第19讲 三角形的四心

第19讲 三角形的四心 第19讲 三角形的“四心” 有一个人开始跟欧几里德学习几何学～当他学完第一个命题时～ 他就问欧几里德:我能通过学习这些东西得到什么好处呢,于是欧 几里德叫来他的仆人～并说:给他三个便士～因为他想从所学的知 识中获取实利。 ——斯托比亚斯 知识方法扫描 1(三角形的三条角平分线交于一点，这点是三角形的内切圆的圆心，称为三角形的内心。 如果?ABC的内心为I，则有 ? I 到?ABC的三边距离相等; 1? ?AIB,90?，?C; 2 ? 若延长CI交三角形ABC的外接圆于D，则DA=DB=DI。 2(三角形的三边的垂直平分线交于一点，这点是三角形的外接圆的圆心，称为三角形的外心。。 如果?ABC的外心为O，则有 ? O到三个顶点的距离相等; ? ?AOB,2?C; ? 外心到一边的距离等于这边所对的顶点到垂心的距离的一半。 3(三角形的三条中线交于一点，这点称为三角形的重心。 如果?ABC的重心为G，则有 ? 重心到一个顶点的距离是到对边中点距离的2倍; ? ?ABG，?BCG，?CAG的面积相等。 4(三角形的三条高所在的直线交于一点，这点称为三角形的垂心。 如果?ABC的垂心为H ，则有 ?若?ABC是锐角三角形 ，则?AHB,180?,?C; ?若AD是?ABC的高，AD交三角形ABC的外接圆于E，则DE=DH。 经典例题解析 例1(1995年全国初中数学联赛试题)如图, 已知?ACE,?CDE,90?, 点B在CE上, CA,CB,CD, 过A、C、D三点的圆交AB于F. 求证:F为?CDE的内心. 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 若连结DF、CF, 显然要 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 DF平分?CDE, CF平分?DCE. 证明DF平分?CDE只要证?CDF,45?, 这是容易解决的. 证明CF平分?DCE可以转证?CFD, ?CFB, 这样便于与已知条件CA,CD沟通起来. 证明 ??ACE,90?, CA,CB, ??A,45?. 连结DF, 则?CDF,?A,45?. ??CDE,90?, ?DF平分?CDE. 连结AD、CF. ?CA,CD, ??CAD,?CDA. ??CFD与?CAD互补, ?CFB与?CFA互补, 而?CFA,?CDA, ??CFB与?CDA互补. ??CFD,?CFB. ?F是?CDE的内心. 例2 (河南省第三届初中数学竞赛试题) 一条直线DE平分?ABC的周长, 同时直线DE又平分了?ABC的面积. 求证:直线DE经过?ABC的内切圆圆心O. 证明 如图, 设点D、E分别在边AB、AC上, r为?ABC的内切圆半径, 连结AO、BO、CO、DO、EO, 由题设, 得: AD，AE,BD，BC，CE, rr?r,0, ?(AD，AE),(BD，BC，CE). 22 结合图形, 得: S，S,S，S，S ? ?????AODAOEDOBBOCCOE 又?DE平分?ABC的面积, 由图可知 S,S ? ?四边形ADEBCED 比较?、?, 可知只有当S,0时, 才能使两个等式都成立.，所以直线?DOE ?ABC的内切圆圆心O. DE经过 从而O点必在DE上, 即直线DE经过?ABC的内切圆圆心. 例3(2001年我爱数学初中生夏令试题)在锐角?ABC中，AD?BC，D为垂足;DE?AC，E为垂足;DF?AB，F为垂足，O为?ABC的外心，求证: 1)?ABC??AEF;(2)AO?EF。 (A证明 (1)如图，因DE?AC，DF?AB，故A，F，D，E 四点共圆。 故?AEF,?ADF,90?,?BDF,?B。 又?A ,?A，所以?ABC??AEF。 FO (2)延长AO交?ABC的外接圆于K，因?C,?K，E又?ABK,?ADC， CBD故?BAK,?DA C。 K又?AFE=?ADE=?C， 因此?BAK+?AFE,?C+?DA C,90?，故AO?EF。 例 4 (2002年全国初中数学联赛试题) 如图所示, 在等腰?ABC中, P为底边BC上任意一点, 过P作两腰的平行线分别与AB、AC相交于Q、R两点, 又P′是P关于直线PQ的对称点. 证明:?P′QB??P′RC. 证明 如图, 连结P′B、P′C、P′Q、P′P. ?PQ?AC, ?QP,QB. 又?点P、P′关于QR对称, ?QP,QP′. ?P′Q,QP,QB. 故点Q为?P′BP的外心. 