2013年考研数三真题解析

倚窗远眺，眼光眼光尽处必有一座山，那隐隐约约的黛绿色的影，是春季的颜色。周遭流岚升腾，没露出那真切的面貌。面对那流转的薄雾，我会想象，那里有一个世外桃源。在天阶夜色凉如水的夏夜，我会静静地，静静地，等候一场流星雨的到临许下一个梦想，不恳求去实现，起码，以前，有那么一刻，我那还未枯败的，青春的，诗意的心，在我最美的年光里，同星空做了一次灵魂的沟通秋天里，阳光其实不刺目，天空是一碧如洗的蓝，点缀着俊逸的流云。有时，一片飞舞的落叶，会飘到我的窗前。斑驳的印迹里，携刻着暮秋的颜色。在一个落雪的晨，这纷繁扬扬的雪，飘落着一如千年前的洁白。窗外，是未被污染的银白色世界。我会去迎接，此人间的圣洁。在这流转的光阴里，有着流转的四时，还有一颗流转的心，亘古不变的心。2013年考研数三真题及答案 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 一、选择题1—8小题．每题4分，共32分．、１．当x0时，用o(x) 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示比x高阶的无量小，则以下式子中错误的选项是（）（A）(2)(3)（B）23xoxoxo(x)o(x)o(x)（C）(2)(2)(2)（D）22oxoxoxo(x)o(x)o(x)【详解】由高阶无量小的定义可知（A）（B）（C）都是正确的，关于（D）可找出反例，例如当x0时()23(),()3(2)，但而不是fxxxoxgxxoxf(x)g(x)o(x)o(x2)故应当选（D）．x2．函数f(x)x1的可去中断点的个数为（）x(x1)lnx（A）0（B）1（C）2（D）3【详解】当xlnx0时，xx1exlnx1~xlnx，xlimf(x)limx1limxlnx1，因此x0是函数f(x)的可去中断点．x0x0x(x1)lnxx0xlnxx1limf(x)limx1limxlnxx1是函数f(x)的可去中断点．，因此x1x1x(x1)lnxx02xlnx2xxxlnxlimf(x)lim1lim，因此因此x1不是函数f(x)的1x(xx1x1)lnxx1(x1)lnx可去中断点．故应当选（C）．３．设Dk是圆域D(x,y)|x2y21的第k象限的部分，记Ik(yx)dxdy，则Dk（）（A）I1BI20I30DI400（）（C）（）【详解】由极坐标系下二重积分的计算可知k212dr1Ik(yx)dxdyd(sincos)r(k1)03Dk21kk2sin1cos|32k2k1(sin2sin)d因此I1I30,I22,I42，应当选（B）．33４．设an为正项数列，则以下选择项正确的选项是（）（A）若ann1，则(1)n1an收敛；an1（B）若(1)n1an收敛，则aa；nn1n1（C）若an收敛．则存在常数P1，使limnpan存在；nn1（D）若存在常数P1，使limnpan存在，则an收敛．nn1【详解】由正项级数的比较审敛法，可知选项（D）正确，故应选（Ｄ）．此小题的（A）（B）选项想考察的交织级数收敛的莱布尼兹条件，关于选项（A），但少一条件liman0，明显错误．而莱布尼兹条件不过交织级数收敛的充足条件，不是必需条件，n选项（B）也不正确，反例自己去结构．５．设Ａ，Ｂ，Ｃ均为n阶矩阵，若ＡＢ＝Ｃ，且Ｂ可逆，则（A）矩阵C的行向量组与矩阵A的行向量组等价．（B）矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价．（C）矩阵C的行向量组与矩阵B的行向量组等价．（D）矩阵C的列向量组与矩阵B的列向量组等价．【详解】把矩阵A，C列分块以下：A,,,,,12n12n，因为ＡＢ＝Ｃ，,C,则可知ibi11bi22binn(i1,2,,n)，获得矩阵C的列向量组可用矩阵A的列向量组线性表示．同时因为B可逆，即ACB1，同理可知矩阵A的列向量组可用矩阵C的列向量组线性表示，因此矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价．应当选（B）．1a12006．