函数与导数-高考题
答案
八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案
2010年 高考真题汇集(28) 1(2010上海文数)22.(本题满分16分)本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题满分8分。
若实数、、满足，则称比接近. yyxmym,,,xmxm
2(1)若比3接近0，求的取值范围; x,1x
2233b(2)对任意两个不相等的正数、，
证明
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:比接近2abab; abab，ab，a
xD,1sin，x(3)已知函数的定义域.任取，等于DxxkkZxR,,,,,,fx()fx(),,
1sin,x和中接近0的那个值.写出函数的解析式，并指出它的奇偶性、最小正周期、fx()
最小值和单调性(结论不要求证明).
解析:(1) x,(,2,2);
2233(2) 对任意两个不相等的正数a、b，有abababab，,2，ababab，,2，
22332因为， |2||2|()()0ababababababababab，,,，,,,，,,
22332233比，接近所以，即ab，abab2abab; |2||2|ababababababab，,,，,
1sin,(2,2)，,,xxkk,,,,(3) ,k,Z， fxxxk()1|sin|,,,,,,,1sin,(2,2),,，xxkk,,,,
f(x)是偶函数，f(x)是周期函数，最小正周期T,,，函数f(x)的最小值为0，
,,函数f(x)在区间单调递增，在区间单调递减，k,Z( [,)kk,(,]kk，,,,,22
2(2010湖南文数)21((本小题满分13分)
afxxaxa()(1)ln15,,，，,，已知函数其中a<0,且a?-1. x
(?)讨论函数的单调性; fx()
332x,，，,,,(23646),1xaxaxaaex
gx(){,(?)设函数(e是自然数的底数)。是否存在a，,,efxx(),1
使gx()在[a,-a]上为减函数,若存在，求a的取值范围;若不存在，请说明理由。
3(2010浙江理数) (22)(本题满分14分)已知是给定的实常数，设函数a
22bR,，， fxxaxbe()()(),,，
是的一个极大值点( xa,fx()
b (?)求的取值范围;
b(?)设是的3个极值点，问是否存在实数，可找到，使得xxx,,xR,fx()1234
的某种排列(其中=)依次成等差数列?若存iiii,,,1,2,3,4xxxx,,,xxxx,,,,,,,iiii123412341234
b在，求所有的及相应的;若不存在，说明理由( x4
解析:本题主要考查函数极值的概念、导数运算法则、导数应用及等差数列等基础知识，同
时考查推理论证能力、分类讨论等综合解题能力和创新意识。
x2，，(?)解:f’(x)=e(x-a) xabxbaba，,，，,,(3)2,，，
2gxxabxbaba()(3)2,,，,，，,,令 22则,,,,,，,，,=(3-a+b)4(2)(1)80,babaab
于是，假设 xxgxxx,()0.是的两个实根，且,,1212
(1) 当x=a 或x=a时，则x=a不是f(x)的极值点，此时不合题意。 12
(2) 当xa且xa时，由于x=a是f(x)的极大值点，故x
0), x2x
x由已知得 =alnx，
ae12=， 解德a=,x=e, x22x
122)= , 两条曲线交点的坐标为(e,e) 切线的斜率为k=f’(e？2e
1
切线的方程为y-e=(x- e). ？22e
(2)由条件知
2'? 当a.>0时，令h (x)=0,解得x=, 4a
22'所以当0 < x< 时 h (x)<0，h(x)在(0，)上递减; 4a4a
22'当>时，0，在(0，)上递增。 xh (x)>h(x)4a4a
2所以x>是h(x)在(0， +? )上的唯一极致点，且是极小值点，从而也是h(x)的最小4a
值点。
22所以Φ (a)=h()= 2a-aln=2 4a4a
?当a ? 0时，h(x)=(1/2-2a) /2x>0,h(x)在(0，+?)递增，无最小值。 故 h(x) 的最小值Φ (a)的解析式为2a(1-ln2a) (a>o) (3)由(2)知Φ (a)=2a(1-ln2a)
11则 Φ (a )=-2ln2a，令Φ (a )=0 解得 a =1/2