同理, 点P为?P′PC的外心. ?P′QB,2?P′PB,2(180?,?P′PC) ,360?,?P′PC,?P′PR,?RPC ,360?,?P′PC,?PP′R,?PCR ,?P′RC, 且QP′,QB, RP′,PC. ,,QPRP即,,1, 故?P′QB??P′RC. QBRC 例5(2002年湖北省初中数学竞赛试题)如图，?ABC的三边满足关系1BC=(AB+AC)，O、I分别为?ABC的外心、内心，?BAC的外角平分线交2 ?O于E，AI的延长线交?O于D，DE交BC于H，求证: 1(1)AI=BD; (2)OI=AE。 2EE AA G IOIO H HCB CBD D1证明(1)作IG?AB,连结BI, 有AG=(AB+AC-BC), 2 11因BC=(AB+AC), 故AG=BC。 22 BDDC,由I为?ABC的内心，, 且DE为?O的直径，故DE?BC，1BH=BC，于是AG=BH。 2 1由?GAI=?DBH=?BAC，?AGI=?BHD=90º，故Rt?AGI??BHD，2 AI=BD。 (2)因?IBD=?IBH+?HBD=?ABI+?BAI=?BID，故BD=DI。所以 1AI=DI，于是OI为ΔADE的中位线，OI=AE。 2 例6(1992年湖北省黄冈地区初中数学竞赛试题)在?ABC中,G为重心,P为 内部一点,直线PG交直线BC,CA,AB于A',B',C'。证明: APBPCP''' ，，,3.AGBGCG''' A C'GPB' BA'CHK 证明 连结GA，GB，GC，PA，PB，PC。作PH?BC于H，GK?BC于K. SSSAP'BP'PHCP'PBCPCAPAB==, 同理，=，=。 SSSGKCG'AG'BG'GBCGCAGAB 1因G为?ABC的重心，故有S=S=S=S， ????GBCGCAGABABC3 SSAPBPCP'''SPBCPCAPAB=++ ，，111AGBGCG'''SSSABCABCABC333 SSS，，PBCPCAPAB==3。 1SABC3 例7 (1995年江苏省初中数学竞赛试题) 如图, AB、BC、CD分别与圆相切于E、F、G, AB,BC,CD, 连接AC与BD相交于点P, 连接PF. 求证:PF?BC. 证明 如图, 设圆心为O, 连接BO, 根据切线长定理, BO是?ABC的角平分线. 在等腰?ABC中, ?BO平分?ABC, ?BO?AC, 连接CO, 同理可得CO?BD. 在?PBC中, ?BO?AC, CO?BD, ?O是?PBC的垂心, ?PO?BC, 由切线性质, 可知PO一定过切点F, 故 PF?BC. 例8求证:(1)三角形的一个顶点到垂心的距离，是外心到对边距离的2倍 (2)三角形的垂心，重心，外心在一条直线上，且垂心到重心的距离是外心到重心的距离的2倍 A证明 如图，H是?ABC的垂心，O是?ABC的外心， KOM?BC于M 。作?ABC的外接圆O，作圆的直径CK， 连结AK， BK，则BK?BC。 GOE(1)因AD?BC，于是AD?BK，同理AK?BE，四H边形AHBK是平行四边形，AH=KB。 CMDB1但OM是?KBC的中位线，OM=BK， 2 于是AH=BK=2OM，即三角形的一个顶点到垂心的距离，是外心到对边距离的2倍 (2) 连结AM，OH交于G点，显然?AHG??MOG，相似比为AH:OM=2:1。于是AG:GM=2:1，即G是?ABC的重心。故三角形的垂心，重心，外心在一条直线上。又HG:GO=2:1，即垂心到重心的距离是外心到重心的距离的2倍。 评注 本题即为著名的欧拉线，欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理:三角形的重心在欧拉线上，即三角形的重心、垂心和外心共线。他证明了在任意三角形中，重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半。 同步训练 一( 选择题 1((1996年“祖冲之杯”初中数学竞赛试题)已知H是?ABC的垂心, ?ABC的外接圆半径为R, ?BHC外接圆半径为r, 则R与r的大小关系是(三角形的三 条高线交于一点, 这点称为三角形的垂心)( )。. (A) R,r (B) R,r (C) R,r (D) ?ABC是锐角三角形时, R,r;?ABC为钝角三角形时, R,r 2((1998年“数学新蕾”竞赛试题)已知Rt?ABC的两直角边AB,4, AC,3, P为?ABC内一点, PD?BC, 垂足为D, PE?AC, 垂足为E, PF?AB, 垂足为F, 设 435PF,x, PE,y, PD,z, 且，，,12, 则P一定是?ABC的 xyz (A) 内心 (B) 外心 (C) 垂心 (D) 重心 3((2007年全国初中数学联合竞赛试题)已知锐角?的顶点到垂心AABC的距离等于它的外接圆的半径，则?的度数是( ) AH (A)30?. (B)45?. (C)60?. (D)75?. 