函数的定义域及求法讲解
函数
作者: 刘铁峰 (高中数学 赤峰数学一班 ) 评论数/浏览数: 1 / 37 发
表
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日期: 2011-07-08
16:32:19
性质及其应用
函数的性质及其应用是高考数学的重点和热点(熟练掌握函数的性质，能灵活运用函数的性质解决有关问
题
快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题
，是高考数学获胜的一个重要方面 (因此，临考前对函数的性质及应用作适当的复习和思路整理是有必要的( 一、 函数的定义域及求法
1、 分式的分母?0;偶次方根的被开方数?0;
2、 对数函数的真数,0;对数函数的底数,0且?1;
3、 正切函数:x ? kπ + π/2 ,k?Z;余切函数:x ? kπ ,k?Z ;
4、 一次函数、二次函数、指数函数的定义域为R;
5、 定义域的相关求法:利用函数的图象(或数轴)法;利用其反函数的值域法;
6、 复合函数定义域的求法:推理、取交集及分类讨论( [例题]:
1、 求下列函数的定义域
23、已知函数y=lg(mx-4mx+m+3)的定义域为R，求实数m的取值范围( [解析]:[利用复合函数的定义域进行分类讨论]
2 当m=0时，则mx-4mx+m+3=3，? 原函数的定义域为R;
2 当m?0时，则 mx-4mx+m+3,0，
?m,0时，显然原函数定义域不为R;
2 ?m,0，且?,(-4m)-4m(m+3)<0 时，即,,m,,，原函数定义域为R，
所以当m?[0,1) 时，原函数定义域为R(
4、求函数y=logx + 1 (x?4) 的反函数的定义域( 2
[解析]:,求原函数的值域,
由题意可知，即求原函数的值域，
?x?4, ?logx?2 ?y?3 2
所以函数y=logx + 1 (x?4) 的反函数的定义域是[3，+?)( 2
x5、 函数f(2)的定义域是[-1，1]，求f(logx)的定义域( 2
-1x1[解析]:由题意可知2?2?2 ? f(x)定义域为[1/2，2]
? 1/2?logx?2 ? ?,2?x?4( 2
所以f(logx)的定义域是[?,2,4]( 2
二、 函数的值域及求法
1、 一次函数y=kx+b(k?0)的值域为R;
2、 二次函数的值域:当a,0时，y?-?/4a ，当a,0时，y?-?/4a ;
3、 反比例函数的值域:y?0 ;
4、 指数函数的值域为(0，+?);对数函数的值域为R;
5、 正弦、余弦函数的值域为[-1，1](即有界性);正切余切函数的值域为R;
6、 值域的相关求法:配方法;零点讨论法;函数图象法;利用求反函数的定义域法;换元法;利用函数的单调性和有界性法;分离变量法( [例题]::求下列函数的值域
[解析]:
1、[利用求反函数的定义域求值域]
-1 先求其反函数:f(x)=(3x+1)/(x-2) ，其中x?2，
由其反函数的定义域，可得原函数的值域是y?{y?R|y?2} 2、[利用反比例函数的值域不等于0]
由题意可得，
因此，原函数的值域为[1/2,+?) 4、[利用分离变量法和换元法]
x 设法2,t，其中t,0，则原函数可化为y=(t+1)/(t-1) ? t=(y+1)/(y-1) ,,
?y>1或y<-1
5、[利用零点讨论法]
由题意可知函数有3个零点-3，1，2，
?当x<-3 时，y=-(x-1)-(x+3)-(x-2)=-3x ?y>9
?当-3?x<1 时，y=-(x-1)+(x+3)-(x-2)=-x+6 ?5
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