矩阵aba与矩阵0b0相像的充足必需条件是1a1000（A）a0,b2（B）a0，b为随意常数（C）a2,b0（D）a2，b为随意常数2001a1200【详解】注意矩阵0b0是对角矩阵，因此矩阵A=aba与矩阵0b0相0001a1000似的充足必需条件是两个矩阵的特点值对应相等．1a1EAaba(2(b2)2b2a2)1a1进而可知2b2a22b，即a0，b为随意常数，应选择（B）．7．设X1,X2,X3是随机变量，且X1~N(0,1),X2~N(0,22),X3~N(5,32)，PiP2Xi2，则（A）P1P2P3（B）P2P1P3（C）P3P2P1（D）P1P3P2【详解】若X~N(,2)，则X~N(0,1)P12(2)1，P2P2X22P1X22(1)1，12P3P2X325X3525772P33(1)1)333，7P3P213(1)23(1)0．3应选择（A）．8．设随机变量X和Y互相独立，且X和Y的概率散布分别为X012P1/21/41/8Y-10P1/31/3则PXY2（）（A）1（B）1（C）1（D）12863P1/811/312【详解】PXY2PX1,Y1PX2,Y0PX11113,Y1，应选择（C）．1224246二、填空题（此题共6小题，每题4分，满分24分.把答案填在题中横线上）9．设曲线yf(x)和yx2x在点1,0处有切线，则limnfn．nn2【详解】由条件可知f10,f'(1)1．因此f12f(1)limnfnnlimn22f'(1)2n2n2n2n22n10．设函数zzx,y是由方程zyxxy确立，则z|(1,2)．x【详解】设Fxyzzyxxy，则,,()Fxx,y,z(zy)xlzy)y,Fz(x,ny,z)x(zy)x1，(当x1,y2时，z0，因此z|(1,2)22ln2．x11．lnxdx．(121x)【详解】lnx2dxlnxd1lnx|11dxlnx|1ln211x1x1x)x1(1x)1x(112．微分方程y1yy0的通解为．4【详解】方程的特点方程为r110，两个特点根分别为12，因此方程通42x解为y(C1C2x)e2，此中C1,C2为随意常数．13．设Aa是三阶非零矩阵，A为其队列式，Aij为元素aij的代数余子式，且知足ijAa0(i,j1,2,3)，则A=．ijij【详解】由条件Aa0(i,j1,2,3)可知AA*T0，此中A*为A的陪伴矩阵，从ijij而可知T31A*A*AA，因此A可能为1或0．n,r(A)n但由结论r(A*)1,r(A)n1可知，AA*T0可知r(A)r(A*),陪伴矩阵的秩只0,r(A)n1能为3，因此A1.14．设随机变量X听从 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 正散布X~N(0,1)，则EXe2X．【详解】EXe2X2xe2x1e2dxxe22t2(x2)22(x2)222dx2dxe(x22)e22e2te2dt2e2dte2E(X)2e22e2．2因此为2e2．三、解答题15．（此题满分10分）当x0时，1cosxcos2xcos3x与axn是等价无量小，求常数a,n．【剖析】主假如考察x0经常有函数的马克劳林睁开式．【详解】当x0时，cxo1sx12o(x2)，2cos2x11(2x)2o(x2)12x2o(x2)，2cos3x11(3x)2o(x2)19x2o(x2)，所22以1cosxcos2xcos3x1(11x2o(x2))(12x2o(x2))(19x2o(x2))7x2o(x2)，22因为1cosxcos2xcos3x与axn是等价无量小，因此a7,n2．16．（此题满分10分）设D是由曲线y3Vx,Vy分别是D绕x，直线xa(a0)及x轴所转成的平面图形，x轴和y轴旋转一周所形成的立体的体积，若10Vxy，求的值．Va【详解】由微元法可知25aa3Vxy2dxx3dxa3；005a46aaVy2xf(x)dx2x3dx0077；由条件10VxVy，知a77．17．（此题满分10分）设平面地区D是由曲线x3y,y3x,xy8所围成，求x2dxdy．D【详解】x2dxdyx2dxdy23x68xdy416x2dxdyx2dxxdyx2dxx．023DD1D23318．