4((1994年江苏省初中数学竞赛试题)锐角?ABC的三边两两不等, D是BC边上一点, 且?BAD，?C,90?, 则AD一定过?ABC的( ) (A) 垂心 (B) 内心 (C) 外心 (D)重心 5((2007年江苏数学奥林匹克夏令营初中组试题)已知点 I 是锐角?ABC的内心，A,B, C分别是点 I 关于 BC,CA,AB 111 的对称点. 若点 B在的外接圆上，则?ABC等于 ( ). ? ?? ?(A) 30 (B) 45 (C) 60 (D) 90 二(填空题 6(?ABC中, AB,AC, ?A,40?, 延长AC到D, 使CD,BC, 若点P是?ABD的内心, 则?BPC,________. 7((2002年全国初中数学竞赛辽宁省预赛试题)在?ABC中，O是外心，I 是内心，若?BOC=100?，则?BIC的度数是______。 8((1991年上海市初三数学竞赛试题)设M是?ABC的重心,且AM=3,BM=4,CM=5,则?ABC的面积为 . 9((2008年福建初中数学竞赛试题)?ABC中，AB,7，BC,8，CA,9，过?ABC的内切圆圆心l作DE?BC，分别与AB、AC相交于点D，E，则DE的长为 。 10((1995年河南省濮阳市初中数学竞赛试题)设O点为锐角?ABC的外心, 111，，连接AO、BO、CO, 并延长分别交对边于L、M、N, 则,______. ALBMCN(设R为?ABC的外接圆半径) 三(解答题 11((第20届国际数学奥林匹克试题)在?ABC中，边AB=AC，有一个圆内切于?ABC的外接圆，并且与AB、AC分别相切于P、Q(求证:P、Q两点 A连线的中点是?ABC的内切圆圆心( 12((1999年全国初中数学联赛武汉选拔赛试题)已知 Rt?ABC中，CD是斜边上的高，O,O,O分别是?ABC, ?ACD, 12O1D?BCD的内心，求证:(1)OO?CO(2)OC=OO 1212O O2 BC 13((1998年黄冈市初中数学竞赛试题)在?ABC中是否存在一点P, 使得过P点的任意一直线都将该?ABC分成等面积的两部分,为什么, 14(如图, AO是等腰三角形ABC的底边BC上的高, 且AO,BC, 延长AB于D, 使BD,AB, 过点D作AC的垂线, 交AC的延长线于E, 延长AO于F, 使OF,AO, 连结FD、FE, 求证: (1) F为?ODE的外心; (2) O为?ADE的内心. A OBC E FD第14题图 第15题图 15((1998年全国初中数学联赛试题)如图, P为平行四边形ABCD内一点, O , M、N分别为PB、PC的中点, Q为AN与DM的交点. 求为AC与BD的交点 证: (1)P、Q、O三点在一条直线上; (2)PQ,2OQ. 同步训练题参考 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 A1. A F作?ABC的外接圆，延长高AD，交圆于G。易证 HE?BHC??BGC，故?BHC的外接圆与?BGC的外接圆半径 相等，也就是?BHC的外接圆与?ABC的外接圆半径相等。 BCD2(A G?AB,4, BC,3, ?BC,5, 连接PA、PB、PC. 则S，S，S,S, ????PABPACPBCABC 1111??4x，?3y，?5y,?3?4, 2222 ?4x，3y，5z,12, ? 435，，,12又 ? xyz 111?，?, 得4(x，)，3(y，)，5(z，),24, yxz 1112224(x,)，3(y,)，5(z,),0即. xyz 111x,y,z,?, , , ?x,y,z,1. 即点P到三边的距离相等. yxz ?P为?ABC的内心. A 3(C. 锐角?的垂心在三角形内部，如图，设? ABCABCE 的外心为，为的中点，的延长线交?于点，DEOBCBOOO 连、，则//，//， AEAHAECECECHH 则， OB,AH,CE,2ODC B D 所以?,30?，?,60?， OBDBOD 所以?,?,60?. ABOD 4.C (1) 如图(a)若AD过垂心, 则AD?BC, ?1，?B,90?, 又?1，?2,90?, 故?2,?B, 得AB,AC, 与题设矛盾, 不能选(A). (2)若AD过内心, 则?1,?DAC, 由已知, 可得:?2，?DAC,90?, 故AD?BC, 与(1)不符, 故又可排除(B). ?ABC的外接圆, 如图(b), 则?1,?3, ??2，?3,90?, 故AF为直(3)作 径, 所以AD过外心. (4)若AD过重心, 则D为BC中点, 因AD过外心, 所以OD?BC, 即AD?BC, 与(1)不符, 故AD不过重心. 5(C 因为 IA = IB = IC = 2r (r 为?ABC 内切圆的半径), 所以 I 同时是 111 ?ABC的外接圆的圆心. 