基本初等函数知识点

基本初等函数知识点 第1讲 指数与指数函数 ?知识梳理 分数指数幂 根式 如果，那么x称为a的n次实数方根; 式子a叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数 方根的性质:当n为奇数时，=a.当n为偶数时， 2(分数指数幂 1m(1)分数指数幂的意义:a=a，(a,0，m、n都是正整数，n,1). (2)有理数指数幂的性质: 二、指数函数的图像及性质的应用 a,0且a?1)叫做指数函数. ?指数函数的定义:一般地，函数y=ax( ?指数函数的图像 )a>1 (0, ?底数互为倒数的两个指数函数的图像关于y轴对称. ?指数函数的性质:定义域:R; 值域:(0，，?);过点(0，1);即x=0时，y=1. 当a,1时，在R上是增函数;当0,a,1时，在R上是减函数. 画指数函数y=ax(a,0且a?1)的图像时，应该抓住两点:一是过定点(0，1)，二是x轴 是其渐近线 ?重、难点突破 重点:有理指数幂的定义及性质，指数函数的概念、图像与性质 难点:综合运用指数函数的图像与性质解决问题 重难点:1.指数型函数单调性的判断，方法主要有两种: (1)利用单调性的定义(可以作差，也可以作商) (2)利用复合函数的单调性判断形如 (x)的函数的单调性:若，则的 单调增(减)区间，就是的单调增(减)区间;若 ，则的单调增(减)区间，就是的 1 单调减(增)区间; 2. 指数函数的图像与性质 (?) 指数函数在同一直角坐标系中的图象的相对位置与底数大小的关系如图所示,对 应关系为 (1)y=ax，(2)y=bx，(3)y=cx，(4)y=dx 则 在y轴右侧,图象从上到下相应的底数由大变小;在y轴左侧,图象从下到上相应的底数由大变小,即无论在y轴左侧还是右侧,底数按逆时针方向变大. (?) 指数函数的图像与 3.指数型的方程和不等式的解法 的形式常用“化同底”转化为利用指数函数的单调性 的图象关于y轴对称 (?)形如 解决，或“取对数”等方法; 或a(?)形如的形式，可借助于换元法转化为二次方程或不等式求解。 第2讲 对数及对数函数 ?知识梳理 对数的概念 如果ab=N(a,0，a?1)，那么b叫做以a为底N的对数，记作 (a,0，a?1，N,0). 二、对数的运算性质 logaMN =logaM+logaN. logaMlogaM=logaM,logaN. N logaMn=nlogaM.(M,0，N,0，a,0，a?1) 三、对数换底公式:(a,0，a?1，b,0，b?1，N,0). logab 四、对数函数的图像及性质 ?函数y=logax(a,0，a?1)叫做对数函数，其中x是自变量，图像如下 ?对数函数的性质:定义域:(0，+?); 值域:R; 过点(1，0)，即当x=1时，y=0. 2 当a,1时，在(0，+?)上是增函数;当0,a,1时，在(0，+?)上是减函数。 五、对数函数与指数函数的关系 对数函数与指数函数互为反函数，它们的图像关于直线y=x对称.。 ?重、难点突破 重点:掌握对数的运算性质及对数函数的图像与性质。 难点:综合运用对数函数的图像与性质解决问题。 (对数函数性质的拓展 (?)同底数的两个对数值若若，则， 重难点:1 (?)同真数的对数值大小关系如图 对应关系为 (1) (3) 则作直线，(2)，(4)得， 则与的大小比较 即图象在轴上方的部分自左向右底数逐渐增大 2(常见对数方程或对数不等式的解法 (1)形如对于，则 转为，但要注意验根 当时，得或;当时，得 的方程或不等式，一般用换元法(2)形如求解。 (3)形如的方程化为求解，对于的形式可以考虑利用对数函数的单调性来解决 第3讲 幂函数 ?知识梳理 一、幂函数的概念 3 一般地，形如(R)的函数称为幂函数，其中是自变量，是常数 幂函数 ( R， 是常数)的图像在第一象限的分布规律是: ?所有幂函数(，是常数)的图像都过点(1,1); ?当 1 2时函数的图像都过原点(0,0) ; ?当时，的的图像在第一象限是第一象限的平分线(如 c2); ?当时，的的图像在第一象限是“凹型”曲线(如c1) ?当 1 2时，的的图像在第一象限是“凸型”曲线(如c3) ?当时，的的图像不过原点(0,0)，且在第一象限是“下滑”曲线(如c4) ?重、难点突破 重点:幂函数的概念、几个特殊幂函数的图像与性质。 难点:综合运用几个特殊幂函数的图像与性质解决问题。 重难点:幂函数性质的拓展 当时，幂函数有下列性质: (1)图象都通过点(0,0),(1,1); (2)在第一象限内都是增函数; (3)在第一象限内，时，图象是向下凸的;时，图象是向上凸的; (4)在第一象限内，过点(1,1)后，图象向右上方无限伸展。 当时，幂函数有下列性质: 4 (1)图象都通过点(1,1); (2)在第一象限 函数与方程 ?知识梳理 一、函数的零点 方程的实数根又叫做函数的零点。 方程有实根函数的图像与x轴有交点函数有零点; ?如果函数在区间(a,b)上的图像是连续不断的，且有，则函数在区间(a,b)上有零点。 二、二分法 在区间[m,n]上的图像是连续不断的一条曲线，且 1(如果函数 ，通过不断地把函数的零点所在区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法。 2(给定精度，用二分法求函数的零点近似值的步骤如下: (1)确定区间[m,n]，验证，给定精度; (2)求区间[m,n]的中点x1; (3)计算f(x1):?若，则x1就是函数的零点;?若， 则令(此时零点0);?若，则令(此时零点 ) ; 即若，则得到零点值m(或n);否则重 (4)判断是否达到精度 复步骤(2)-(4) ?重、难点突破 重点:函数零点的概念，掌握用二分法求函数零点的近似值 5 难点:用二分法求函数的零点近似值 重难点:1(函数零点的理解 函数的零点、方程的根、函数的图像与x轴交点的横坐标，实质是同一个问题的三种不同表达形式，方程根的个数就是函数 的零点的个数，亦即函数的图像与x轴交点的个数 变号零点与不变号零点 x?若函数f(x)在零点0左右两侧的函数值异号，则称该零点为函数f(x)的变号零点 x?若函数f(x)在零点0左右两侧的函数值同号，则称该零点为函数f(x)的不变号零点 ?若函数f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续的曲线，则是f(x)在区间(a，b)内有零点的充分不必要条件。 用二分法求曲线交点的坐标要注意两个问题 (1)曲线交点坐标即为方程组的解，从而转化为求方程的根 (2)求曲线和的交点的横坐标，实际上就是求函数的零点，即求方程0的根 3(关于用二分法求函数的零点近似值的步骤须注意的问题: (1)第一步中要使:?区间长度尽量小;?f(a)、f(b)的值比较容易计算且 ; (2)根据函数的零点与相应方程根的关系，求函数的零点与求相应方程根是 等价的。对于求方程的根，可以构造函数，函数F(x)的 零点即方程的根。 6