求证:2cos2α,cos2β( 证明:(sinθ，cosθ)2 ,1，2sinθ?cosθ,4sin2α 将sinθ?cosθ,sin2β代入得1，2sin2β,4sin2α ?1，1,cos2β,2(1,cos2α) ?2cos2α,cos2β 1(证明三角恒等式的基本思路，是根据等式两端的特征通过三角恒等变换，应用化繁为简，左右归一，变更命题等方法使等式两端的“异”化为“同”( 2(条件等式的证明，注意认真观察，发现已知条件和求证等式之间的关系，选择适当的途径运用条件，从已知条件出发，以求证式为目标进行代数或三角恒等变形，逐步推出求证式( 3(对于高次幂，往往采用三角公式降次，再依求证式的要求论证( 第7课时 三角函数的图象与性质 1(用“五点法”作正弦、余弦函数的图象( “五点法”作图实质上是选取函数的一个 “平衡点”(由这五个点大致确定函数的位置与形状( 注:? 正弦函数的对称中心为 ，对称轴为 ( ? 余弦函数的对称中心为 ，对称轴为 ( ? 正切函数的对称中心为 ( 3(“五点法”作y,Asin(ωx， )(ω>0)的图象( 令x’,ωx， 转化为y,sinx’，作图象用五点法，通过列表、描点后作图象( ,(函数y,Asin(ωx， )的图象与函数y,sinx的图象关系( 振幅变换:y,Asinx(A>0，A?1)的图象，可以看做是y,sinx的图象上所有点的纵坐标都 ，(A>1)或 (0<A<1)到原来的倍(横坐标不变)而得到的( 周期变换:y,sinωx(ω>0，ω?1)的图象，可以看做是把y,sinx的图象上各点的横坐标 (ω>1)或 (0<ω<1)到原来的 倍(纵坐标不变)而得到的(由于y,sinx周期为2π，故y,sinωx(ω>0)的周期为 ( 相位变换:y,sin(x， )( ?0)的图象，可以看做是把y,sinx的图象上各点向 ( >0)或向 ( <0)平移 个单位而得到的( 由y,sinx的图象得到y,Asin(ωx， )的图象主要有下列两种方法: 或 说明:前一种方法第一步相位变换是向左( >0)或向右( <0)平移 个单位(后一种方法第二步相位变换是向左( >0)或向右( <0)平移 个单位( 例1.已知函数y,Asin(ωx， )(A>0，ω>0) ? 若A,3，ω,， ,,1 2 ，作出函数在一个周期内的简图( 3 2 ，当x,时，相位是，求ω和 ( 243? 若y表示一个振动量，其振动频率是 解:(1) y,3sin( x ,23)列表(略)图象如下: (2)依题意有: 2 4f 2 ? , 6 243 变式训练1:已知函数y=2sin(2x,), 3 (1)求它的振幅、周期、初相; (2)用“五点法”作出它在一个周期(1)y=2sin(2x,)的振幅A=2,周期T=3 2 = ，初相 =. 23 (2)令X=2x+ ,则y=2sin(2x,)=2sinX. 33 (3)方法一 把y=sinx的图象上所有的点向左平移 的横坐标缩短到原来的 个单位，得到y=sin(x,)的图象，再把y=sin (x,) 的图象上的点3331 倍(纵坐标不变)，得到y=sin(2x,)的图象，最后把y=sin(2x,)上所有点的纵坐标伸长到原来332 3的2倍(横坐标不变)，即可得到y=2sin(2x,)的图象. 方法二 将y=sinx的图象上每一点的横坐标x缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到y=sin2x 的图象; 再将y=sin2x的图象向左平移 个单位; 612得到y=sin2(x,)=sin(2x,)的图象;再将y=sin(2x,)的图象上每一点的横坐 标保持不变，纵坐标伸长为原来的2倍，633 得到y=2sin(2x,)的图象. 3 例2已知函数y=3sin(x,) 412 (1)用五点法作出函数的图象; (2)说明此图象是由y=sinx的图象经过怎么样的变化得到的; (3)求此函数的振幅、周期和初相; (4)求此函数图象的对称轴方程、对称中心. 解 (1)列表: 描点、连线,(2)方法一 “先平移，后伸缩”. 先把y=sinx的图象上所有点向右平移 到原来的2倍(纵坐标不变)，得到 y=sin(x,)的图象，最后将y=sin(x,)的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变)， 就得到4412 个单位，得到y=sin(x,)的图象;再把y=sin(x,)的图象上所有点的横坐标伸 长444 12 y=3sin(x,)的图象. 412 方法二 “先伸缩，后平移” 先把y=sinx的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到y=sinx的图 象;再把y=sinx图象上所有的点向右平移 1 21212 个单位， 2得到y=sin(x- 1 2 x x )=sin(,)的图象，最后将y=sin(,)的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍(横 坐标不变)，就24242得到y=3sin(x,)的图象. 4 (3)周期T=2 = 2 =4 ，振幅A=3，初相是-. 14 2 (4)令x,1 2 4= +k (k?Z), 2 得x=2k + 令3 (k?Z),此为对称轴方程. 21 x-=k (k?Z)得x=+2k (k?Z). 242 2对称中心为(2k ,,0) (k?Z). 3变式训练2:已知函数f(x) 3sin xcox x,cos2 x, ( R,x R)的最小正周期为π且图 象关于x 2 6对称; (1) 求f(x)的解析式; (2) 若函数y,1,f(x)的图象与直线y,a在[0,]上中有一个交点，求实数a的范围( 2 解:(1)f(x) 1,cos2wx3sin2wx,, 222 2sin2wx,1 2cos2wx,1 sin(2wx, 6),1 ?w?R T 2 2w w 1 当w,1时，f(x) sin(2x, ),1 此时x 66不是它的对称轴 ?w,,1 f(x) sin(,2x, ),1 1,sin(2x, 66) (2)y 1,f(x) sin(2x, 6) 0 x 2 6 2x, 6 7 6 如图:?直线y,a在[0, ] 上与 y,1,f(x)图象只有一个交点 ?,1 a 1或a 22,1 例3(如图为y=Asin( x+ )的图象的一段，求其解析式. 解 方法一 以N为第一个零 点， 则A=-3，T=2(5 6, 3)= ， ? =2，此时解析式为y=-sin(2x+ ). ?点N(, ,0)，?- 6×2+ =0，? = 63， 所求解析式为y=-sin(2x, 3). ? 方法二 由图象知A=， 以M( ,0)为第一个零点，P(5 36,0)为第二个零点. , 2 列方程组 3 0 解之得 2 . 5 6, ,3 ?所求解析式为y=3sin(2x,2 3). ? 