1当 00，所以Φ (a ) 在(0,1/2) 上递增
1当 a>1/2 时， Φ (a )<0，所以Φ(a ) 在 (1/2, +?)上递减。 所以Φ(a )在(0, +?)处取得极大值Φ(1/2 )=1
因为Φ(a )在(0, +?)上有且只有一个极致点，所以Φ(1/2)=1也是Φ(a)的最大值
所当a属于 (0, +?)时，总有Φ(a) ? 1
(2010辽宁理数)(21)(本小题满分12分) 7
2已知函数 f(x),(a，1)lnx，ax，1
(I)讨论函数的单调性; f(x)
a,,1(II)设.如果对任意，，求的取值x,x,(0,，,)|f(x),f(x),4|x,x|a121212范围。
解:
2aaxa，，，121fxax'()2,，,(?)的定义域为(0，+?). . fx()xx
a,0当时，,0，故在(0，+?)单调增加; fx'()fx()
a,,1当时，fx'(),0，故fx()在(0，+?)单调减少;
a，1x,,a当-1,,0时，令fx'()=0，解得. 2a
a，1a，1x,,(0,)x,,，,(,)fx'()fx'()则当时，,0;时，,0. 2a2a
a，1a，1故在单调增加，在单调减少. (0,),(,),，,fx()2a2a
(?)不妨假设，而,-1，由(?)知在(0，+?)单调减少，从而 xx,a12
， fxfxxx()()4,,,,,，,xx,(0,)121212
等价于
， ? ,,，,xx,(0,)fxxfxx()4()4，,，122211
a，1令，则 gxax'()24,，，gxfxx()()4,，x?等价于在(0，+?)单调减少，即 gx()
a，1 . ，，,240axx
222,,,,,,41(21)42(21)xxxx 从而 a,,,,2222212121xxx，，，
故a的取值范围为(-?，-2]. ……12分
(2010重庆文数)(19) (本小题满分12分), (?)小问5分，(?)小问7分.)
32,已知函数(其中常数a,b?R),是奇函数. gxfxfx()()(),，fxaxxbx(),，，
(?)求的表达式; fx()
(?)讨论的单调性，并求在区间[1,2]上的最大值和最小值. gx()gx()
211(2010浙江文数)(21)(本题满分15分)已知函数(a-b)1时，2x-2>0,从而’(x)>0,从而函数F(x)在[1,+e10,0,F,,,又所以e
?)是增函数。
-1-1ee0,,，所以x>1时，有又F(1)=F(x)>F(1)=0,即f(x)>g(x). ?)证明:(1)
若 (1)(1)0,)),1.xxxxxx,,,,,,,,由()及f(xf(x则与矛盾。12121212
(2)若 (1)(1)0,)),.xxxxxx,,,,,,,由()及f(xf(x得与矛盾。12121212
)(2)得根据(1 (1)(1)0,1,1.xxxx,,,,,不妨设1212
由(?)可知，>,则=，所以>,从而f(x)g(x)g(x)f(2-x)f(x)f(2-x)222222f(x)>f(2-x).因为x,1，所以21,,x，又由(?)可知函数f(x)在区间(-?，1)1222
内事增函数，所以x>2,x,即xx，>2. 2121
19(2010福建文数)22((本小题满分14分)
132xxaxb,，， 已知函数f(x)=的图像在点P(0,f(0))处的切线方程为y=3x-2 3
(?)求实数a,b的值;
m(?)设g(x)=f(x)+是[]上的增函数。 2,，,x,1
(i)求实数m的最大值;
(ii)当m取最大值时，是否存在点Q，使得过点Q的直线若能与曲线y=g(x)围成两个封闭图形，则这两个封闭图形的面积总相等?若存在，求出点Q的坐标;若不存在，说明理由。
21(2010全国卷1理数)(20)(本小题满分12分) 已知函数. fxxxx()(1)ln1,，,，
2(?)若，求的取值范围; axfxxax'()1,，，
(?)证明: . (1)()0xfx,,
22(2010四川文数)(22)(本小题满分14分)
x1，aa,0a,1f(x),设(且)，g(x)是f(x)的反函数. x1,a
(?)求; gx()
t(?)当时，恒有成立，求t的取值范围; ()logx,[2,6]gx,a2(1)(7)xx,,
1n，4,(?)当0a?时，试比较f(1)+f(2)+…+f(n)与的大小，并说明理由. 2
23(2010湖北文数)21.(本小题满分14分)
