浅谈初中数学思想和数学方法的教学

浅谈初中数学思想和数学方法的教学 数学教学中必须重视思想方法的教学，它是数学教育教学本身的需要，是以人为本的教育理念下培养学生素养为目标的需要，是提高学生解题能 力的需要。初中数学教学中要求教师重视并掌握各章节中蕴含的数学思想方法； 要重视基本知识、基本技能的教学，并渗透数学思想方法；要引导促进学生对数 学思想方法的内化；在循环教学中及时总结，明确介绍和突出体现某种思想方法， 使学生对这一数学思想和数学方法得到强化和巩固。 ：数学思想方法重视 渗透 内化 循环 《全日制义务教育数学课程标准》明确指出义务教育阶段的数学课程应突出 体现基础性、普及性和发展性，使数学教育面向全体学生，实现人人学有价值的 数学；人人都能获得必需的数学；不同的人在数学上得到不同的发展。这意味着 数学是人们生活、劳动、学习必不可少的工具，数学能够帮助人们处理数据、进 行计算、推理和证明，数学模型可以有效地描述自然现象和社会现象；数学为其 他科学提供了语言、思想和方法，是一切重大技术发展的基础；数学在提高人的 推理能力、抽象能力、想像力和创造力等方面有着独特的作用；数学是人类的一 种文化，它的内容、思想、方法和语言是现代文明的重要组成部分；尤其是20 世纪中叶以来，数学和计算机的结合，更使人们明白数学是一种普遍适用的技术， 有助于人们收集、整理、描述信息，建立数学模型，进而解决问题，直接为社会 创造价值。 数学家乔治〃波利亚说过：完善的思想方法犹如北极星，许多人通过它而找 到正确的道路。我国著名数学教育家姜伯驹院士曾多次强调，应该在教材和教学 过程中注入数学思想，发挥数学思想方法的作用，培养应用意识和能力。可见， 数学思想和数学方法是数学知识应用的根基和源泉。 所谓数学思想，是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人的意识之中， 经过思维活动而产生的结果，是被人们反复运用和确认的、带有普遍意义和相对 稳定的特征，它是对数学事实与数学理论的本质认识。所谓数学方法，是指处理 数学问题中所采用的被人们反复运用和确认的各种手段、途径和方式。数学思想 和数学方法互为表里、密切相关，两者都以一定的知识为基础，反过来又促进知 识的深化及形成能力。方法是实施思想的技术手段，而思想是对应方法的精神实 质和理论依据。 初中数学大纲指出，初中数学的基础知识主要是初中代数、几何中的概念、 法则、性质、公式、公理、定理以及由其内容所反映出来的数学思想和数学方法。 虽然，《数学课程标准》中没有像这样明确的字眼，但其要求却是在淡化这些数 学概念、法则性质、公式、公理、定理的要求中，更加强调数学思想和数学方法 的教学。所以，初中数学教学担负着向学生传授基本数学思想方法的责任，而且 数学思想方法的教学要融入数学的概念、法则、性质、公式、公理、定理的教学， 并由学生对其掌握过程和掌握效果而呈现对数学思想方法的掌握程度，二者相辅 相成，密不可分。 J〃S布鲁纳提出：掌握基本数学思想和方法，能使数学更易于理解和更易于记忆，领会基本数学思想和方法是通向迁移大道的“光明之路”。著名日本数 学家和数学教育家米山国藏在从事多年数学教育研究之后，说过这样一段耐人寻 味的话：“学生们在初中或高中所学到的数学知识，在进入社会后，几乎没有什 么机会应用，因而这种作为知识的教学，通常在出校门后不到一两年就忘掉了， 然而不管他们从事什么业务工作，那种铭刻于头脑中的数学精神和数学思想方 法，却长期地在他们的生活和工作中发挥着作用。” 倘若我们留意各行各业的某 些专家或一般工作者，当感到他们思维敏锐，逻辑严谨，说理透彻的时候，往往 可以追溯到他们在中小学所受的数学教育，尤其是数学思想方法的熏陶。