2整数的整除性2整数的整除性
第2讲 整数的整除性
知识要点:
1. 1整除任何整数，0被任何整数整除;
2. 被一些特殊数(3、4、5、9、11……)整除的规律;
3. 带余除法;
ab,ac,则ab,c4. 若;
mmab,ab;5.
abc,且(a,b),1,则ac6. ;
7. 若一些数整除某数A，则这些数的最小公倍数(特别当互质时)也整除A;
nnnnx,yx,y(n为正整数时);x，yx，y(n为正奇数时)8. 对于整数x、y，有:; . 记S(n)为n的各位数字和，则; 99n,S(n)
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2整数的整除性
第2讲 整数的整除性
知识要点:
1. 1整除任何整数，0被任何整数整除;
2. 被一些特殊数(3、4、5、9、11……)整除的规律;
3. 带余除法;
ab,ac,则ab,c4. 若;
mmab,ab;5.
abc,且(a,b),1,则ac6. ;
7. 若一些数整除某数A，则这些数的最小公倍数(特别当互质时)也整除A;
nnnnx,yx,y(n为正整数时);x，yx，y(n为正奇数时)8. 对于整数x、y，有:; . 记S(n)为n的各位数字和，则; 99n,S(n)
10. 设P(x)是整系数多项式，则对于整数x、y，有;特别地，。 x,yP(x),P(y)xP(x),P(0)
例题选讲:
1. 接连写出19至80的数1920…7980，求证:。 1980192021？787980
2. 将所有七位数(允许首位为0，以及全为0)按任意顺序排成一排，求证:所得的70000000位数被239整除。
3. 在每张卡片上各写着从11111到99999的五位数，然后将这些数任意排成一排，证明:所得的444445位数不可
能是2的幂。
1
4. 任意18个连续的不超过2005的正整数中，至少有一个被其各位数字之和整除。
5. 证明:由1,2,3,4,5,6,7组成的任何两个七位数中，没有一个整除另一个。
6. 在100，100的方格表的每个方格中均填写着1个非0数码，已知沿着各行的100个100位数均可被11整除，试
问在沿着各列填写的100个100位数中是否可能恰好有99个被11整除,
7. 圆上有3k个数码，已知从某一位起把这些数按顺时针方向记下，得到的一个3k位数能被27整除，证明:如果
从任何一位起把这些数码按顺时针方向记下的话，那么所得的一个3k位数也能被27整除。
2
8. 两人一起写一个由1,2,3,4,5这5个数码组成的2k位数，第一个人写第一位数码，第二个人写第二位数码，第三
位数码仍由第一人写，以此类推。第一人想方设法让这个2k位数不被9整除，而第二人则正好相反，问第二人
必能做到吗:(1)k=10;(2)k=15。
325am，bm，cm，d9. 设a、b、c、d、m为整数，满足，若d不能被5整除，求证:存在整数n，满足
325dn，cn，bn，a。
10. 对任意两两不同的整数a、b、c，是否存在整系数多项式P(x)，满足P(a),b,P(b),c,P(c),a?
11. 求证:1987。 1,3,5？,1985，2,4,6？,1986
3
12. 99个小于100且可以有相等的正整数，若任意若干个的和不能被100整除，证明:所有的数均相等。
备用题:
55513. 求证:; 5(x,y)(y,z)(z,x)(x,y)，(y,z)，(z,x)
14. 若，此处字母均表示整数。 uac,bc，ad,bd,则ubc,ad
习题:
aa，1(1)求不能表示为，的所有正整数，其中a、b也是正整数。 bb，1
(2)有1000个开关，每个开关有A，B，C，D四个位置，当每个开关位置改变时，只可能从A到B，从B到C，
xyz从C到D，或从D到A。开始时，每个开关都在位置A上，这1000个开关上都用不同的整数235标号。其
中x，y，z均取0到9这10个数字。在有1000个步骤的操作中，到第i个步骤时，第i个开关位置前进一位，
其他标号能整除第i个开关标号的开关也前进一位，问:当这1000个步骤执行完时，有多少个开关处于位置A
上,
(3)从{1,2,…,2007}中找一些数，满足没有一个是另一个的19倍，则最多可以找多少个数, (4)从1,2,3，…，1993中划去最少的数，使得余下的数中每一个不等于另外两数之积，问应划去哪些数,
kk(5)给定数字2，其中k是一个大于3的自然数，证明无论怎样重排2的数码，都不能得到一个等于2的幂。 (6)所有三位数中，哪个除以其数字和的余数最大,
(7)任意9个整数中，必有5个的和被5整除;任意11个整数中，必有6个的和被6整除。
4
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