变式训练3:函数y=Asin( x+ )( ,0,| |, 2,x?R)的部分图象如图，则函数表达式为( A. y=-4sin( x, 84) B. y=-4sin(8x,4) C. y=4sin( x, ) D. y=4sin( x 848,4) 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 B ) 例4(设关于x的方程cos2x，3sin2x,k，1在[0， 解:由cos2x， 即sin(2x， 6 ] 2sin(2x， k,1 2 6),k，1 ),k,12设c: y,sin(2x， 由图易知当 6)，l: y,，在同一坐标系中作出它们的图象(略) 1k,1 22,1时, 即0?k,1 时 对称.。故α，β, 63 ]2直线l与曲线c有两个交点，且两交点的横坐标为α、β，从图象中还可以看出α、β 关于x,34变式训练4.已知函数f (x),sin(ωx， )(ω>0，0? ?π)是R上的偶函数，其图 象关于点M(π，0)对称，且在区间[0， 上是单调函数，求 和ω的值( 解:由f (x)是偶函数，得f(,x),f (x)即sin(, x， ),sin( x， ) ?,cos sin x,cos sin x对任意x都成立，且 ,0， cos ,0 依题意设0? ?π ? , 2 由f(x)的图象关于点M对称， 得f(3 4,x),,f ( 3 43 4，x) 3 4取x,0得f ( ?f(3 4),,f () f (3 4),0 ),sin(3 3 ，),cos,0 244 又 ,0得 2 33 ,，kπ 24 ,(2k，1) (k,0，1，2……) 当k,0时， , f (x),sin(2 32x ,32)在[0， )在[0， 2 2]上是减函数; ]上是减函数; 当k,1时， ,2 f (x),sin(2x， 当k?2时， ? 2 3 210 f (x),sin( x,)在[0，]上不是减函数; 223? ,或 ,2 1(图象变换的两种途径 ? 先相位变换后周期变换 y,sinx y,sin(x， ) y,sin(ωx， ) ? 先周期变换后相位变换 y,sinx y,sinωx y,sinω (x， ) 2(给出图象求解析式y,Asin(ωx， )，B的难点在于ω、 的确定，本质为待定系数法， 基本方法是:? “五点法”运用“五点”中的一点确定( ? 图像变换法，即已知图象是由哪个函数的图象经过变换得到的，通常可由零点或最值 点确定T?ω( 第8课时 三角函数的性质 1(三角函数的性质 2(函数y,sinx的对称性与周期性的关系( ? 若相邻两条对称轴为x,a和x,b，则T, ( ? 若相邻两对称点(a，0)和(b，0) ， 则T, ( ? 若有一个对称点(a，0)和它相邻的一条对称轴x,b，则T, ( 注:该结论可 以推广到其它任一函数( 例1. 化简f (x),cos( 6k,16k,1 ,2x)，cos( ,2x)，2sin(，2x)(x?R，k?Z)(并求f (x)的值域和最小正周期( 333 解:(1) f(x) ,2sin(ax， )(0,a,1) 3 由于f(x)?g(x)最小正周期相同 得 2 , 即a,2m am 又f(1),2g(1) 即2sin(a，把a,2m代入得sin(2m， ),2tan(m，) 63 ),tan(m，) 63 sin(m, ) 6?2sin(m，)cos(m，), 66cos(m,)6 ?sin(m， 2),0或cos(m，), 662 ),0时，m,k ,(k?z)，这与0,m,1矛盾( 66 当sin(m，当cos(m， 5 2 ),时，m,k ，或m,k , (k?z)，现由0,m,1时得m,故a, 6b1212122 x，)，g(x),tan(x，) 66123 ?x，?2k ，得 2623 ?f(x),2sin( (2) 由2k , x?[12k,5，12k，1] ?f(x)的单调递增区间为[12k,5，12k，1] (k?z) 变式训练1:已知函数 f(x) 3sin(2x,),2sin2(x, 6 12 ) (x R); (1)求函数f(x)的最小正周期; (2)求使函数f(x)取得最大值的x的集合( 解:(1)f(x) sin2(x, 12 ),cos2(x, 12 ),1 ,2 3 1 sin2(x,),cos2(x,) ,1 12212 2 ,2sin 2(x, 12), ,1 2sin(2x,),1 6 3 ?T 2 2 (2)当f(x)取最大值时，sin(2x, 有2x, ),1 3 5 ,2k ， 即x,k ，(k?z) 3212 5 ,k z 12 故所求x的集合为 x|x k , 例2已知函数f (x),2sinx ,cos2x ? 求f (x)的定义域( ? 用定义判断f (x)的奇偶性( ? 在[,π，π]上作出函数f (x)的图象( ? 指出f (x)的最小正周期及单调递增区间( 解:(1) 由1，cos2x,0得2cos2x,0 ?cosx?0即x?kπ， 2，(k?z) 2?函数f (x)的定义域为{x,x?kπ，，k?z,} (2)?定义域关于原点对称，且对任意的定义域中x， f (,x),sin(,x) ,cos(,2x) ,sinx ,cos2x ,f(x) ?f (x)为奇函数. (3) f (x), 2sinx2cosx sinxcosx又x?[,π，π] 且x?,,x 2 2 tanx(, x ) 22?f(x), ,tanx(, x , 或 x ) 22 f (x)的图象如右: (4) 由图知，f(x)的最小正周期为2π( f (x)的单调递增区间是(, 2,2k , 2,2k )(k?z) 变式训练2:求下列函数的定义域: (1)y=lgsin(cosx);(2)y=sinx,cosx. 解 (1)要使函数有意义，必须使sin(cosx),0. ?-1?cosx?1,?0,cosx?1. 方法一 利用余弦函数的简图得知定义域为{x|- +2k ,x,+2k ,k?Z}. 22方法二 利用单位圆中的余弦线OM，依题意知0,OM?1, ?OM只能在x轴的正半轴上， ?其定义域为 x|,,2k x ,2k ,k Z . 22 (2)要使函数有意义，必须使sinx-cosx?0. 方法一 利用图象.在同一坐标系中画出,0,2 ,上y=sinx和y=cosx的图象，如图所示. 在,0，2 ,利用三角函数线， 如图MN为正弦线，OM为余弦线， 要使sinx?cosx,即MN?OM， 则 5 ?x?(在,0，2 ,sinx-cosx=2sin(x,)?0， 4 将x- 视为一个整体，由正弦函数y=sinx的图象和性质 4 ? +2k , 4可知2k ?x- 解得2k + 5 ?x?+2k ,k?Z. 44 所以定义域为 x|2kx, 4 x 5 ,2k ,k Ζ . 4 例3设函数f(x) sinax,3cosax(0 a 1)，g(x) tan(mx,)(0 m 1)，已知f(x)、g(x)的最小正周期相同，且2(g),f(1); 6 (1)试确定f(x)、g(x)的解的式; (2)求函数f(x)的单调递增区间( x解:(1)当a,1时，f(x),2cos2，sinx，b 2 , ?递增区间为[2kπ,2sin(x, 4),b,1 3 ,2k ,44](k?z) asin(x,(2)?f (x),a(sinx，cosx)，a，b, 而x?[0，π]，x， ?sin(x， 4 4 4),a,b ?[ 5 4,4] )?