理论研 究和人才成长的轨迹也都表明，数学思想方法在人的能力培养和素质提高方面起 着重要作用。 基本的数学思想可以概括为三个方面：即“符号化与变换的思想”、“集合与 对应的思想”和“公理化与结构的思想”，三者构成数学思想的最高层次。对初 中数学而言，数学思想大致可分为十个方面：即符号思想、映射思想、化归思想、 分解思想、转换思想、参数思想、归纳思想、类比思想、演绎思想和模型思想。 对于这些基本思想，在具体的教学中要注意有针对性地渗透、介绍和突出讲解， 但不必要进行专门的理论概括；数学方法大致有十种：变换与转化、分解与组合、 映射与反映、模型与构造、概括与抽象、观察与实验、比较与分类、类比与猜想、 演绎与归纳、假说与证明等。 对几年初中数学教学实践进行分析，本人认为： 数学思想方法是以数学为工具进行科学研究的方法。纵观数学的发展史我们 看到数学总是伴随着数学思想方法的发展而发展的。如坐标法思想的具体应用产 生了解析几何；无限细分求和思想方法导致了微积分学的诞生……，数学思想方 法产生数学知识，而数学知识又蕴载着数学思想，二者相辅相成，密不可分。正 是数学知识与数学思想方法的这种辩证统一性，决定了我们在传授数学知识的同 时必须重视数学思想方法的教学。 初中阶段最基本的数学思想方法是数形结合的思想、分类讨论思想、转化思 想、方程思想、函数思想，突出这些基本思想方法，就相当于抓住了中学数学知 识的精髓。1、数形结合的思想。“数”和“形”是数学教学中既有区别又有联系的 两个对象。在数学教学中，突出数形结合思想，将抽象的数量关系形象化，具有 直观性强、易理解、易接受；将直观图形数量化，转化成数学运算，常会降低难 度，并对知识的理解更加深刻明了，有利于学生从不同的侧面加深对问题的认识 和理解，提供解决问题的方法，也有利于培养学生将实际问题转化为数学问题的 能力。2、分类讨论的思想。“分类”是生活中普遍存在着的，分类思想是自然科 学乃至社会科学研究中的基本逻辑方法，也是研究数学问题的重要思想方法，它 始终贯穿于整个数学教学中。从整体上看，中学数学分代数、几何两大类，然后 采用不同方法进行研究，就是分类思想的体现，从具体内容上看，初中数学中实 数的分类、三角形的分类、方程的分类等等，在教学中就需要启发学生按不同的 情况去对同一对象进行分类，帮助他们掌握好分类的方法原则，形成分类的思想， 从具体的教法上看，如对初一“有理数的加法”教学中，引导学生观察、思考、探 究，将有理数的加法分为三类进行研究，正确归纳出有理数加法法则，这样学生 不仅掌握了具体的“法则”，而且对“分类”有了深刻的认识，那么在较为复杂的情 况下，利用掌握好的分类的思想方法，正确地确定标准，不重不漏地进行分类， 32”时，注意a的取值和化简的分从而使看问题更加全面。如在计算“,aa 类就不会错。3、转化思想。数学问题的解决过程就是一系列转化的过程，中学 数学处处都体现出转化的思想，如化繁为简、化难为易，化未知为已知，化高次 为低次等，是解决问题的一种最基本的思想。在具体内容上，有加减法的转化， 乘除法的转化，乘方与开方的转化，添辅助线，设辅助元等等都是实现转化的具 体手段。因此，在教学中首先要让学生认识到常用的很多数学方法实质就是转化 的方法，如：消元法、配方法、换元法等，从而确信转化是可能的，而且是必须 的，其次结合具体教学内容进行有意识的训练，使学生掌握这一具有重大价值的 思想方法。在具体教学过程中设出问题让学生去观察，探索。4、方程思想。在 求解未知的问题时，通过设未知数建立方程，从而化未知为已知。从七年级开始， 方程的思想就融入教学之中，此时注意将其与小学的算术解法进行区别，让学生 明确方程中已知数和未知数的地位是平等的，必须将方程作为一个整体来看待， 通过恒等变形，使未知数变成已知数。