命
题
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:称能判断真假的陈述句为命题。
命题公式:若在复合命题中,p、q、r等不仅可以代
表
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命题常项,还可以代表命题变项,这样的复合命题形式称为命题公式。
命题的赋值:设A为一命题公式,p ,p ,…,p 为出现在A中的所有命题变项。给p ,p ,…,p 指定一组真值,称为对A的一个赋值或解释。若指定的一组值使A的值为真,则称成真赋值。真值表:含n(n≥1)个命题变项的命题公式,共有2^n组赋值。将命题公式A在所有赋值下的取值情况列成表,称为A的真值表。
命题公式的类型:(1)若A在它的各种赋值下均取值为真,则称A为重言式或永真式。
(2)若A在它的赋值下取值均为假,则称A为矛盾式或永假式。
(3)若A至少存在一组赋值是成真赋值,则A是可满足式。
主析取范式:设命题公式A中含n个命题变项,如果A得析取范式中的简单合取式全是极小项,则称该析取范式为A的主析取范式。
主合取范式:设命题公式A中含n个命题变项,如果A得析取范式中的简单合析式全是极大项,则称该析取范式为A的主析取范式。
命题的等值式:设A、B为两命题公式,若等价式A?B是重言式,则称A与B是等值的,记作A<=>B。
约束变元和自由变元:在合式公式?x A和?x A中,称x为指导变项,称A为相应量词的辖域,x称为约束变元,x的出现称为约束出现,A中其他出现称为自由出现(自由变元)。一阶逻辑等值式:设A,B是一阶逻辑中任意的两公式,若A?B为逻辑有效式,则称A与B是等值的,记作A<=>B,称A<=>B为等值式。
前束范式:设A为一谓词公式,若A具有如下形式Q1x1Q2x2Q k…x k B,称A为前束范式。集合的基本运算:并、交、差、相对补和对称差运算。
笛卡尔积:设A和B为集合,用A中元素为第一元素,用B中元素为第二元素构成有序对组成的集合称为A和B的笛卡尔积,记为A×B。
二元关系:如果一个集合R为空集或者它的元素都是有序对,则称集合R是一个二元关系。特殊关系:(1)、空关系:Φ(2)全域关系:EA={
| x∈A ∧y∈A }= A×A
(3)恒等关系:IA={ | x∈A}
(4)小于等于关系:LA={| x, y∈A∧x≤y∈A },A ? R
(5)整除关系:R? ={| x,y∈ψ∧x ? y} ,ψ是集合族
二元关系的运算:设R是二元关系,
(1)R中所有有序对的第一元素构成的集合称为R的定义域dom R = { x |?y(∈R)}
(2)R中所有有序对的第二元素构成的集合称为R的值域ranR = {y |?x(∈R)}
(3)R的定义域和值域的并集称为R的域fld R= dom R∪ran R
二元关系的性质:自反性,反自反性,对称性,反对称性,传递性。
等价关系:如果集合A上的二元关系R是自反的,对称的和传递的,那么称R是等价关系。设R是A上的等价关系,x , y是A的任意元素,记作x~y。
等价类:设R是A上的等价关系,对任意的?x∈A,令[x]R={ y| y∈A∧x R y },称[x]R 为x关于R的等价类。
偏序关系:设R是集合A上的二元关系,如果R是自反的,反对称的和传递的,那么称R 为A上的偏序,记作≤;称序偶< A ,R >为偏序集合。
函数的性质:设f: A→B,
(1)若ran f = B,则称f 是满射(到上)的。
(2)若?y∈ ran f 都存在唯一的x∈A 使得f(x)=y,则称f 是单射(——)的。
(3)若f既是满射又是单射的,则称f是双射(——到上)的。
无向图:是一个有序的二元组,记作G,其中:
(1) V≠Ф称为顶点集,其元素称为顶点或结点。
(2) E为边集,它是无序积V&V的多重子集,其元素称为无向边,简称边。
有向图:是一个有序的二元组,记作D,其中
(1) V同无向图。(2) E为边集,它是笛卡尔积V?V的多重子集,其元素称为有向边。
设G=是一个无向图或有向图。
有限图:若V, E是有限集,则称G为有限图。
n阶图:若| V |=n,称G为n阶图。
零图:若| E |=0,称G为零图,当| V |=1时,称G为平凡图。
基图:将有向图变为无向图得到的新图,称为有向图的基图。
图的同构:在用图形表示图时,由于顶点的位置不同,边的形状不同,同一个事物之间的关系可以用不同的图表示,这样的图称为图同构。
带权图:在处理有关图的实际问题时,往往有值的存在,一般这个值成为权值,带权值的图称为带权图或赋权图。
