用微分方程求函数f（x）=1n（1＋x）的幂级数展开式
用微分方程求函数f(x)=1n(1，x)的幂
级数展开式 ?
教学研究?
用糍分方程求函数爿n(1+的幂级数展研式
口徐运动廖志安秦晓燕
摘要:本文用微分方程求函数f(x)=lI1(1+x)的幂级数展开式,取得成功,从而避免了
通常计算余项极限的繁杂过程.
关键词:微分方程幂级数展开式
关于通常函数f(x)=ln(1+x)的幂级数展开式,通常习用直 接展开的方法.但因必须求余项的极限,因而计算十分繁复. 于是有的教材干脆避而不证,有的则另辟蹊径.例如文【1】就是 利用导数方法证明了f(x)=lIl(1+x)的幂级数展开式.笔者正是 从…得到启示,利用微分方程得这个幂级数展开式. 设fl(x)In(1+x),则f(x)i,即(1+x)f(x)1 因为)=0,从而得到关于fIx)的微分方程:
f(1+x)f(x)1
{)=1'
fIx)就是(1)的特解.
假设fIx)有幂级数展开式为:
f(x)=a0+a1x+a2】【2+人+ax人(2)
其收敛区间为I,其导数为:
f(】【)=a1+2a2x+3a3】(2+人+na+人(3)
将(2),(3)两式代入(1)式得到恒等式:
(1+】【)(a1+2a2x+3avx~+A+na+人)=1XxEI(4) 根据幂级数的初等性质和恒等式的意义,由(4)式得到: a.=1
2a2+10
33+20
人人
Ban+(I1—1)a—I=O
人人
(5)
心挑选.当然,
书
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上的练习一般说来对学生掌握巩固教学内容 总是有帮助的,但为减轻学生负担,让他们学得更主动起见,教 师不应要求他们一个不拉地做一遍,而应有选择地布置学生做 其中的部分练习
题
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.对书上的练习题,取舍的
标准
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有两个:一个 根据教学大纲上的教学目的和教学要求(凡是直接体现教学 大纲目的,要求的,不能删去),二是根据学生的实际理解和解 题水平(凡是学生理解起来觉得有困难的,或虽能理解但文字
表
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达不顺畅的,要删去).
要使学生通过练习加深对教学内容的理解和掌握,除了布 置学生完成教材上的一些练习外,教师还应精编一些相关练 习,精编的补充练习要能体现大纲上规定的教学目的和要求但 在教材上练习中所缺少的;精编的补充练习应把重点放在提高 学生解题能力及迁移能力方面,而不应把注意力放在重复教学 内容方面.
要使学生真正做到"精练",还应根据不同练习的不同具 由初始条件f(0)=0,得到ao=O,再解方程组(5),就得到了 (2)的各项系数:
a0=0,a=1,a2=一1
,a3
},《(一1)1
于是得到幂级数
x一2+2一A+(一1)+A(6)
(6)式的收敛域为(一1,1),这里略去计算过程.不难验证幂
级数(6)式所表示的和函数正是微分方程(1)的解. 参考文献
【1】同济大学数学教研室主编.高等数学【M】.北京:高等教育出版 社.1987
【2】赵树螈.微积分【M】.北京:高等教育出版社.1988 【3】刘玉琏等.数学分析【M】.北京:高等教育出版社.1991 f作者单位:湖北鄢州大学教育系)
体情况提出不同的解题要求:(1)要求成文的——强调叙述要 完整文句要
规范
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;(2)列出要点的——强调把解题的思路体现 出来:(3)口头回答的——强调表达要流畅;(4)加以思考 的——理解就行,有困难的提出来.
要义之三:要精评
要使"精讲精练"收到"事半功倍"之效,教师还应抓好一 个环节:要精评.精评的前期工作是批改及批改后的分析.批改 学生的练习一定要及时,以满足学生急于了解自己练习结果的 心理.教师对学生练习中出现的错误要进行认真的分析研究, 要用数据统计出各道题目不同的错误率,对错误率特别高的要 作重点讲评.要查清学生做错题目的原因,教师在讲评时有的 放矢地指出问题的存在,以使学生在教师精评之下"对号入 座",注意以后练习时避免出现类似的错误.
I作者单位:上海市华东师范大学中文系)
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