这种方法相对算术解法有个宏观、整体的 思想，比较明确目标，且省时省力，具有优越性，从而激发学生学好方程知识， 运用方程思想去解决问题。5、函数的思想方法。辩证唯物主义认为，世界上一切事物都是处在运动、变化和发展的过程中，这就要求我们教学中重视函数的思 想方法的教学。虽然函数知识安排在初中后阶段学习，但函数思想已经渗透到七、 八年级数学教材的各个内容之中。因此，教学上要有意识、有 计划 项目进度计划表范例计划下载计划下载计划下载课程教学计划下载 、有目的地培 ……养函思想方法。例如进行求代数式的值的教学时，通过强调解题的第一步“当 时”的依据，渗透函数的思想方法——字母每取一个值，代数式就有唯一确定的 值。通过引导学生对以上问题的讨论，将静态的知识模式演变为动态的讨论，这 样实际上就赋予了函数的形式，在学生的头脑中就形成了以运动的观点去领会， 这就是发展函数思想的重要途径。 概念、公式、法则、性质、定理等数学结论的导出过程，不是简单的再现， 教师要创设一定的问题情景，提供丰富的感知材料，使学生的思维经历数学结论 的发生、发展、形成的全过程，并在这一过程中通过尝试、观察、猜想、归纳、 概括、类比、假设、检验等自我接受数学思想、方法的渗透。教师要抓住各种时 机，引导学生透过问题表面理解问题本质，总结出教学思想方法上的一些规律性 的内容。1、在概念教学中渗透数学思想方法。数学概念是现实世界中空间形式 和数量关系及其本质属性在思维中的反映，人们先通过感觉、知觉对客观事物形 成感性认识，再经过分析比较，抽象概括等一系列思维活动而抽取事物的本质属 性才形成概念。因此，概念教学不应只是简单的给出定义，而要引导学生感受及 领悟隐含于概念形成之中的数学思想。比如绝对值概念的教学，以前初一代数是 直接给出绝对值的描述性定义（正数的绝对值取它的本身，负数的绝对值取它的 相反数，零的绝对值还是零）学生往往无法透彻理解这一概念只能生搬硬套，如 何用我们刚刚所学过的数轴这一直观形象来揭示“绝对值”这个概念的内涵，从 而能使学生更透彻、更全面地理解这一概念，我们在新教材的教学中可按如下方 式提出问题引导学生思考：（1）请同学们将下列各数0、3、-3、5、-5在数轴上 表示出来；（2）3与-3；5与-5有什么关系？（3）3到原点的距离与-3到原点 的距离有什么关系？5到原点的距离与-5到原点的距离有什么关系？这样引出 绝对值的概念后，再让学生自己归纳出绝对值的描述性定义。（4）绝对值等于7 的数有几个？你能从数轴上说明吗？通过上述教学方法，学生既学习了绝对值的 概念，又渗透了数形结合的数学思想方法，这对后续课程中进一步解决有关绝对 值的方程和不等式问题，无疑是有益的。2、在性质、定理、公式、法则的探求 中挖掘数学思想方法。著名数学家华罗庚说过：“学习数学最好到数学家的纸篓 里找材料，不要只看书上的结论。”这就是说，对探索结论过程的数学思想方法 学习，其重要性决不亚于结论本身。数学性质、定理、公式、法则等结论，都是 具体的判断，其形成大致分成两种情况：一是经过观察，分析用不完全归纳法或 类比等方法得出猜想，尔后再寻求逻辑证明；二是从理论推导出发得出结论。总 之这些结论的取得都是数学思想方法运用的成功范例。因此，在性质、定理、公 式、法则的教学中不要过早给出结论，而应引导学生参与结论的探索、发现、推 导过程。搞清其中的因果关系，领悟它与其它知识的关系，让学生亲身体验创造 性思维活动中所经历和应用到的数学思想和方法。例如，在圆周角定理从度数关 系的发现到证明体现了特殊到一般、分类讨论、化归以及枚举归纳的数学思想方 法。在教学中我们可依次提出如下富有挑战性的问题让学生思考：（1）我们已经知道圆心角的度数定理，我们不禁要问：圆周角的度数是否与圆心角的度数存在 某种关系？圆心角的顶点就是圆心！