设IA 与 BC 的交点为D, 则IB = IA = 2ID, 故 11111????IBD = 30. 同理?IBA = 30,于是?ABC = 60. 6. 145? 1连结PD, 由内心性质, 得?BPD,90?，?A. 2 1??BCD,90?，?A, ??BPD,?BCD. 2 从而, B、D、C、P四点共圆, 因此, ?D,35?, 所以, ?BPC,180?,35?,145?. 7(115º 11?A=?BOC=50º，?B+?C=130 º，?BIC=180º-(?B+?C)=115 º 22 8. 18 A延长MD到N ，使DN=DM，连结CN。则 MN=AM=3，CN=BM=4 ，又CM=5，于是?MCN FME1是直角三角形，且面积为••3•4=6，于是?MDC的BC2D面积为3，?ABC的面积为3•6=18。 N 16A 9( 3 ，内切圆I的 如图，设?ABC的三边长为abc,,h aI D E h半径为r，BC边上的高为，则 r a 11B C ， ahSabcr,,，，() aABC,22 ra,所以 。 habc，，a hr,DEa,,因为?ADE??ABC，所以它们对应线段成比例，因此所以hBCahr,raabc()，8(79)16，，a,,,,,,aaa(1)(1)DE,，故 DE,。 ,hhabcabc，，，，8796，，aa 210. R SSAO,ABO,ACO,,如图, ?, ?由等比定理, 得: SSAL,ABL,ACL SS，AO,ABO,ACO, ? SAL,ABC SS，BO,ABO,BCO同理, , ? SBM,ABC SS，CO,ACO,BCO, ? SCN,ABC AOBOCO?，?，?得:，，,2, ?AO,BO,CO,R, ALBMCN 1112，，,?. ALBNCNR 11(如图(设D是两圆的切点，E是PQ的中点，连接AD、BE、PD、 BD(由于?ABC是等腰三角形，易知AD是?ABC外接圆的直径( 又因AB、AC和?ABC的内切圆相切于点P、Q，所以AP=AQ(因此E点一定在AD上，并且AE平分?A，AE?PQ, 于是弧PD=弧 QD, 所以?BPD=?EPD(又因为PD是公共边，所以，Rt?BPD?Rt?EPD，所以PB=PE，?PBE=?PEB。又因为AD?BC，AD?PQ，所以BC?PQ，?PEB=?EBC，于是有?PBE=?EBC。E是?ABC的内切圆圆心( AA OQPD1E FOO 2CB EDBC 第11题图 第12题图 12((1)由题设O,O都在?A的平分线上，设该平分线交C O于E。因12?A=?DCB,故?EAC=?OCB，于是?EAC+?ACE= ?OCB+?ACE =90º，故22?AEC=90º，OO?CO。 12 (2)由于点O ，O分别在?ACD和?DCB角的平分线上，故?O CO=45 1212º，由(1)?OEC=90º，有CE=E O 。同理设OO交C于F，则OF?CF，?O 1122O E=45 º，有O E =EO。又?CEO=?O E O，故?CEO??O E O，于是222121OC=OO. 12 13(如图, 假设存在点P满足条件, 连AP并延长交BC于D, 连BP并延长交AC于E. 则S,S, 故BD,CD. ??ABDACD 同理AE,CE. 则P为?ABC的重心. AP2故,. AD3 过P作GH?BC分别交AB、AC于G、H, 则 ?AGH??ABC. SAGAP4,AGH22()(),,,, SABAD9,ABC 则S:S,4:5, 即S?S. 故点P不能满足条件, 即不存?四边形?四边形AGHBCHGAGHBCHG 在这样的点P. 14((1)??ABC是等腰三角形, AO?BC, ?BO,OC, ?1,?2. A1?AB,BD, AO,DF, ?BO?DF, BO,DF. 2 ?DF,BC,AO,OF. OC?DF?BO, ?DF?AF。 B 又DE?AE, ?A、D、F、E四点共圆. E ??1,?2, ?弧DF,弧EF, ?DF,EF. ?DF =,,=EF, ?F为?ODE的外心. FD 1(2)?F为?ODE的外心, ??OED,?OFD,45?. 2 ??AEO,45?, 即EO是?AED的平分线. 又AO是?DAE的平分线, ?O为?ADE的内心. 15(连结AP、PO. 设PO交AN于Q′. 在?PAC中, N、O分别是PC、AC的中点, ?Q′是?PAC的重心, PQ′,2OQ′. 同样地, 连结DP, 设PO交DM于Q″. 在?DPB中, O、N分别是DB、PB的中点, ?Q″是?DPB的重心, ?PQ″,2OQ″. ?Q′、Q″都在PO上, ?Q′、Q″是同一点, 这一点就是AN与DM的交点. ?P、Q、O在一条直线上, 且PQ,2OQ. DCNP Q MO AB