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奥数训练题库 第07讲 等差数列
姓名 第七讲 等差数列
答题要点:
1,请写清楚中间步骤,并仔细计算
【知识要点和基本方法】
在小学数学竞赛中,常出现一类有规律的数列求和问题。在三年级我们已经介绍过高斯的故事,他之所以算得快,算得准确,就在于他善于观察,发现了等差数列求和的规律。
1+2+3+„+98+99+100
=(1+100)+(2+99)+„+(50+51)
=101×50,即(100+1)×(100?2)=101×50=5050
按一定次序排列的一列数叫做数列。数列中的数称为项,第一个数叫第一项,又叫首项;第二个数叫第二项;„„,最后一个数叫末项。如果一个数列从第二项开始,每一项与它前一项的差都相等,就称这个数列为等差数列。后项与前项的差就叫做这个数列的公差。如:
1,2,3,4,„是等差数列,公差是1;
1,3,5,7,„是等差数列,公差是2;
5,10,15,20,„是等差数列,公差是5.
由高斯的巧算可知,在等差数列中,由如下规律:
项数=(末项-首项)?公差+1;第几项=首项+(项数-1)×公差;总和=(首项+末项)×项数?2. 本讲用各种实例展示了等差数列的广泛应用价值。我们要求同学们注意灵活应用这三个
公式
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。
【例题精讲】
例1 计算下面各题:
(1)2+5+8+„+23+26+29;
(2)(2+4+6+„+100)-(1+3+5+„+99)。
解 (1)这是一个公差为3,首项为2,末项为29,项数为(29-2)?3+1=10的等差数列求和。
原式=(2+29)×10?2=31×10?2=155
(2)解法一:原式=(2+100)×50?2-(1+99)×50?2=2550-2500=50;
解法二:原式=(2-1)+(4-3)+(6-5)+„+(100-99)=1×50=50.
说明 两种解法相比较,解法一直套着公式,平平淡淡;解法二从整体上把握了题目的运算结构和数字特点,
运用交换律和结合律把原式转化成了整齐的结构“1+1+„+1”,从而解得更巧、更好。
例2 计算:1?2003+2?2003+3?2003+„+2001?2003+2002?2003+2003?2003. 分析:如果按照原式的顺序,先算各个商,再求和,既繁又难。由于除数都相同,被除数组成一个等差数
列:1,2,3,4,„,2001,2002,2003.所以可根据除法的运算性质,先求全部被除数的和,再求商。 解 原式=(1+2+3+„+2002+2003)?2003=(1+2003)×2003?2?2003=1002. 说明 此题解法巧在根据题目特点,运用除法性质进行转化。计算中又应用乘除混合运算的简化运算,使整
个解答显得简捷明快。
例3 某小学举办“迎春杯”数学竞赛,规定前十五名可以获奖。比赛结果第一名1人,第二名并列2人,
第三名并列3人„„第十五名并列15人。用最简便方法计算出得奖的一共又多少人, 分析:通过审题可知,各个名次的获奖人数正好组成一个等差数列:1,2,3,„,15.因此,根据求和公
式可以求出获奖总人数。
解:(1+15)×15?2=16×15?2=120(人)
例4 某体育馆西侧看台上有30排座位,后面一排都比前面一排多2个座位,最后一排有132个座位。体
育馆西侧看台共有多少个座位,
分析:要求这30个数的和,必须知道第一排的座位数,而最后一排的座位数是由第一排座位数加上(30-1)
×2得出来的,这样就可以求出第一排的座位数。
解:第一排的座位数为:132-2×(30-1)=132-58=74(个) 所以 (74+132)×30?2=206×30?2=3090(个)
例5 学校进行乒乓球比赛,每个参赛选手都要和其他所有选手赛1场。 (1) 若有20人比赛,那么一共要进行多少场选拔赛,
(2) 若一共进行了78场比赛,有多少人参加了选拔赛, 分析 设20个选手分别是A,A,A,„,A20,我们从选手A,开始按顺序分析比赛场次: 1221
A必须和A,A,A,„,A这19人各赛一场,共计19场; 123420
A已和A赛过,他只需和A,A,A,„,A这18名选手各赛一场,共计18场; 2134520
A已和A,A赛过,他只需与A,A,A,„,A这17名选手各赛一场,共计17场; 31245620
依次类推,最后,A只能和A赛一场。 1920
然后对各参赛选手的场次求和即可。
解 (1)这20名选手一共需赛
19+18+17+„+2+1=(19+1)×19?2=190(场)。
(2) 设参赛选手有n人,则比赛场次是1+2+3+„+(n-1),根据题意,有
1+2+3+„+(n-1)=78,
经过试验可知,1+2+3+„+12=78,
于是n-1=12,n=13,所以,一共有13人参赛。
说明,(1)也可这样想,20人每人都要赛19场,但“甲与乙”、“乙与甲”只能算一场,因此,共进行20
×19?2=190(场)比赛。
(2)采用了试验法,这是一种很实用的方法,希望同学们能熟练掌握。
作业:
1,等差数列求和公式(首项,末项,公差已经知道)
和=
2、等差数列求末项公式(首项,公差,相数已经知道)
末项=
3,等差数列项数公式:(首相,公差,末项已知)
项数=
4,求和:
100+102+104+106+108+110+112+114
995+996+997+998+999
1+3+5+7+…+37+39
(1+3+5+…+1999)-(2+4+6+8+…+1998)
4,应用题
a. 自1开始,每隔两个数写出一个数来,得到的数列为1,4,7,10,13,,,,求出这个数列前100项的和
b.影剧院有座位若干排,第一排座位25个,以后每排比第一排多3个位置,最后一排有94个座位,请问,这个影剧院共有多少个座位?
c. 小红读一本书,第一天读了30页,从第二天起,每天读的页数都比前一天多4页,最后一天读了70页,刚好读完,请问这本小说多少页,