就圆心而言它与圆周角的边的位臵关系有几 种可能？（2）让我们先考察特殊的情况下二者之间有何度量关系？（3）其它两种情况有必要另起炉灶另外重新证明吗？如何转化为前述的特殊情况给与证 明？（4）上述的证明是否完整？为什么？显然，由于以上引导展示了探索问题 的整个思维过程所应用的数学思想方法，因而较好地发挥了定理探讨课型在数学 思想方法应用上的教育和示范功能。 许多教师往产生这样的困惑：题目讲得不少，但y y=2x―1学生总是停留在模仿型解题的水平上，只要条件稍稍 x－1 y=m―x 一变则不知所措，学生一直不能形成较强解决问题的能力。更谈不上创新能力的 形成。究其原因就在于教师在教学中仅仅是就题论题，殊不知授之以“渔”比授 之以“鱼”更为重要。因此，在数学问题的探索的教学中重要的是让学生真正领 悟隐含于数学问题探索中的数学思想方法。使学生从中掌握关于数学思想方法方 面的知识，并使这种“知识”消化吸收成具有“个性”的数学思想。逐步形成用 数学思想方法指导思维活动，这样在遇到同类问题时才能胸有成竹，从容对待。 如：直线y=2x-1与y=m-x的交点在第三象限，求m的取值范围。方法1：用m 表示交点坐标，然后用不等式求解；方法2：利用数形结合的思想在坐标系中画 出图象，根据图象作答。显然上述的问题解决过程中，学生通过比较不同的方法， 体会到了数学思想在解题中的重要作用，激发学生的求知兴趣，从而加强了对数 学思想的认识。 数学思想方法贯穿在整个中学数学教材的知识点中，以内隐的方式溶于数学 知识体系。要使学生把这种思想内化成自己的观点，应用它去解决问题，就要把 各种知识所表现出来的数学思想适时作出归纳概括。概括数学思想方法要纳入教 学计划，要有目的、有步骤地引导参与数学思想的提炼概括过程，特别是章节复 习时在对知识复习的同时，将统领知识的数学思想方法概括出来，增强学生对数 学思想的应用意识，从而有利于学生更透彻地理解所学的知识，提高独立分析、 解决问题的能力。 数学知识的学习要经过预习、听讲、复习、练习等才能掌握和巩固。数学思 想、方法的形成同样有一个循序渐进的过程。只有经过反复训练才能使学生真正 领会。另外，使学生形成自觉运用数学思想方法的意识，必须建立起学生自我的 “数学思想方法系统”，这更需要一个反复训练、不断完善的过程。比如 ，运用 类比的数学方法，在新概念提出、新知识点的学习过程中，可以使学生易于理解 和掌握。如学习一次函数的时候，可以用乘法公式类比；在学习二次函数有关性 质时，可以和一元二次议程的根与系数性质类比。通过多次重复性的演示，使学 生真正理解、掌握类比的数学方法。教学中要适时恰当地对数学方法给予提炼和 概括，让学生有明确的印象。由于数学思想、方法分散在各个不同部分，而同一 问题又可以用不同的数学思想、方法来解决。因此，教师的概括、分析是十分重 要的。教师还要有意识地培养学生自我提炼、揣摩概括数学思想方法的能力，这 样才能把数学思想、方法的教学落在实处。 教学实践证明，加强数学思想方法的教学对于提高教学质量，改变重结论， 轻过程，重知识、重形式，轻思想的现状，培养高素质人才有着深远而重大的现 实意义。 „1? 中华人民共和国教育部. 全日制义务教育数学课程标准（实验稿）. 北京 师范大学出版社[M]，2001年7月. „2? 吴炯圻 林培榕. 数学思想方法. 厦门大学出版社[M]，2001年6月. 前 言,第二篇，第三篇第十一章第三节. „3? 陈光耀. 《数学课程标准》“总体目标”若干问题的解续. 中国基础教育 网， www.cbe21.com/subject/maths/html/040203/2002_12/20021224_2090.h tml „4? 蔡上鹤. 数学思想和数学方法. www.dastu.com/info/lw/lw32.doc