[, 2,1] 2 2a,a,b 3 ? 2 2a(,),a,b 42 ? a 1, b 4 变式训练3:已知函数f (x),log1(sinx,cosx) 2 ? 求它的定义域和值域; ? 求它的单调区间; ? 判断它的奇偶性; ? 判定它的周期性，如果是周期函数，求出它的最小正周期( 解:(1) 由题意得:sinx,cosx,0即 从而得2kπ， 42sin(x, 4),, ,x,2kπ，π 4，2k ，5 454函数的定义域为(2k ， ?0,sin(x, 4)(k?z) 2)?1 ?0,sinx,cosx? 2 1 2即log 1(sinx,cosx)?log 1 22,,故函数f (x)的值域为[,，，?] 412(2) ?sinx,cosx, [2k ， 4，2k ，3 42sin(x,)在f(x)的定义域上的单调递增区间为(2k ，3 5 ，2k ，44)(k?z)，单调递 减区间为](k?z) (3) ?f(x)的定义域在数轴上对应的点关于原点不对称( ?f(x)是非奇非偶函数( (4) ?f(x，2π),log 1[sin(x，2π),cos(x，2π)] 2 ,log 1 (sinx,cosx),f(x) 2 ?f (x)函数的最小正周期T,2π 例4.已知函数y,acosx，b的最大值为1，最小值是,3，试确定f(x),b sin(ax， 解:(1)若a,0，则a，b,1，,a，b,,3， ? a,2，b,,1，此时，f(x),,sin(2x， 单调增区间为[kπ， 单调减区间为[kπ, 7 ，kπ，] (k?z) 12125 ，kπ，] (k?z) 1212 )的单调区间( 3 ) 3 (2) 若a,0，则,a，b,1，a，b,,3， ? a,,2，b,,1， 单调增区间为[kπ, 单调减区间为[kπ， 5 ，kπ，] (k?z) 12125 11 ，kπ，] (k?z) 1212 变式训练4:某港口水的深度y y,f(t)，下面是某日水深的数据: 经过长期观察，y,f(t)的曲线可以近似地看成函数y,Asinωx，b的图象( (1)试根据以上数据，求出函数y,f(t)的近似表达式; (2)一般情况下，船底离海底的距离为5米或5米以上时认为是安全的(船舶停靠时，船底中需不碰海底即可)，某船吃水深度(船底离水面的距离)为6.5米，如果希望该船在一天sint? 662 5 ?t?2k ， 666解得2k ， 即12k，1?t?12k，5 k?z 在同一天或 13?t?17 ?该船最早能在凌晨1时进港，最迟下午17时出港，在港 三角函数的最值 1(一元二次函数与一元二次方程 一元二次函数与一元二次方程(以后还将学习一元二次不等式)的关系一直是高中数学函数这部分内容中的重点，也是高考必考的知识点(我们要弄清楚它们之间的对应关系:一元二次函数的图象与x轴的交点的横坐标是对应一元二次方程的解;反之，一元二次方程的解也是对应的一元二次函数的图象与x轴的交点的横坐标( 2(函数与方程 两个函数y f(x)与y g(x)图象交点的横坐标就是方程f(x) g(x)的解;反之，要求方程f(x) g(x)的解，也只要求函数y f(x)与y g(x)图象交点的横坐标( 3(二分法求方程的近似解 二分法求方程的近似解，首先要找到方程的根所在的区间(m,n)，则必有f(m) f(n) 0，再取区间的中点p m,n，2再判断f(p) f(m)的正负号，若f(p) f(m) 0，则根在区间(m,p)中;若f(p) f(m) 0，则根在(p,n)中;若f(p) 0，则p即为方程的根(按照以上方法重复进行下去，直到区间的两个端点的近似值相同(且都符合精确度要求)， 例1. 求下列函数的最值( ? y,sin2x sinx; 1,cosx ? y,2 cos( ? y ，x)，2cosx; 31,sinx( 3,cosx 1,cosx解:(1) y,2sinx cosx sinx 2cos2x,2cosx ,2(cosx,121),22 1 2? 当cosx,,时，ymin=, ? cosx?1 ? 函数y没有最大值。 (2) y,2cos( 3,x)+2cosx 12=2coscosx,2sinsinx,2cosx 33 =3cosx, =2sinx 6cos(x,) ),,1时，ymin,,23?当cos(x, 当cos(x, (3) 由y 6 6 ),1时，ymax,2 1,sinx得sinx,ycosx,3y,1 3,cosx ?y2,1sin(x, ),3y,1 (tan ,,y) ?|sin(x， )|?1 ?|3y,1|?y2,1 解得0?y? 故 y 3 41,sinx3的值域为[0，] 3,cosx4 注:此题也可用其几何意义在求值域( 变式训练1:求下列函数的值域: (1)y=sin2xsinx; 1,cosx (2)y=sinx+cosx+sinxcosx; (3)y=2cos(,x)+2cosx. 3 2sinxcosxsinx2cosx(1,cos2x)解 (1)y== 1,cosx1,cosx =2cos2x+2cosx=2(cosx,)-. 21 212 于是当且仅当cosx=1时取得ymax=4,但cosx?1, ?y,4，且ymin=-,当且仅当cosx=-时取 得. 故函数值域为 ,,4 . 1 21212 (2)令t=sinx+cosx,则有t2=1+2sinxcosx, t2,1即sinxcosx=. 2 有y=f(t)=t+t2,11=(t,1)2,1. 22 又t=sinx+cosx=2sin(x,)， 4 ?-2?t?2. 故y=f(t)= 1(t,1)2,1(-?t?2), 2 从而知:f(-1)?y?f(2),即-1?y?2+. 1 即函数的值域为 ,1,2, . 2 12 (3)y=2cos(,x)+2cosx 3 =2cos cosx-2sinsinx+2cosx 33 =3cosx-3sinx cosx,sinx =2 2 2 1 =2cos(x,). 6 ?cos(x,)?1 6 ?该函数值域为,-23，23,. 例2. 试求函数y,sinx，cosx，2sinxcosx，2的最大值与最小值，又若x [0,]呢, 2 解: 令t,sinx，cosx 则t?[,2，2] 又2sinx，cosx,(sinx，cosx)2,1,t2,1 ?y,t2，t，1,(t，)2，，显然ymax,3，2 若x?[0， 1 21234 ] 则t?[1，2] 234y,(t，)，在[1，2]单调递增( 当t,1即x,0或x, 当t,2即x, 时，y取最小值3( 2 时，y取最大值3，2( 4 变式训练2:求函数f(x) x,cosx(sinx,cosx) 3 x ,, 的最大值和最小值( 44 点拔:三角函数求最值一般利用三角变形求解，此题用常规方法非常困难，而用导数求最 值既方便又简单( 解:f(x),x,(sin2x，cos2x), ?f?(x),1，2sin(2x, ?x?[, ) 41212 3 3 5，] ?2x,?[,， ] 44444 2),, 42令f?(x),0 得sin(2x, ?x,0，, 3， 44 33 ),, f( ), 4444 3 4?f(0),,1，而f(,34?当x, 时，[f(x)]max, 当x,0时，[f(x)]min,,1 1例3. 