1a32(fx)=xxbxc,，，设函数，其中a,0，曲线在点P(0，)yf,()x()f032
处的切线方程为y=1
(?)确定b、c的值
xx，()fxx，()f(?)设曲线yf,()x在点()及()处的切线都过点(0,2)2211
xx,fxfx'()'(),证明:当时， 1212
(?)若过点(0,2)可作曲线yf,()x的三条不同切线，求a的取值范围。
25(2010山东理数)(22)(本小题满分14分)
1,a已知函数. fxxax()ln1,,，,()aR,x
1(?)a,当时，讨论的单调性; fx()2
12a,x,1,2(?)设当时，若对任意，存在，使 x,(0,2)gxxbx()24.,,，,,214
b，求实数取值范围. fxgx()(),12
1a,(?)当时，在(0，1)上是减函数，在(1，2)上是增函数，所以对任意x,(0,2)， f(x)14
11x,1,2,,gx()f(x)f(1)=-,有fxgx()(),，又已知存在，使，所以，,,1221222
x,1,2， ,,2
19222bxx,，x,1,2gxxbx()24,,，,,即存在，使，即，即,,22
9
11172[,]， 2bx,，,24x
111111bb,[,)，,2b,所以，解得，即实数取值范围是。 442
【命题意图】本题将导数、二次函数、不等式知识有机的结合在一起，考查了利用导数研究函数的单调性、利用导数求函数的最值以及二次函数的最值问题，考查了同学们分类讨论的
数学思想以及解不等式的能力;考查了学生综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力。 (1)直接利用函数与导数的关系讨论函数的单调性;(2)利用导数求出的最小值、fx()利用二次函数知识或分离常数法求出在闭区间[1,2]上的最大值，然后解不等式求参gx()
数。
26(2010湖南理数)20.(本小题满分13分)
2'xR,已知函数对任意的，恒有。 fx()fxxbxcbcR()(,),,，，,fx(),
2x,0(?)证明:当时，; fxxc()(),，
22(?)若对满足题设条件的任意b，c，不等式恒成立，求MfcfbMcb()()(),,,
的最小值。
解析:
(2010湖北理数)17((本小题满分12分)
为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层。某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元。该建筑物每年的能源消耗费用C(单位:万元)与隔热层厚度x(单位:cm)满足关系:C(x)
k=若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元。设f(x)为隔热层建造(010),,,x35x，
费用与20年的能源消耗费用之和。
(?)求k的值及f(x)的表达式。
(?)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值。
27(2010福建理数)20((本小题满分14分)
3其图象记为曲线C(?)已知函数，。 f(x)=x-x
(i)求函数的单调区间; f(x)
(ii)证明:若对于任意非零实数x，曲线C与其在点P(x,f(x))处的切线交于另一点 1111
P(x,f(x))P(x,f(x))P(x,f(x))，曲线C与其在点处的切线交于另一点，线段 333222222
S1PP,PP,S,与曲线所围成封闭图形的面积分别记为CS则为定值; 122312S2
32(?)对于一般的三次函数(?)(ii)的正g(x)=ax+bx+cx+d(a0),,请给出类似于确命题，并予以证明。
【命题意图】本小题主要考查函数、导数、定积分等基础知识，考查抽象概括能力、运算求
解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、特殊与一
般思想。
333'2【解析】(?)(i)由得=3(x-)(x+)， f(x)=x-xf(x)=3x-133
33'当和时，; (，)，,x(-,-),,f(x)>033
33'当时，， )x(-,,f(x)<033
3333因此，的单调递增区间为和，单调递减区间为。 )(，)，,(-,f(x)(-,-),3333
(2010湖北理数)
(2010安徽理数)17、(本小题满分12分)
xfxexax,,，,22,R 设为实数，函数。 a，，
fx (?)求的单调区间与极值; ，，
