3-8.曲率及其应用一、正文编写思路及特点:
思路:首先复习弧微分的相关知识,然后导出曲率概念。
特点:通过介绍生活中的实际现象,引出“弯曲程度”这一概念,使得抽象概念具体化,学生更容易接受。
二、授课部分
(一)复习引入
曲线的弧微分和曲线的凹凸性(弯曲方向)
(二)新课讲授 1、曲率的概念
曲线的弯曲程度对于工程学来说有着非常重要的作用,那么曲线的弯曲程度到底跟哪些因素相关呢?观察下图:
(1)图1中, 12M M 与 23M M 弧长相等, 23M M 的切线转角β比 12M M 的切线转角α大, 23M M...
一、正文编写思路及特点:
思路:首先复习弧微分的相关知识,然后导出曲率概念。
特点:通过介绍生活中的实际现象,引出“弯曲程度”这一概念,使得抽象概念具体化,学生更容易接受。
二、授课部分
(一)复习引入
曲线的弧微分和曲线的凹凸性(弯曲方向)
(二)新课讲授 1、曲率的概念
曲线的弯曲程度对于工程学来说有着非常重要的作用,那么曲线的弯曲程度到底跟哪些因素相关呢?观察下图:
(1)图1中, 12M M 与 23M M 弧长相等, 23M M 的切线转角β比 12M M 的切线转角α大, 23M M 比 12
M M 弯曲程度大。
α
?
dα
=
.
图4
2csc 41)cos 1(2csc 21)(2
cos )cos 1(sin 4222
t a t a t dt
dx dx dy dt d dx y d t t a t a dx dy -=--=
==-= 故得曲率
2csc 41)2
cot 1(2csc 412
3
24
t a t
t a k =+= 令,3
π
=
t 得
a
k 21=
向学生简单介绍曲率在工程技术上的一些应用
(四)曲率的一些简单应用
(1)曲率圆与曲率半径
设光滑曲线C 上点M 处的曲率为k (k≠0).在C 上点M 作法线,并
在凹向一侧取点D ,使得R k
DM ==1
,以D 为圆心,R 为半径作圆,
⊙D 为曲线C 在点M 处的曲率圆,圆心D 称为C 在点M 处的曲率中心,R 称为C 在点M 处的曲率半径,如图5所示.
图5
故曲线y=f(x)在点M 的曲率圆有下列性质: (1)在点M 处的曲率与曲线的相同;
(2)在点M 处与曲线相切,且在切点附近有相同凹凸性.
由性质(2)还可知道,点M 处曲率圆的圆心位于曲线在该点的法线上.
小结:对于曲线)(x f y =在点0x 处,圆心为),(b a ,半径为R 的曲率圆的计算公式为
)()]([1)(02
00x f x f x f b '''++
=
)
(}
)]([1{)()]([1)
(02
32002
000x f x f R x f x f x f x a '''+=
'''+'-=
(2)曲率的应用实例
(选讲)例3用圆柱形铣刀加工一弧长不大的椭圆形工件,该段弧的中点为椭圆长轴的顶点,该椭圆的方程为(单位为mm )
22
22
14050x y += 应选用多大直径的铣刀,可得较好的近似效果?(二级)
解 顶点坐标为)50,0(,将方程改写为
216004
5
x y -=
则 32
1,000=
''='==x x y y 代入曲率半径公式可得32=R (mm )
所以,应选用直径为64mm 的铣刀,可得较好的近似效果.
例4某工件内表面的型线为y=0.4x 2,现要用砂轮磨削内表面,问应选多大直径的砂轮?(二级)
解 为使磨削时不会多磨掉不应磨去的部分,砂轮半径应不超过抛物线上各点处曲率半径的最小值,如图6所示.
图6
对于y=0.4x 2
,有y′=0.8x,y″=0.8.曲率半径最小,应是曲率最大,而
k=
()3
22
0.810.8x ??+??
.
当x=0时,k 取最大值0.8,即顶点处曲率最大,因而有
R=1
k
=1.25, 故砂轮直径不得超过2.50单位长.
三、能力反馈部分(考查学生对曲线曲率求法的掌握情况)
(1)计算抛物线y=4x -x 2在它顶点处的曲率.(一级)
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