已知sinx，siny,3，求siny,cos2x的最大值( 解:?sinx，siny, ?siny, 1 3131,sinx3 ?siny,cos2x,,sinx,(1,sin2x) ,,,sinx,sin2x ,(sinx,)2,1 211 1223 又?,1?siny?1 ?,1 2 31,sinx 1 3 而,1?sinx?1 ?,?sinx?1 ?当sinx,,时，siny,cos2x取得最大值。 变式训练3:在?ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若b2,ac，求y, 解:y,(sinB,cosB) sinB,cosB 223491,sin2B的取值范围( sinB,cosB2 sinB,cosB 2sin(B, 4) 又cosB,a ? 0,B? ? 1,2,c2,b2a2,c2,ac?1 22ac2ac 7 ?,B，? 44123sin(B， 4)? 即1,y?2 例4(设a?0，若y,cos2x,asinx，b的最大值为0，最小值为,4，试求a与b的值，并 求出使y取得最大、最小值时的x值( 解:原函数变形为 a2a2y,,(sinx,),1,b, 24 ?,1?sinx?1，a?0 ?若0?a?2，当sinx,,时 ymax,1，b，a,0 ? 42a2 当sinx,1a2a2时，ymin,,(1,),1,b,24 ,,a，b,,4 ? 联立??式解得a,2，b,-2 y取得最大、小值时的x值分别为: x,2kπ, 2(k?Z)，x,2kπ， a 2 2(k?Z) 若a,2时，?(1，，?) a2a2?ymax,,(1,),1,b, a,b,0 ? 24 ymin,,(1,)2,1,b,a 2a2 ,a,b ,4 ? 4 a 2由??得a,2时，而,1 (1，，?)舍去. 故只有一组解a,2，b,,2. 变式训练4:设函数f(x) cos2 x,sin xcos x,a(其中ω>0，a?R)，且f(x)的图象在y 轴右侧的第一个最高点的横坐标为 ( 6 (1)求ω的值; (2)如果f(x)在区间[,,3 5x6]的最小值为3，求a的值( 解:(1) f(x), ,sin(2 x，133cos x，sin2 x，，a 222 )，，a 32 依题意得2 ， 6 1,解得 , 322 )，，a 32(2) 由(1)知f(x),sin(2 x， 又当x? ,, 3 1 2 5 6 时，x， 7 ? 0, 3 6 故,?sin(x， )?1 3 6 12从而f(x)在 ,, 3 5 上取得最小值,，12，a 2因此，由题设知,，,1，a,故 a, 22 1(求三角函数最值的方法有:? 配方法;?化为一个角的三角函数;? 数形结合;? 换 元法;? 基本不等式法( 2(三角函数的最值都是在给定区间上取得的(因而特别要注意题设所给出的区间( 3(求三角函数的最值时，一般要进行一些三角变换以及代数换元，须注意函数有意义的 条件和弦函数的有界性( 4(含参数函数的最值，解题要注意参数的作用( 三角函数章节测 试题 中考模拟试题doc幼小衔接 数学试题 下载云南高中历年会考数学试题下载N4真题下载党史题库下载 一、选择题 1( 已知sinθ,，sin2θ,0，则tanθ等于 A(, B( C(,或 D( 3 43445343435( ) 2( 若0 x 2，则2x与3sinx的大小关系是 ( ) B(2x 3sinx A(2x 3sinx C(2x 3sinx D(与x的取值有关 3( 已知α、β均为锐角，若P:sinα<sin(α，β)，q:α，β< ，则P是q的( ) 2 A(充分而不必要条件 B(必要不充分条件 C(充要条件 D(既不充分也不必要条件 4( 函数y,sinx?,cotx,(0<x<π)的大致图象是 ( ) x x x x C D 5( 若f(sinx),3,cos2x，则f(cosx), ( ) A(3,cos2x B(3,sin2x C(3，cos2x D(3，sin2x 6( 设a>0，对于函数f(x) sinx,a sinx(0 x )，下列结论正确的是 A(有最大值而无最小值 B(有最小值而无最大值 C(有最大值且有最小值 D(既无最大值又无最小值 7( 函数f(x),,cos2x cosx ( ) A(在[0， 2]、 2, 上递增，在 ,3 2 、 3 2,2 上递减 B( 3 3 02 、 2 上递增，在 2, 、 2，2 上递减 C(在 、 3 2， 2，2 上递增，在 3 02 、 2 上递减 D(在 ,3 3 2 、 2,2 上递增，在 0 2 、 2, 上递减 8( y,sin(x, 12)?cos(x, 12)，正确的是 ( ) ) ( A(T,2π，对称中心为( B(T,π，对称中心为( ，0) 12 ，0) 12 ，0) 6C(T,2π，对称中心为( D(T,π，对称中心为( ，0) 6 ，再沿y轴向下平移1个单位，得到的曲线方程为 29( 把曲线y cosx，2y,1,0先沿 x轴向右平移( ) A((1,y)sinx，2y,3,0 B((y,1)sinx，2y,3,0 C((y，1)sinx，2y，1,0 D(,(y，1)sinx，2y，1,0 10(已知，函数y,2sin(ωx，θ)为偶函数(0,θ,π) 其图象与直线y,2的交点的横坐标为 x1，x2，若| x1,x2|的最小值为π，则 ( ) A(ω,2，θ, 1 2 1 2 2 2 4 B(ω,，θ,C(ω,，θ, D(ω,2，θ, 4 二、填空题 11(f (x),A sin(ωx， )(A>0, ω>0)的部分如图，则f (1) ，f (2)，…，f (11),. 3 12(已sin(,x),5，则sin2x的值为 。 4 13(f(x) sinx,2sinx,x [0,2 ]的图象与直线y,k有且仅有两个不同交点，则k的取值范围是 2,cot2 14(已知,1，则(1，sinθ)(2，cosθ), 。 1,sin 15(平移f (x),sin(ωx， )(ω>0，, ? 图象关于x, ?图象关于点( ? 周期是π ? 在[, ，0]上是增函数 6 < <)，给出下列4个论断: 22 对称 12 ，0)对称 3 以其中两个论断作为条件，余下论断为结论，写出你认为正确的两个命题: ( 三、解答题 sin2 ,cos2 116(已知tan(, ) ，(1)求tan 的值;(2)求的值( 421,cos2 17(设函数f(x) (,)，其中a,(sinx,,cosx)，,(sinx,,3cosx)，,(,cosx,sinx)，x?R;(1) 求函数f(x)的最大值和最小正周期; (2) 将函数y,f(x)的图象按向量平移，使平移后的图象关于坐标原点成中心对称，求||最小的( 18(在?ABC中，sinA(sinB，cosB),sinC,0，sinB，cos2C,0，求角A、B、C的大小( 19(设f (x),cos2x，2sinxcosx的最大值为M，最小正周期为T( ? 求M、T( ? 若有10个互不相等的函数xi满足f (xi),M，且0<xi<10π，求x1，x2，…，x10的值( 20(已知f (x),2sin(x， 2)cos(x， 2)，2cos2(x， 2),。 ? 化简f (x)的解析式。 ? 若0?θ?π，求θ使函数f (x)为偶函数。 ? 在?成立的条件下，求满足f (x),1，x?[,π，π]的x的集合。 21(已知函数f(x),2cos2x，2sinx cosx，1. (1) 若x?[0，π]时，f(x),a有两异根，求两根之和; (2) 函数y,f(x)，x?[ 7 6，6]的图象与直线y,4围成图形的面积是多少, 三角函数章节测试题参考答案 1. A 2. D 3. B 4. B 5. C 6. B 7. A 8. B 9.C 10.A 11. 2，22 12.7 25 13. 1,k,3 14. 4 15. (1) ?? ?? (2) ?? ?? 16(解:(1) tan( 解得tan ,, (2) ,sin2 ,cos2 2sin cos ,cos2 1,cos2 1,2cos2 ,12sin ,cos 15 tan , , 2cos 26 1,tan 1， ),, 41,tan 213 17. 解:(1)由题意得f(x), (,) ,(sinx，,cosx)?(sinx,cosx，sinx,3cosx) ,sin2x,2sinxcosx，3cos2x ,2，cos2x,sin2x ,2，2sin(2x，3 ) 4 2 2故f(x)的最大值2，2，最小正周期为 (2) 由sin(2x， 即x,3 3 ),0得2x，,k 44k 3 ,，k?z 28 3 k ,，,2) 82 2于是,(k 3 ,||, ,4 (k?z) 8 2 因为k为整数，要使| d |最小，则只有k,1，此时,(, 18(? sinA(sinB，cosB),sinC,0 ? sinA sinB，sinA cosB,sinA cosB，cosA sinB ? sinB > 0 sinA,cosA，即tanA, 1 又0 < A<π ? A, 3 ，从而C,,B 44 3 ,B),0 4 ，,2)为所示( 8由sinB，cos2C,0，得sinB，cos2( 即sinB(1,2cosB),0 ?cosB, B,1 25 C, 123 19(f(x),2sin(2x， (1) M,2 T,π ) 6 (2) ?f(xi),2 ? sin(2xi， 2xi， ),1 6 ,2kπ， xi,2kπ， (k?z) 266 又0 < xi<10π ? k,0, 1, 2,…9 ? x1，x2，…，x10,(1，2，…，9)π，10× ,140π 3 6 20(解:(1) f (x),sin(2x，θ)，cos(2x，θ) ,2sin(2x，θ， 3) (2) 要使f (x)为偶函数，则必有f (,x),f (x) ? 2sin(,2x，θ， 3),2sin(2x，θ， 3) ? 2sin2x cos(θ， 3),0对x?R恒成立 ? cos(θ， 3),0又0?θ?π θ, 6 (3) 当θ, 6时f (x),2sin(2x， 2),2cos2x,1 ?cos2x,1 ?x?[,π，π] ?x,, 23或 3 21(f(x),2sin(2x， 6)，2 由五点法作出y,f(x)的图象(略) (1) 由图表知:0,a,4，且a?3 当0,a,3时，x1，x2,4 3 当3,a,4时，x1，x2, 3 (2) 由对称性知，面积为1 2(7 6, 6)×4,2π. 五年高考荟萃 2009年高考题 一、选择题 1.(2009海南宁夏理，5).有四个关于三角函数的命题: px 1:,x R, sin22+cos2x2=1 2 p2: ,x、y R, sin(x-y)=sinx-siny p3: ,x 0, =sinx p: sinx=cosy x+y= 42 其中假命题的是 A(p1，p4 B.p2，p4 C.p1，p3 D.p2，p4 答案 A 2..(2009辽宁理，8)已知函数f(x)=Acos( x, )的图象如图，f( ) ,2 23，则f(0)=( ) A.,22 3 B. 3 C.- 1 2 D.1 2 答案 C 3.(2009辽宁文，8)已知tan 2，则 sin2 ,sin cos ,2cos2 ( ) A.,4 5 3 B.4 C.,3 4 答案 D 4.(2009全国I文，1)sin585?的值为 D.45 A. 答案 A 1,则tan(a+ )= ( ) 3 7777A. B., C. D. , 111113135.(2009全国I文，4)已 知tana=4,cot = 答案 B 12， 则cosA 5 125512 A. B. C., D. , 13131313 12 解析:已知 ABC中，cotA ,， A (, ). 526.(2009全国II文，4) 已知 ABC中，cotA , cosA ,12 故选D. 13 7.(2009全国II文，9)若将函数y tan( x, 图像重合，则 的最小值为( ) A. 4)( 0)的图像向右平移 个单位长度后，与函数y tan( x,)的661111 B. C. D. 243 6 答案 D 8.(2009北京文)“ 6”是“cos2 1”的 2 A( 充分而不必要条件 B(必要而不充分条件 C( 充分必要条件 D(既不充分也不必要条件 答案 A 解析 本题主要考查本题主要考查三角函数的基本概念、简易逻辑中充要条件的判断. 属于基础知识、基本运算的考查. 当 6时，cos2 cos 3 11 ，反之，当cos2 时，2 2k , k ,,k Z,， 2236 或2 2k , 3 k , 6,k Z,，故应选A. 1”的 ( ) 29.(2009北京理)“ 6,2k (k Z)”是“cos2 A(充分而不必要条件 B(必要而不充分条件 C(充分必要条件 D(既不充分也不必要条件 答案 A 解析 本题主要考查三角函数的基本概念、简易逻辑中充要条件的判断. 属于基础知识、基本运算的考查. 当 1 ,2k (k Z)时，cos2 cos 4k , cos 63 32 1 时，有2 2k , k ,,k Z,， 236 k ,反之，当cos2 或2 2k , 3 6,k Z,，故应选A. 12，则cosA 510.(2009全国卷?文)已知?ABC中，cotA , A. 125512 B. C. , D. , 13131313 答案:D 12知A为钝角，cosA<0排除A和B，再由5 cosA1212cotA ,,和sin2A,cos2A 1求得cosA ,选D sinA513 11.(2009四川卷文)已知函数f(x) sin(x,)(x R)，下面结论错误的是 ((2解析:本题考查同角三角函数关系应用能力，先由cotA=, A. 函数f(x)的最小正周期为2 B. 函数f(x)在区间,0， ,上是增函数 2 C.函数f(x)的图象关于直线x,0对称 D. 函数f(x)是奇函数 答案 D 解析?f(x) sin(x, 2) ,cosx，?A、B、C均正确，故错误的是D 12， 则cosA ( ) 5 512C., D. , 1313【易错提醒】利用诱导公式时，出现符号错误。 12.(2009全国卷?理)已知 ABC中，cotA ,A. 12 13B.5 13 解析:已知 ABC中，cotA ,12 ， A (, ). 