x2a,,ln21x,0exax,,，21(?)求证:当且时，。、
28(2010江苏卷)20、(本小题满分16分)
设是定义在区间上的函数，其导函数为。如果存在实数和函数f(x)a(1,，,)f'(x)
2，其中对任意的都有>0，使得，则称h(x)h(x)h(x)x,(1,，,)f'(x),h(x)(x,ax，1)函数具有性质。 f(x)P(a)
b，2b(1)设函数,，,ln(1)xx，其中为实数。 f(x)x，1
(i)求证:函数具有性质; (ii)求函数的单调区间。 f(x)f(x)P(b)
(2)已知函数具有性质。给定xxxx,(1,),,,，,,设为实数， mg(x)P(2)1212
，，且， ,,mx，(1,m)x,,(1,m)x，mx,,1,,,11212
若|m|<|g(x),g(x)|，求的取值范围。 g(,),g(,)12
[解析] 本小题主要考查函数的概念、性质、图象及导数等基础知识，考查灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力。满分16分。
121b，2fx'(),,,,，(1)xbx(1)(i) 22xxxx(1)(1)，，
1x,1hx()0,,?时，恒成立， 2xx(1)，
f(x)P(b)?函数具有性质;
2bb22(ii)(方法一)设，与的符号相同。 ,()1()1xxbxx,,，,,，,,()xf'(x)24
2b,0,0当时，，，故此时在区间上递增; 10,22,,,,,b,()xf'(x)f(x)(1,，,)4
x,1,0b,,2当时，对于，有，所以此时在区间上递增; f'(x)f(x)(1,，,)
bb,,2当时，图像开口向上，对称轴，而， x,,,1,()x,(0)1,2
x,1,0,0对于，总有，，故此时在区间上递增; f(x),()xf'(x)(1,，,)
222b,2x,1(方法二)当时，对于， ,()121(1)0xxbxxxx,,，,,，,,,
,0 所以，故此时在区间上递增; f(x)f'(x)(1,，,)
bb,2当时，图像开口向上，对称轴x,,1，方程的两根为:,()x,()0x,2
2222bbbb，,,,44bbbb，,,,442，而 ,,,,1,(0,1)22222bb，,4
22bb，,4bb，,4,0,0 当时，，，故此时在区间 x,(1,)(1,)f(x),()xf'(x)22
2bb，,4上递减;同理得:在区间上递增。 [,)，,f(x)2
b,2综上所述，当时，在区间上递增; f(x)(1,，,)
22bb，,4bb，,4b,2 当时，在上递减;在上递增。 f(x)f(x)[,)，,(1,)22
22(2)(方法一)由题意，得: gxhxxxhxx'()()(21)()(1),,，,,
又对任意的都有>0， h(x)h(x)x,(1,，,)
,所以对任意的都有，在上递增。 x,(1,，,)gx()0,gx()(1,)，,
,,,,，,，,,,,xxmxx,(21)()又。 1212
1mm,,,1,,,,,，,,,,，,xmxmxxmxmx(1)(1),(1)(1)当时，，且， ,,,1122122
综合以上讨论，得:所求的取值范围是(0，1)。 m
2(方法二)由题设知，的导函数，其中函数对于任gx()hx()0,gxhxxx'()()(21),,，
2x,1意的都成立。所以，当时，，从而在区间x,(1,，,)gx()gxhxx'()()(1)0,,,
上单调递增。 (1,，,)
?当时，有， ,,，,,，,,mxmxmxmxx(1)(1)m,(0,1)12111
，得，同理可得，所以,,，,,，,,mxmxmxmxx(1)(1),,(,)xx,,(,)xx122221212由的单调性知、， ,((),())gxgxgx()g(),g(),12
从而有||<||，符合题设。 g(x),g(x)g(,),g(,)12
m,0?当时，,,，,,，,,mxmxmxmxx(1)(1)， 12222
,,,，,,，,(1)(1)mxmxmxmxx，于是由及的单调性知,,,,1,1gx()12111
ggxgxg()()()(),,,,,，所以||?|g(x),g(x)|，与题设不符。 g(,),g(,)1212
m,1,,,,xx,?当时，同理可得，进而得||?|g(x),g(x)|，与题g(,),g(,)1212设不符。
m因此综合?、?、?得所求的的取值范围是(0，1)。
2011函数(39)
北京理
18.已知函数.
