高中
数学
数学高考答题卡模板高考数学答题卡模板三年级数学混合运算测试卷数学作业设计案例新人教版八年级上数学教学计划
证明不等式的新方法
证明不等式
一 、利用导数研究函数的单调性证明不等式
f(x),ln(1，x),x,g(x),xlnx.例1(已知函数
f(x)(?)求函数的最大值;
a，b0,a,b(?)设 ，证明 0,g(a)，g(b),2g(),(b,a)ln22
解:(?)略
a，x,gxxx()ln=g(x),lnx，1(?)证明:， 设 F(x),g(a)，g(x),2g(),2
,a，xa，x，，,,F(x),g(x),2g(),lnx,ln则 ,,22，，
,F(x),0F(x)?当0,x,a时，，因此在(0，a)内为减函数;
?Fx()0fF(x)?当x,a时，，因此在(a，+?)上为增函数。
F(x)F(a)从而，当x=a时，有极小值，
a，bF(a)F(b),0b,a又=0，?当时，，即。 0,g(a)，g(b),2g()2
a，x,G(x),F(x),(x,a)ln2设，则。 G(x),lnx,ln,ln2,lnx,ln(a，x)2
,G(x),0G(x)G(a),0,b,ax,0当时，。因此在(0，+?)上为减函数。?，
a，bGbGa()()0,p=?即。 g(a)，g(b),2g(),(b,a)ln22
点评:本
题
快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题
采用构造函数，利用导数研究函数的单调性证明不等式，比其它方法简洁易行。
2x,x例2 试证 e，sinx，1，(0,x,1)2
2x,x,x,,f(x)f(x),,e，cosx,x证明: 令f(x)=,,由于大于0或小于0不易判断，故，sin,(1，)ex2
,x,x,,,,,f(x)f(x),？0,x,1？f(x),0e,sinx,1,sinx,(1,e)继续对求导，= ，从而为减函
,,f(x),f(0),0f(x)f(x),f(0),00,x,1数，?当时， 这说明为减函数 ，于是有 ，
22xx,x,x,0sin1即 故 . ，sin,(1，)e，，，exx22
点评:利用导数研究函数的单调性，有时需求到两阶导数才能判断出函数的单调性。 二 、利用导数研究函数的最值证明不等式
1
例3 设fxxax()1ln,，,(a?R)
ln1xx,，(?)求f(x)的单调区间; (?)证明
1a 解(?)函数f(x)的定义域为(0，，?)， (x,0)， ,fx(),,x21x，
1aa,0? 若，则,0对一切x?(0，，?)恒成立 ， ,fx(),,x21x，
2221a,,，xax21,,,,xaxa440? 若a,0，则当x,0时， ， ,fx()0,,,x21x，
2222222,fxxaxa()0440,,,,,? xaaa,，，221 ; ，? 0221,,，，xaaa。
22)a,0综上所述，当时，f(x)在(0，，?内单调递增;当a,0时，f(x)在(0，221aaa，，)内单调
22)递减，在(221aaa，，，，?内单调递增.。
)xx，,1ln(?)由(?)知g(x),在(0，)内单调递减， 在(，，?内单调递增.， 222，222，
， ,，,，12ln(222)gxg()(222)322ln(222),，,，,，min
? . xx，,,，,，1ln12ln(222)
22e12ln(222)12ln210，,，,，,,,,e又 ,5,，? ， 222，
xx，,1ln? 。
从上可以看出，用导数证明不等式比初等方法简单易行，尤其对一些三角函数，指数函数，对数函数不等式更为有效。
2
浙公网安备 33021202002483