区分平方根与算数平方根
区分平方根与算数平方根
平方根与算术平方根是初中数学的两个重要概念,它们定义相近,联系紧密,学生很容易混淆,所以学生在学习时要特别注意它们的概念及其相关性质。
一、平方的逆运算――开平方
教师问:“3的平方等于几,”
学生回答:“等于9。”
教师继续问:“什么数的平方等于9 ,”粗心的学生会答:“3的平方。”细心的学生会说:“-3的平方也等于9。”
求3的平方等于几的运算叫做平方,求什么数的平方等于9的运算叫做开平方,两者互为逆运算,和加与减、乘与除互为逆运算的原理相同。但是,3的平方等于9,而9开平方后等于3或-3,这和加与减、乘与除等逆运算的结果具有的唯一性不同。正是这个不同,造成了学生的困扰,所以需要教师认真对待。
二、平方根的定义
一般来说,不为零的两个数互为相反数时,它们的平方是同一个正数,所以一个正数有两个平方根,这两个平方根互为相反数。0的平方等于0,所以0的平方根只有一个,那就是零。任何实数的平方都不会是负数,所以负数(在实数范围内)没有平方根。综上所述,正数开平方的结果是两个数,这两个数互为相反数;零开平方的结果还是零;负数(在实数范围内)不能开平方。
三、符号“ ”和算术平方根的区别
正数有两个平方根,它们一正一负互为相反数,我们把正的那个数称作算术平方根,并把它记
作 ,读作a的算术平方根,正数a的两个平方根就写作 和- ,也可以写成? 。如果a是负数,那么就没有意义了,所以算术平方根具有非负性,即
?0(a?0)。
学生要注意:千万不能把“ ”看作是开平方的运算符号。如“ ”读作根号9,它代
表
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9的算术平方根,即9的算术平方根是3,但千万不能把 读作9开平方,不能把-3看作是9的平方根。
四、 = |a|
我们都知道(+a)2=a2,(-a)2=a2,所以a2的平方根有两个,即+a和-a,那么a2的算术平方根呢,粗心的学生会说是+a,而细心的学生会说 代表a2的算术平方根,它是+a和-a中正的那一个,而+a不一定是正数,-a也不一定是负数,所以 究竟等于+a还是-a,要看a的正负而定:?当a>0时,+a>0,所以 =+a;?当a0,所以 =-a;?当a=0
时,+a=-a=0,所以 =0。由上述结果可知, 与a的绝对值(即|a|)完全相等,所以我们得到以下结论:? =|a|=a(a>0);? =|a|=-a(a<0);? = |a|=0(a=0)。
五、平方根与算数平方根的不同作用
解题中遇到开平方时,就必然涉及平方根和算术平方根。这就要求学生能非常清楚地理解其定义,对它们的联系与区别要烂熟于心。下面的例题能让我们更好地区分平方根与算数平方根。
例1.求下列各数的算术平方根
(1)1.21 (2)4-1 (3)(- ) 2 (4)
解:(1)?1.12= 1.21
? 1.21的算术平方根是1.1,即 =1.1。
(2)?4-1= , 且 ( ) 2=
?4-1的算术平方根为 ,即 = 。
(3)? 表示求4的算术平方根
? =2
?(- ) 2 =(-2) 2=4,而2 2=4
?(- ) 2的算术平方根是2,即 (- ) 2 =2
(4)? 表示16的算术平方根
? =4
? = =2,即 的算术平方根是2。
例2.求下列各式中的x
(1)4x2=121 (2)(2x+3)2-16=0
解:(1)?x2=
? x= ?
(2)?(2x+3)2=16,2x+3=?4
?x= 或x=-
例3.设等式 a(x-a)+ a(y-a)= x-a- a-y成立,其中a、x、y是两两不同的有理数,求 。
解:? 若 a(x-a)+ a(y-a)= x-a- a-y成立
?
由(1)(3)得a?0由(2)(4)得a?0 ?a=0。
-y。 即0= x- -y ? x= -y 即x=
?
。
(作者单位:江西省赣州市南康区三益中学)