(1)求的单调区间;
(2)若对，，都有，求的取值范围。
解:(1)，令得
当时，在和上递增，在上递减; 当时，在和上递减，在上递增 (2) 当时，;所以不可能对，都有; 当时有(1)知在上的最大值为，所以对，都有
即，故对，都有时，的取值范围为
。
福建理21.(本小题满分14分)
(?)已知函数，，求函数的最大值; (?)设…，均为正数，证明:
(1)若……，则; (2)若…=1，则…+。
解:(?)的定义域为，令，
在上递增，在上递减，故函数在处取得最大值 (?)(1)由(?)知当时有即， ?，? ??即 (2)?先证，令，则 由(1)知 ?;
?再证…+，记 则于是由(1)得
所以…+。综合??，(2)得证。
(2)设是定点，其中满足.过作的两条切线
，切点分别为，与分别交于.线段上异
于两端点的点集记为.证明:;
广东理21
解:(,)，
直线AB的方程为，即，
，方程的判别式，
两根或，
，，又，
，得，
(
(,)由知点在抛物线L的下方，
?当时，作图可知，若，则，得; 若，显然有点; ( ?当时，点在第二象限，
作图可知，若，则，且; 若，显然有点;
(
根据曲线的对称性可知，当时，， 综上所述，(*);
由(,)知点M在直线EF上，方程的两根或， 同理点M在直线上，方程的两根或， 若，则不比、、小，
，又，
;又由(,)知，;
，综合(*)式，得证(
(,)联立，得交点，可知， 过点作抛物线L的切线，设切点为，则， 得，解得，
又，即，
，设，，
，又，;
，，
(
广东理 17((本小题满分12分)
提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况(在一般情况下，大桥上的车流速度(单位:千米/小时)是车流密度(单位:辆/千米)的函数(当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0;当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时(研究表明:当时，车流速度是车流密度的一次函数( (?)当时，求函数的表达式;
(?)当车流密度为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位:辆/小时)可以达到最大，并求出最大值((精确到1辆/小时) 本题主要考查函数、最值等基础知识，同时考查运用数学知识解决实际问题的能力. 解析:(?)由题意:当时，;当时，设，显然在是减函数，由已知得，解得 故函数的表达式为=
(?)依题意并由(?)可得 当时，为增函数，故当时，其最大值为; 当时，，
当且仅当，即时，等号成立(
所以，当时，在区间上取得最大值(
综上，当时，在区间上取得最大值， 即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时(
22.(本小题满分13分)
已知函数() =，g ()=+。
(?)求函数h ()=()-g ()的零点个数，并说明理由;
(?)设数列满足，，证明:存在常数M,使得对于任意的，都有? .