52 cosA ,12 故选D. 13 答案 D 13.(2009湖北卷文)“sin =11”是“cos2 ”的 ( ) 22 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 A 解析 由cos2a 111122可得sina ，故sina 是sina 成立的充分不必要条件，故选A. 2224 14.(2009重庆卷文)下列关系式中正确的是( ) A(sin11 cos10 sin168 B(sin168 sin11 cos10 C(sin11 sin168 cos10 D(sin168 cos10 sin11 答案 C 解析 因为sin160 sin(180,12) sin12,cos10 cos(90,80) sin80，由于正弦函数y sinx在区间 000000000000 [0 ,90 ]上为递增函数，因此sin11 sin12 sin80 ，即sin11 sin160 cos10 15.(2009海南宁夏理，5).有四个关于三角函数的命题: p1:,x R, sin2p3: ,x 0, 其中假命题的是 x12x+cos= p2: ,x、y R, sin(x-y)=sinx-siny 222 =sinx p4: sinx=cosy x+y= 2A(p1，p4 B.p2，p4 C.p1，p3 D.p2，p4 答案 A 16..(2009辽宁理，8)已知函数f(x)=Acos( x, )的图象如图所示，f() , 22，则f(0)=( ) 3 A.,221 B. C.- 332D.1 2答案 C 2217.(2009辽宁文，8)已知tan 2，则sin ,sin cos ,2cos ( ) A.,4 3 B.5 4 C.,34 D. 45 答案 D 18((2009全国I文，1)sin585?的值为 A. , C., D. 2222 答案 A 1,则tan(a+ )= ( ) 3 7777A. B., C. D. , 1111131319(.(2009全国I文，4)已知tana=4,cot = 答案 B 12， 则cosA 5 125512 A. B. C., D. , 13131313 12 解析:已知 ABC中，cotA ,， A (, ). 5220.(2009全国II文，4) 已知 ABC中，cotA , cosA ,12 故选D. 13 21.(2009全国II文，9)若将函数y tan( x, 图像重合，则 的最小值为( ) A. 4)( 0)的图像向右平移 个单位长度后，与函数y tan( x,)的661111 B. C. D. 243 6 答案 D 22.(2009北京文)“ 6”是“cos2 1”的 2 A( 充分而不必要条件 B(必要而不充分条件 C( 充分必要条件 D(既不充分也不必要条件 答案 A 解析 本题主要考查三角函数的基本概念、简易逻辑中充要条件的判断. 属于基础知识、基本运算的考查. 当 6时，cos2 cos 3 11 ，反之，当cos2 时，2 2k , k ,,k Z,， 2236 或2 2k , 3 k , 6,k Z,，故应选A. 1”的 ( ) 223.(2009北京理)“ 6,2k (k Z)”是“cos2 A(充分而不必要条件 B(必要而不充分条件 C(充分必要条件 D(既不充分也不必要条件 答案 A 解析 本题主要考查三角函数的基本概念、简易逻辑中充要条件的判断. 属于基础知识、基本运算的考查. 当 1 ,2k (k Z)时，cos2 cos 4k , cos 63 32 1 时，有2 2k , k ,,k Z,， 236 k ,反之，当cos2 或2 2k , 3 6,k Z,，故应选A. 12，则cosA 5 125512A. B. C. , D. , 1313131324.(2009全国卷?文)已知?ABC中，cotA , 答案:D 12知A为钝角，cosA<0排除A和B，再由5 cosA1212cotA ,,和sin2A,cos2A 1求得cosA ,选D sinA513 25.(2009四川卷文)已知函数f(x) sin(x,)(x R)，下面结论错误的是 ((2解析:本题考查同角三角函数关系应用能力，先由cotA=, A. 函数f(x)的最小正周期为2 B. 函数f(x)在区间,0， ,上是增函数 2 C.函数f(x)的图象关于直线x,0对称 D. 函数f(x)是奇函数 答案 D 解析?f(x) sin(x, 2) ,cosx，?A、B、C均正确，故错误的是D 12， 则cosA ( ) 5 512C., D. , 1313【易错提醒】利用诱导公式时，出现符号错误。 26.(2009全国卷?理)已知 ABC中，cotA ,A. 12 13B.5 13 解析:已知 ABC中，cotA ,12 ， A (, ). 52 cosA ,12 故选D. 13 答案 D 27.(2009湖北卷文)“sin =11”是“cos2 ”的 ( ) 22 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 A 解析 由cos2a 111122可得sina ，故sina 是sina 成立的充分不必要条件，故选A. 2224 28.(2009重庆卷文)下列关系式中正确的是( ) A(sin11 cos10 sin168 B(sin168 sin11 cos10 C(sin11 sin168 cos10 D(sin168 cos10 sin11 答案 C 解析 因为sin160 sin(180 ,12 ) sin12 ,cos10 cos(90 ,80 ) sin80 ，由于正弦函数y sinx在区间000000000000 [0 ,90 ]上为递增函数，因此sin11 sin12 sin80 ，即sin11 sin160 cos10 二、填空题 30.(2009北京文)若sin , 答案 ,4,tan 0，则cos 53 5 解析 本题主要考查简单的三角函数的运算.属于基础知识、基本运算的考查. 33由已知， 在第三象限，?cos ,，?应填,. 5531.(2009湖北卷理)已知函数f(x) f’()cosx,sinx,则f()的值为 . 44 答案 1 解析 因为f’(x) ,f’() sinx,cosx所以f’() ,f’() sin 4444, cos 4 f’() 1故f() f’()cos,sin f() 1 444444 三、解答题 32(2009江苏，15)设向量a (4cos ,sin ),b (sin ,4cos ),c (cos ,,4sin ) (1)若a与b,2c垂直，求tan( , )的值; (2)求|b,c|的最大值; (3)若tan tan 16，求证:a?b. 分析 本小题主要考查向量的基本概念，同时考查同角三角函数的基本关系式、二倍角的正弦、两角和的正弦与余弦公式， 考查运算和证明得基本能力 33.