连通图:若无向图是平凡图,或图中任意两个顶点都是连通的,则称G是连通图。否则称为非连通图。设D是一个有向图,如果D的基图是连通图,则称D是弱连通图,若D中任意两个顶点至少一个可达另一个,则称D是单向连通图。若D中任意两个顶点是相互可达的,则称D是强连通图。
欧拉图:通过图中所有边一次且仅一次并且通过所有定点的通路(回路),称为欧拉通路(回路)。存在欧拉回路的图称为欧拉图。
哈密顿图:经过图中每个顶点一次且仅一次的通路(回路),称为哈密顿通路(回路),存在哈密顿回路的图称为哈密顿图。
平面图:一个图G如果能以这样的方式画在平面上:出定点处外没有变交叉出现,则称G 为平面图。画出的没有边交叉出现的图称为G的一个平面嵌入。
二部图:若无向图G=〈V, E〉的顶点集合V可以划分成两个子集V1和V 2(V1∩V2 =φ),使G中的任何一条边的两个端点分别属于V1和V2,则称G为二部图(偶图)。二部图可记为G = < V1, V 2 , E >, V1和V 2称为互补顶点子集。
树的定义:连通无回路的无向图称为无向树,简称树,常用T表示树。平凡图称为平凡树。若无向图G至少有两个连通分支,每个连通都是树,则称G为森林。在无向图中,悬挂顶点称为树叶,度数大于或等于2的顶点称为分支点。
树的性质:性质1、设G=是n阶m条边的无向图,则下面各命题是等价的:
(1)G是树(2)G中任意两个顶点之间存在唯一的路径(3)G中无回路且m=n-1. (4)G是连通的且m=n-1. (5)G是连通的且G中任何边均为桥。(6)G中没有回路,但在任何两个不同的顶点之间加一条新边,在所得图中得到唯一的一个含新边的圈。
性质2、设T是n阶非平凡的无向树,则T中至少有两片树叶。
证:设T有x片树叶,由握手定理及性质1可知,2(n-1)=∑d(vi)≥x+2(n-x)由上式解出x≥2. 最小生成树:设T是无向图G的子图并且为树,则称T为G的树。若T是G的树且为生成子图,则称T是G的生成树。设T是G的生成树。e∈E(G),若e∈E(T),则称e为T的树枝,否则称e为T的弦。并称导出子图G[E(G)-E(T)]为T的余树,记作T。
最优二元树:设2叉树T有t片树叶v1,v2,…,vt,权分别为w1,w2,…,wt,称W(t)=wil(vi)为T的权,其中l(vi)是vi的层数。在所有有t片树叶,带权w1,w2,…,wt的2叉树中,权最小的2叉树称为最优2叉树。
最佳前缀码:利用Huffman算法求最优2叉树,由最优2叉树产生的前缀码称为最佳前缀码,用最佳前缀码传输对应的各符号能使传输的二进制数位最省。
集合恒等式:P61
幂等律:A∪A=A ;A∩A=A
结合律:(A∪B)∪C=A∪(B∪C) ;(A∩B)∩C=A∩(B∩C)
交换律:A∪B=B∪A ;A∩B=B∩A
分配律:A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C) ;A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)
同一律:A∪φ =A ;A∩E=A
零律:A∪E =A ;A∩φ= φ
排中律:A∪~A=E
矛盾律:A∩~A =φ
吸收律:A∩(A∪B)=A;A∪(A∩B)=A
德摩根定律:A-(B∪C)=(A-B)∩(A-C);A-(B∩C)=(A-B)∪(A-C)
~(B∪C)= ~B∩~C;~(B∩C)= ~B∪~C;~φ=E;~E=φ
双重否定律:~(~A)=A
二元关系的运算:
设F,G,H是任意的关系,
(1)(F -1) -1= F (2)dom(F -1)=ran F ;ran (F -1)=dom F
(3)(F ?G ) ?H = F ?(G ?H ) (4)(F ?G ) - 1 =G -1? F -1
设R是A上的关系(幂运算)
(1)Ro= {| x∈A} (2)R ^n = R ^(n-1) ?R,n≥1 (3)R ?Ro= Ro?R = R 图的矩阵表示:
(1)无向图的关联矩阵:设无向图G=, V={v1,v2,…,v n}, E={e1,e2,…,e m},令m ij为顶点v i与边的关联次数,则称(m ij )n? m为G的关联矩阵。记为M(G)。
(2)有向图的关联矩阵:设无向图D=, V={v1,v2,…,v n}, E={e1,e2,…,e m},
1, vi是ej的始点
m ij=0, vi与ej不关联
-1,vi是ej的终点
则称(m ij )n? m为D的关联矩阵。记为M(D) 。
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