解析:(I)由知，，而，且
，则为的一个零点，且在内有零点，因此至少有两个零点
解法1:，记，则。 当时，，因此在上单调递增，则在内至多只有一个零点。又因为，则在内有零点，所以在
内有且只有一个零点。记此零点为，则当时，;当
时，;
所以，
当时，单调递减，而，则在内无零点; 当时，单调递增，则在内至多只有一个零点; 从而在内至多只有一个零点。综上所述，有且只有两个零点。
解法2:，记，则。 当时，，因此在上单调递增，则在内至多只有一个零点。因此在内也至多只有一个零点，
综上所述，有且只有两个零点。
(II)记的正零点为，即。
(1)当时，由，即.而，因此，由此猜测:。下面用数学归纳法证明:[来源:学科网ZXXK] ?当时，显然成立;
?假设当时，有成立，则当时，由
知，，因此，当时，成立。 故对任意的，成立。
(2)当时，由(1)知，在上单调递增。则，即
。从而，即，由此猜测:。下面用数学归纳法证明:
?当时，显然成立;
?假设当时，有成立，则当时，由
知，，因此，当时，成立。 故对任意的，成立。
综上所述，存在常数，使得对于任意的，都有. 江苏 17.请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E、F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=FB=xcm.
(1)若广告商要求包装盒侧面积S(cm)最大，试问x应取何值, (2)若广告商要求包装盒容积V(cm)最大，试问x应取何值,并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.
答案:(1)根据题意有
(00
从而当x>0,且x1时，f(x)-(+)>0，即f(x)>+.
2 (ii)设00,故 (x)>0,而 h(1)=0，故当x(1，)时，h(x)>0，可得h(x)<0,与题设矛盾。
(iii)设k1.此时(x)>0,而h(1)=0，故当x(1，+)时，h(x)>0，可得
h(x)<0,与题设矛盾。综合得，k的取值范围为(-，0]
全国?理(22)(本小题满分12分)(注意:在
试题
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卷上作答无效) (?)设函数，证明:当,0时，,0; (?)从编号1到100的100张卡片中每次随机抽取一张，然后放回，用这种方式连续抽取
20次，设抽得的20个号码互不相同的概率为.证明:,,. 【命题立意】:本小题主要考查函数、导数、不等式证明及等可能事件的概率等知识。通过运用导数知识解决函
数、不等式问题,考查了考生综合运用数学知识解决问题的能力.
【解析】:(?)，(仅当时)
故函数在单调递增.当时，，故当,0时，,0. (?)从编号1到100的100张卡片中每次随机抽取一张，然后放回，连续抽取20次，则
19抽得的20个号码互不相同的概率为，要证,(),.
即证 先证:
即证而
所以. 即
再证:，即证，即证，即证 由(?)，当,0时，,0.
令则，即
综上有:
陕西理21((本小题满分14分)
设函数定义在上，，导函数，( (1)求的单调区间和最小值;
(2)讨论与的大小关系;
(3)是否存在，使得对任意成立,若存在，求出的取值范围;若不存在，请说明理由(
【分析】(1)先求出原函数，再求得，然后利用导数判断函数的单调性(单调区间)，并求出最小值;(2)作差法比较，构造一个新的函数，利用导数判断函数的单调性，并由单调性判断函数的正负;(3)存在性问题通常采用假设存在，然后进行求解;注意利用前两问的结论(
【解】(1)?，?(为常数)，又?，所以，即，
?;，?，令，即，解得， 当时，，是减函数，故区间在是函数的减区间;[来源:学科网ZXXK]
当时，，是增函数，故区间在是函数的增区间; 所以是的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，
所以的最小值是(
(2)，设，则， 当时，，即，当时，，，
因此函数在内单调递减，当时，=0，?; 当时，=0，?(
(3)满足条件的不存在(证明如下:
证法一 假设存在，使对任意成立，
即对任意有 ?
但对上述的，取时，有，这与?左边的不等式矛盾， 因此不存在，使对任意成立(
证法二 假设存在，使对任意成立，
由(1)知，的最小值是，
又，而时，的值域为，?当时，的值域为，
从而可以取一个值，使，即,?