(2009广东卷理)(本小题满分12分) 已知向量 (sin ,,2)与 (1,cos )互相垂直，其中 (0, (1)求sin 和cos 的值; (2 )若sin( , ) 2)( ，求cos 的值( 2 22解:(1)?a与b互相垂直，则a b sin ,2cos 0，即sin 2cos ，代入sin ,cos 1 得 sin 25，又 (0,)， ,cos 255 2. ,cos 55?sin (2)?0 2，0 2，?, 2 , 2，则cos( , ) ,sin( , ) 23， 10 ?cos cos[ ,( , )] cos cos( , ),sin sin( , ) 34.(2009安徽卷理)在 ABC中，sin(C,A) 1, sinB= (I)求sinA的值; (II)设 ，求 ABC的面积. 2. 21. 3 本小题主要考查三角恒等变换、正弦定理、解三角形等有关知识，考查运算求解能力 (?) 由C,A B BBB，且C,A ,B，?A , ，?sinA sin(,) ,sin)， 24242222 C 112?sinA (1,sinB) ，又sinA 0，?sinA 233 ACBC (?)如图，由正弦定理得 sinBsinAA B ?BC ACsinA sinB3 sinC sin(A,B) sinAcosB,cosAsinB 1 311AC BC sinC 223?S ABC 35.(2009天津卷文)在 ABC中，BC ,AC 3,sinC 2sinA (?)求AB的值。 (?)求sin(2A, 4)的值。 ABBCBC 2BC 2 ，于是AB sinCsinCsinAsinA(1)解:在 ABC 中，根据正弦定理， AB2,AC2,BC2 (2)解:在 ABC 中，根据余弦定理，得cosA 2AB AC 于是sinA ,cos2A=， 5 43,cos2A cos2A,sin2A 55从而sin2A 2sinAcosA 2 sin(2A,) sin2Acos,cos2Asin 44410 【考点定位】本题主要考查正弦定理，余弦定理同角的三角函数的关系式，二倍角的正弦和余弦，两角差的正弦等基础知识，考查基本运算能力 36.(2009四川卷文)在 ABC中，A、B为锐角，角A、B、C所对的边分别为a、b、 c，且sinA (I)求A,B的值; (II )若a,b B 5101，求a、b、c的值。 B 解(I)?A、 B为锐角，sinA ? cosA B , 5105102cos(A,B) cosAcosB,sinAsinB ? 0 A,B ? A,B 4 „„„„„„„„„„„„„„„„6分 (II)由(I)知C 由3 ，? sinC 42abc 得 sinAsinBsinC ，即a,c 又? a,b 1 ? ,b 1 ? b 1 ? ac „„„„„„„„„„„„„„„„12分 37.(2009湖南卷文)已知向量a (sin ,cos ,2sin ),b (1,2). (?)若a//b，求tan 的值; (?)若|a| |b|,0 ,求 的值。 解:(?) 因为a//b，所以2sin cos ,2sin , 于是4sin cos ，故tan 1. 4 (?)由|a| |b|知，sin2 ,(cos ,2sin )2 5, 所以1,2sin2 ,4sin 5. 从而,2sin2 ,2(1,cos2 ) 4，即sin2 ,cos2 ,1， 2 于是sin(2 , 所以2 , 4) 9 又由0 知， 2 , ， 4445 7 ，或2 , . 4444 3 . 因此 ，或 42 38.(2009天津卷理)在?ABC中， AC=3，sinC=2sinA (I) 求AB的值: (II) 求sin 2A, 的值 4 本小题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦与余弦、 两角差的正弦等基础知识，考查基本运算能力。满分12分 (?)解:在?ABC中，根据正弦定理， 于是AB=sinCBC 2BC 2 sinAABBC sinCsinA AB2,AC2,BD225(?)解:在?ABC中，根据余弦定理，得cosA= 2AB AC5 于是 sinA=,cos2A 从而sin2A=2sinAcosA= 所以 sin(2A- 54322,cos2A=cosA-sinA= 55 2)=sin2Acos-cos2Asin= 44410 39.(2009广东卷理)(本小题满分12分) 已知向量a (sin ,,2)与b (1,cos )互相垂直，其中 (0, (1)求sin 和cos 的值; (2 )若sin( , ) 2)( ，求cos 的值( 102 22解:(1)?a与b互相垂直，则a b sin ,2cos 0，即sin 2cos ，代入sin ,cos 1 得 sin 25，又 (0,)， ,cos 255 2. ,cos 55?sin (2)?0 2，0 2，?, 2 , 2，则cos( , ) ,sin( , ) 23， 10 ?cos cos[ ,( , )] cos cos( , ),sin sin( , ) 40.(2009安徽卷理)在 ABC中，sin(C,A) 1, sinB= (I)求sinA的值; (II)设 ，求 ABC的面积. 2. 21. 3 本小题主要考查三角恒等变换、正弦定理、解三角形等有关知识，考查运算求解能力。 (?) 由C,A B BBB，且C,A ,B，?A , ，?sinA sin(,) ,sin)， 24242222 C 11?sinA (1,sinB) ，又sinA 0，?sinA 232 ACBC (?)如图，由正弦定理得 sinBsinAA B ?BC ACsinA sinB1 3 sinC sin(A,B) sinAcosB, cosAsinB 1 3311AC BC sinC 22?S ABC 41.(2009天津卷文)在 ABC中，BC ,AC 3,sinC 2sinA (?)求AB的值。 (?)求sin(2A, 4)的值。 (1)解:在 ABC 中，根据正弦定理，ABBCBC 2BC 2 ，于是AB sinCsinCsinAsinA AB2,AC2,BC2 (2)解:在 ABC 中，根据余弦定理，得cosA 2AB AC 于是sinA ,cos2A=5， 5 43,cos2A cos2A,sin2A 55从而sin2A 2sinAcosA 2 sin(2A,) sin2Acos,cos2Asin 44410 【考点定位】本题主要考查正弦定理，余弦定理同角的三角函数的关系式，二倍角的正弦和余弦，两角差的正弦等基础知识，考查基本运算能力。 42.(2009四川卷文)在 ABC中，A、B为锐角，角A、B、C所对的边分别为a、b、 c，且sinA (I)求A,B的值; (II )若a,b B 1，求a、b、c的值。 B 510解(I)?A、 B为锐角，sinA ? cosA B 2cos(A,B) cosAcosB,sinAsinB ? 0 A,B ? A,B 4 „„„„„„„„„„„„„„„„6分 (II)由(I)知C 由3 ，? sinC 42abc 得 sinAsinBsinC ，即a,c 又? a,b 1 ? ,b 1 ? b 1 ? ac „„„„„„„„„„„„„„„„12分 43.(2009湖南卷文)已知向量a (sin ,cos ,2sin ),b (1,2). (?)若a//b，求tan 的值; (?)若|a| |b|,0 ,求 的值。 解:(?) 