可分解的高次不等式的解法.doc
可分解的高次不等式的解法
浙江省诸暨市学勉中学(311811) 郭天平
解不等式是初等数学重要内容之一，高中数学常出现高次不等式，通常解法是化为不等式组或者用列
表
关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf
法或者用数轴标根法求解。本文通过不同解法的比较，来说明“数轴标根法”在求解一类可分解的高次不等式独特之处。
例1 解不等式 ，，，，，，x，3x,2x,4,0
x，3,0x，3,0,, 解法一:原不等式可化为或 ,,，，，，，，，，x,2x,4,0x,2x,4,0,,
x,,3x,,3,,,3,x,2x,4即或，即或 ,,x,2或x,42,x,4,,
?原不等式的解集为 ,,x|,3,x,2或x,4
【评注】 此种方法的本质是分类讨论，强化了“或”与“且”，进一步渗透了“交”与“并”的思想方法。
解法二:不等式(或方程)有三个零点，-3，2，4，先在数轴上标出零点，这些零点把数轴分成了若干个区间。
x -3 2 4
针对这些区间，逐一讨论各因式的符号，情况列表如下:
，，，，，，，，，，，，x，3x,2x,4x，3x,2x,4因 子
+ + + + x,4当时
+ + - - 2,x,4当时
+ - - + ,3,x,2当时
- - - - x,,3当时
,,，，，，，，从上表可看出x，3x,2x,4,0的解集为x|,3,x,2或x,4
解法三:先在数轴上标出零点(标出根)。
根标出来后，不是分区间进行验证讨论，而是
+ + x —-3 2 4 —，，，，，，直接标出综合因式x，3x,2x,4的正负号
— —
,,(如上图)，再根据题目要求，直接写出解集为x|,3,x,2或x,4
【评注】这种方法常称为是“数轴标根法”，有些
书
关于书的成语关于读书的排比句社区图书漂流公约怎么写关于读书的小报汉书pdf
上称为是“串针引线法”。这种方
1
法的本质是“列表讨论法”的简化及提炼。这样的“线”也可看成是函数
的图象草图。(y轴未画) ，，，，，，y,x，3x,2x,4
通过上述三种方法的比较，我们不难看出，用“数轴标根法”来解可分解的高次不等式直观又简单。具体方法步骤如下:
，，?将不等式等价化为„形式，并将各因式的系数x,x,0(,0)，，，，x,xx,xxn12
化“+”;(为了统一方便)
，，?求出对应方程„x,x,0的根(或称零点)，并在数轴上表示出，，，，x,xx,xn12
来;
?由右上方穿线，经过数轴上表示各根的点，但要注意“奇穿偶不穿”(“奇穿偶不穿”
n，，x,x是指当左侧有相同因式时，为奇数时，曲线在点处穿过数轴;为偶，，fxxnn11
数时，曲线在点处不穿过数轴) x1
,0?若不等式(的系数化“+”后)是“”,则找“线”在x轴上方的区间;若不x
,0等式是“”,则找“线”在x轴下方的区间.
23，，，，，，x,2x,3x，1,0例2 解不等式
解析 ?检查各因式中x的符号均正;
?求得相应方程的根为:-1，2，3(注意:2是二重根，3是三重根);
?在数轴上表示各根并穿线，每个根穿一次(自右上方开始)，如下图:
，，，，??原不等式的解集为,1,2:2,3
【评注】?3是三重根，?在C处来回穿三次，?2是二重根，?在B处穿两次，结果相当于没穿. 若些不等式若带“=”号，点画为实心，解集边界处应有等号;另外，线虽
x,2不穿2点，但满足“=”的条件，不能漏掉.
2x,3x,4,0例3 解不等式 ，，，，xx,2x，3
2
2解析 先将原不等式等价化为不等式，，，，且，，x,3x,4xx,2x，3,0
， x,,3,x,0,x,2
即且，用“数轴标根法” ，，，，，，，，xx,2x，3x，1x,4,0x,,3,x,0,x,2
-3 -1 0 2 4 x
?原不等式的解是 ，，，，,,,,3:,,1,0:2,4,
【评注】在不等式时我们应该考虑不等式左式的定义域，也就是在标根时要注意根的取舍，否则会产生增根或失根的误解.
2，，例4 解关于的不等式:，，x,x，12x，a,0. x
解析 此不等式是含
参数
转速和进给参数表a氧化沟运行参数高温蒸汽处理医疗废物pid参数自整定算法口腔医院集中消毒供应
的高次不等式，是不等式对应方程的其中一根，但x,,aa
对它的位置我们无法确定，因此要对的所处位置进行讨论 a
?将二次项系数化“+”并分解为:; ，，，，，，x,4x，3x，a,0?相应方程的根为:; ,3,4,,a
?讨论:
,a,4a,,4?)当，即时，各根在数轴上的分布及穿线如下:
?原不等式的解集为，，，，. ,3,4:,a,，,
,3,,a,4,4,a,3?)当，即时，各根在数轴上的分布及穿线如下:
?原不等式的解集为，，，， ,3,,a:4,，,
,a,,3a,3?)当，即时，各根在数轴上的分布及穿线如下:
3
?原不等式的解集为 ，，，，,a,,3:4,，,
0?)当，即时，各根在数轴上的分布及穿线如下: ,a,4a,4
?原不等式的解集为 ，，,3,，,
?)当,a,,3，即a,3时，各根在数轴上的分布及穿线如下:
?原不等式的解集为。 ，，4,，,
a,,4综上所得，当时，原不等式的解集为; ，，，，,3,4:,a,，,,4,a,3当时，原不等式的解集为; ，，，，,3,,a:4,，,
a,3当时，原不等式的解集为; ，，，，,a,,3:4,，,
a,4当时，原不等式的解集为，，; ,3,，,
a,3当时，原不等式的解集为，，。 4,，,
【评注】此题意在于让大家熟练用“数轴标根法”解高次不等式，培养分类讨论的思
a,3a,4想，题中对当与时这两种情况，不少同学容易漏解，不加以讨论。
4
浙公网安备 33021202002483