，这与假设矛盾(?不存在，使对任意
成立(
陕西文 21.(本小题满分14分)
设，(
(1)求的单调区间和最小值;
(2)讨论与的大小关系;
(3)求的取值范围，使得,对任意,0成立(
【分析】(1)先求出原函数，再求得，然后利用导数判断函数的单调性(单调区间)，并求出最小值;(2)作差法比较，构造一个新的函数，利用导数判断函数的单调性，并由单调性判断函数的正负;(3)对任意,0成立的恒成立问题转化为函数的最小值问题(
【解】(1)由题设知，?令0得=1，
当?(0，1)时，,0，是减函数，故(0，1)是的单调减区间。
当?(1，+?)时，,0，是增函数，故(1，+?)是的单调递增区间，
因此，=1是的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，所以的最小值为
(2)，设，则，
当时，，即，当时，，
因此，在内单调递减，当时，，即 (3)由(1)知的最小值为1，所以，，对任意，成立
即从而得。
上海理 20.(本大题满分12分，第1小题满分4分，第二小题满分8分)
已知函数，其中常数满足
(1)若，判断函数的单调性;
(2)若，求时的的取值范围(
20、解:? 当时，任意，则
? ，， ? ，函数在上是增函数。当时，同理函数在上是减函数。
? ，当时，，则
;
当时，，则。
四川理 22((本小题共l4分)
已知函数，(
(?)设函数F(x),f(x),h(x)，求F(x)的单调区间与极值;
(?)设，解关于x的方程;
(?)试比较与的大小(
本小题主要考查函数导数的应用、不等式的证明、解方程等基本知识，考查数形结合、函数与方程、分类与整合、特殊与一般等数学思想方法及推理运算、分析问题、解决问题的能力(
解:(?)由()知，，令，得(
当时，;当时，(
故当时，是减函数;时，是增函数(
函数在处有得极小值(
(?)方法一:原方程可化为，
即为，且
?当时，，则，即，
，此时，?， 此时方程仅有一解(
?当时，，由，得，
，
若，则，方程有两解;
若时，则，方程有一解;
若或，原方程无解(
方法二:原方程可化为， 即， ?当时，原方程有一解;
?当时，原方程有二解;
?当时，原方程有一解;
?当或时，原方程无解(
(?)由已知得([来源:Zxxk.Com]
设数列的前n项和为，且() 从而，当时，( 又
(
即对任意时，有，又因为，所以(
故(
天津理21((本小题满分分)已知函数(
(?)求函数的单调区间和极值;
(?)已知函数的图象与函数的图象关于直线对称(证明当时，(
(?)如果，且，证明(
【解】(?)(令，则( 当变化时，的变化情况如下表:
增 极大值 减
所以在区间内是增函数，在区间内是减函数( 函数在处取得极大值(且(
(?)因为函数的图象与函数的图象关于直线对称， 所以，于是(
记，则，
，
当时，，从而，又，所以， 于是函数在区间上是增函数(
因为，所以，当时，(因此( (?)(1) 若，由(?)及,得,与矛
盾;
(2) 若，由由(?)及,得,与矛盾;
根据(1)，(2)可得(不妨设(
由(?)可知，所以(
因为，所以，又，由(?)，在区间内是增函数， 所以 ，即
浙江理 22((本小题满分14分)
已知函数.
(?)求的单调区间和极值;
(?)求证:. 解:(?)定义域为， ………2分
令，令
故的单调递增区间为，的单调递减区间为
的极大值为
(?)证:要证
即证， 即证 即证
令，由(?)可知在上递减，故 即，令，故
累加得，
故，得证
法二:=
，其余相同证法. 重庆理
(18)(本小题满分13分，(?)小问6分，(?)小问7分.)
设的导数满足，其中常数。 (?)求曲线在点处的切线方程;
(?) 设，求函数的极值。
解:(?)则;
;所以，于是有
故曲线在点处的切线方程为:
，令(?)由(?)知
;
于是函数在上递减，上递增，上递减; 所以函数在处取得极小值，在处取得极大值。
浙公网安备 33021202002483