因为a//b，所以2sin cos ,2sin , 于是4sin cos ，故tan 1. 4 (?)由|a| |b|知，sin2 ,(cos ,2sin )2 5, 所以1,2sin2 ,4sin 5. 从而,2sin2 ,2(1,cos2 ) 4，即sin2 ,cos2 ,1， 2 于是sin(2 , 所以2 , 4) 9 又由0 知， 2 , ， 4445 7 ，或2 , . 4444 3 . 因此 ，或 42 44.(2009天津卷理)在?ABC中， AC=3，sinC=2sinA (I) 求AB的值: (II) 求sin 2A, 的值 4 本小题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦与余弦、两角差的正弦等基础知识，考查基本运算能力。满分12分。 (?)解:在?ABC中，根据正弦定理， 于是AB=sinCBC 2BC 2 sinAABBC sinCsinA AB2,AC2,BD225(?)解:在?ABC中，根据余弦定理，得cosA= 2AB AC5 于是 sinA=,cos2A 从而sin2A=2sinAcosA= 所以 sin(2A- 54322,cos2A=cosA-sinA= 55 2)=sin2Acos-cos2Asin= 44410 2005—2008年高考题 一、选择题 1.(2008山东)已知a，b，c为?ABC的三个 ) A( 答案 C 解析 本小题主要考查解三角形问题.ππ63B(2ππ 36C( ππ36D( ππ33A,sinA 0， A 3; sinAcosB,sinBcosA sin2C, sinAcosB,sinBcosA sin(A,B) sinC sin2C， C 2. B π 6.选C. 本题在求角B时,也可用验证法. 2.(2008海南、宁夏)3,sin70 2,cos210 ( ) A(1 2 B ( C(2 D 2答案 C 解析 3,sin703,cos203,(2cos220 2,cos210 2,cos210 ,1) 2,cos210 2，选C 3.(2007北京)已知cos tan 0，那么角 是( ) ,(第一或第二象限角 ,(第 二或第三象限角 ,(第三或第四象限角 ,(第一或第四象限角 答案 C 4.(2007 ) A(2sin15cos15 B(cos215,sin215 C(2sin215,1 D(sin215,cos215 答案 B 5.(2007江西)若tan 3，tan 4 3，则tan( , )等于( ) ,(,3 ,(,1 3 ,(3 ,(1 3 答案 D 6.(2007全国I) 是第四象限角，tan ,5 12，则sin ( ) A(1 5 B(,1 5 C(5 13 D(,5 13 答案 D 7.(2006福建)已知 ( 2, ),sin 3,则 tan( , 等于 ( ) A. 1 B.7 C. ,154) 7 D.,7 答案7 A 8.(2006年湖北)若?ABC的 B. ,3 C. 3 D. ,3 答案 A 9.(2005全国III)已知 为第三象限角，则 2所在的象限是 A(第一或第二象限 B.第二或第三象限 ) C.第一或第三象限 D.第二或第四象限 答案 D 10.(2005全国I)在 ABC中，已知tan ?tanA cotB 1 A,B sinC，给出以下四个论断: 2?0 sinA,sinB 2 ?sin2A,cos2B 1 ? cos2A,cos2B sin2C 其中正确的是( ) A.?? B.?? 答案 B 二、填空题 C.?? D.?? 11.(2008山东)已知a，b，c为?ABC的三个 12.(2007北京)2002年在北京召开的国 际数学家大会，会标是以我国古代的(弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的 一个大正方形为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为 ，那么cos2 答案 7 25 13.(2006年上海春卷)在?ABC中，已知BC 8, 答案 AC 5，三角形面积为12，则cos2C 7 25 三、解答题 1x,)， 14.(2008 北京)已知函数f(x) cosx (1)求f(x)的定义域; (2)设 是第四象限的角，且tan , 4，求f( )的值. 3 解:(1)依题意，有cosx 0，解得x k ， 即f(x)的定义域为,x|x R，且x k ， ， 2 ，k Z, 2 1x,),,2sinx，2cosx f( ),,2sin ，2cos (2 )f(x) cosx 由 是第四象限的角，且tan , f( ),,2sin ，2cos ,443可得sin ,,，cos , 35514 5 15.(2008江苏)如图，在平面直角坐标系xoy中，以ox轴为始边做两个锐角 , ，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知A，B 的横坐标分别为 105 (1) 求tan( , )的值; (2) 求 ,2 的值 解 本小题考查三角函数的定义、两角和的正切、二倍角的正切公式。由条件 得cos ， 为锐角， 。同理可得sin ， 1。 2故sin 0且 sin 因此tan 7,tan 1 tan ,tan =-3 (1)tan( , ) 1,tan tan 1,7 1 2 1,3,=-1， (2)tan( ,2 ) tan[( , ), ] 1,(,3) 2 3 3 0 ,0 , 0 ,2 ，从而 ,2 。 22247, 16.(2007安徽)已知0 1 ， 为f(x) cos 2x, 的最小正周期， a tan , ，2)， b (cos ，,1 ， 4 2cos2 ,sin2( , )?b m(求且a的值( cos ,sin 解:因为 为f(x) cos 2x, π 的最小正周期，故 π( 8 1 ,2( 4 ?b m，又a因a?b cos ?tan , 故cos ?tan , 由于0 1 m,2( 4 π，所以 4 2cos2 ,sin2( , )2cos2 ,sin(2 ,2π) cos ,sin cos ,sin 2cos2 ,sin2 2cos (cos ,sin ) cos ,sin cos ,sin 2cos 1,tan π 2cos ?tan , 2(2,m) 1,tan 4 ABC 三 三角形 A,B,C 且m n 1 (?)求角A; ,1,sin2B ,322cosB,sinB(?)若，求tanB 解:(?)?m n 1 ?,, ,cosA,sinA, 1 A,cosA 1 1 1 2 sinAcosA 1 sinA, 2 6 2 , 0 A ,, ? 6 A, 6 5 A, A 6 ?66 ?3 1,2sinBcosB ,32222sinB,sinBcosB,2cosB 0 cosB,sinB (?)由题知，整理得 ?cosB 0 ?tanB,tanB,2 0 ?tanB 2或tanB ,1 而tanB ,1使cosB,sinB 0，舍去 ?tanB 2 222 tanA,tanB tanC tan ,,A,B, ,tan,A,B, , 1,tanAtanB ?