（此题满分10分）设生产某产品的固定成本为6000元，可变为本为20元/件，价钱函数为P60Q,（P是单价，单位：元，Q是销量，单位：件），已知产销均衡，求：10001）该的边沿收益．2）当P=50时的边沿收益，并解说其经济意义．3）使得收益最大的订价P．【详解】y，则yPQ(600020Q)40QQ2（1）设收益为6000，1000边沿收益为y'40Q.500（2）当P=50时，Q=10000，边沿收益为20．经济意义为：当P=50时，销量每增添一个，收益增添20．（3）令y'0，得Q20000,P602000040.1000019．（此题满分10分）设函数fx在[0,)上可导，f00，且limf(x)2，证明x（1）存在a0，使得fa1;1（2）对（1）中的a，存在(0,a)，使得f'()．a【详解】证明（1）因为limf(x)2，因此存在X0，当xX时，有35f(x)，x22又因为fx在[0,)上连续，且f00，由介值定理，存在a0，使得fa1;（2）函数fx在[0,a]上可导，由拉格朗日中值定理，存在(0,a)，使得f(a)f(0)1f'()．aa20．（此题满分11分）1a01C，使得ACCAB，并求出设A,B，问当a,b为什么值时，存在矩阵101b全部矩阵C．【详解】明显由ACCAB可知，假如C存在，则一定是x1x22阶的方阵．设C，x3x4则ACCAB变形为x2ax3ax1x2ax401，x1x3x4x2ax31bx2ax30ax1x2ax41即获得线性方程组，要使C存在，此线性方程组一定有解，于是对方x1x3x41x2ax3b程组的增广矩阵进行初等行变换以下01a0010111a10a101a00A|b，1011100001a01a0b0000b因此，当此时，a1,b0时，线性方程组有解，即存在矩阵C，使得ACCAB．1011101100A|b，0000000000x1111x2010CAB的矩阵因此方程组的通解为x0C1C2，也就是知足ACx310x4001为1C1C2C1，此中C1,C2C为随意常数．C1C221．（此题满分11分）设二次型f(x12311223321122332．记,x,x)2(axaxax)(bxbxbx)a1b1a2,b2．a3b3（1）证明二次型f对应的矩阵为2TT；,22（2）若正交且为单位向量，证明2y12．f在正交变换下的标准形为y【详解】证明：（1）f(x1,x2,x3)2(a1x1a2x2a3x3)2(b1x1b2x2b3x3)2a1x1bx112x1,x2,x3a2a1,a2,a3x2x1,x2,x3b2b1,b2,b3x2a3x3b3x3x1x1x,x,x2Txx,x,xT2x2123123x3x3x1x,x,x2TTx2123x3因此二次型f对应的矩阵为2TT．证明（2）设A2TT，因为1,T0则ATT2T12的特点222，因此为矩阵对应特点值向量；ATT22量；而矩阵A的秩()(2rArT2，因此为矩阵对应特点值21的特点向TT)(2T)(T)2，因此也是矩阵的rr30一个特点值．故f在正交变换下的标准形为2y12y22．22．（此题满分11分）设X,Y是二维随机变量，X的边缘概率密度为fX(x)3x2,0x1，在给定0,其余3y2,0yx,Xx(0x1)的条件下，Y的条件概率密度为fY(y/x)x3．X（1）求X,Y的结合概率密度fx,y；（2）Y的的边沿概率密度fY(y)．【详解】（1）X,Y的结合概率密度fx,y：9y2fx,yfY(y/x)fX(x)x,0X0,（2）Y的的边沿概率密度fY(y)：19y2fY(y)f(x,y)dxdx9y2lny,0yyx0,其余23．（此题满分11分）2ex,x0设整体X的概率密度为f(x;)x3，此中0,其余0,其余x1,0yx其余1为为未知参数且大于零，X1X2,Xn为来自整体X的简单随机样本．1）求的矩预计量；2）求的极大似然预计量．【详解】（1）先求出整体的数学希望E（X）2E(X)xf(x)dx02exdx，x1n1令E(X)XXi，得的矩预计量Xnn1n（2）当xi0(i1,2,n)时，似然函数为nXi．i1nL()i1n取对数，lnL()2nlni1令dlnL()2nn10，得di1xi解得的极大似然预计量为．2n12nexiei1xixi33，nxii11n3lnxi，xii1，