《圆与圆的位置关系》教学设计【高中数学】

《圆与圆的位置关系》教学 设计 领导形象设计圆作业设计ao工艺污水处理厂设计附属工程施工组织设计清扫机器人结构设计 引入新课问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 1：圆与圆有哪些位置关系？A.和直线与圆位置关系一致，分为三种位置关系，相离、相切、相交;B.相离继续划分为外离、内含；将相切划分为外切与内切. 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 ：A、B两个选项都正确，A选项的分类 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 是两圆公共点的个数，B选项，考虑公共点个数外还要考虑两圆其他点的相对位置关系.根据圆与圆公共点的个数,可以把圆与圆的位置关系分为三种.第一种，两圆没有公共点，相离.由于圆是个封闭的图形，根据每个圆上的点都在另一个圆外，或一个圆上的点都在另一圆内两种情况，分为圆与圆外离、内含两种.第二种，两圆只有一个公共点，圆与圆相切.在此基础上，圆上除公共点外的其他点，都在另一个圆的外部或内部，针对这两种情况，分别称之为圆与圆外切、内切.第三种，两圆相交，等价于两圆有两个公共点.追问：如何判断圆与圆之间的位置关系呢？答案：可以通过两圆公共点的个数、或者两圆圆心距与半径和、半径差之间的大小关系，判断两圆位置关系.令,若,两圆内切；,两圆外切；，两圆外离；，两圆内含；，两圆相交.定义可以作为两圆位置关系的第一种判断方法.第二种判断方法根据圆的几何性质，通过圆心之间距离的改变判断位置关系.圆心之间的距离叫做圆心距，或者连心线的长度.令|O1O2|=d,以两圆外切为例，连心线的长等于两圆半径和，圆与圆的位置关系外切，它们之间的关系是充分必要的.结论：判断两圆的位置关系的步骤及其判断方法如下:第一步：计算两圆的半径R，r；第二步：计算两圆的圆心距|O1O2|，即d；第三步：根据d与R，r之间的关系,判断两圆的位置关系.课堂探究问题2：如何用方程判断圆与圆之间的位置关系呢？答案：可以通过两圆方程联立消参后的方程组解的个数，判断公共点的个数，判断两圆位置关系；或通过方程计算两圆连心线长与半径和、半径差大小的比较进行判断.追问：你能比较两种方法的特征吗?答案：方程组实数解的个数只能用来判断交点个数，因此遇到进一步判断位置关系的问题还需要计算连心线的长度与半径和、半径差的大小比较；解方程组的方法优点是可以在两圆相交时可以求出公共点坐标.外离外切相交内切内含圆与圆公共点个数01210圆与圆方程联立消元后得到的方程d与R、rd＞R+rd=R+r|R-r|＜d＜R+rd=|R-r|d＜|R-r|知识应用例1已知圆,圆，试判断圆与圆的位置关系.追问1：圆的方程有几种形式？它们之间如何转化？答案：圆的方程有一般方程、标准方程两种形式.圆的一般方程（其中），可以通过配方法把圆的方程一般式化成标准方程.圆的几何要素—圆心与半径，通过标准方程才能提取，因此在位置关系的判断前，需要引导学生发现圆的方程的几何意义，从几何图形到代数 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 达，从代数表示回到几何图形，强调数到形的“翻译”，复习圆的方程，同时为后面解方程组奠定基础.追问2：判断圆与圆的位置关系有几种思路？答案：有两种思路，第一种是将圆与圆的位置关系问题，转化为连心线的长与两圆半径和、差的大小关系问题，从而判断两圆位置关系.第二种是转化为它们公共点的个数问题，而它们有几个公共点又由它们的方程组成的方程组有几组实数解确定；消元，求，从而判断两圆位置关系.解：（方法1）将圆的方程化为标准式，得到圆，其圆心，；圆，其圆心，.因此圆与圆连心线长,圆与圆半径和，圆与圆半径差因为,所以，所以圆与圆两圆相交.（方法2）将圆与圆联立，得到(1)(2)，得：(3),将(3)代入(1)并整理，得(4).因为方程(4)的根的判别式，所以方程组有两个实数根，把分别代入方程(3)，得到.因此圆与圆有两个公共点，,圆与圆相交.追问3：你能求出两圆公共弦所在直线方程吗？答案：追问4：公共弦所在直线方程与方程(3)一致，这是巧合吗？答案：公共弦可以由圆上两点确定，这两点既满足圆的方程，又满足公共弦方程，在代数方法上，公共弦方程与两圆方程联立组成的方程组（其几何意义即两圆交点坐标），是同解的，因此如果两圆相交，公共弦所在直线方程与方程(3)一定一致，这不是巧合.从代数角度看，满足方程(1)、(2)的方程组的解，必满足方程(3)，我们确定方程组有两个解，即两圆有两个公共点，那么两个点坐标满足方程(3)，两点确定一直线，因此方程(3)表示的就是两圆公共弦所在直线方程.追问5：如果所求根的判别式为0说明什么?由此能确定两圆是内切还是外切吗？判别式小于0呢？答案：根的判别式为0，只能判断两圆只有一个交点，两圆相切，无法判断外切还是内切;同理，当根的判别式小于0时，两圆没有公共点，两圆相离，同样无法确定外离还是内含.问题4:判断圆与圆的位置关系有哪些方法？答案：判断圆与圆的位置关系，可以通过连心线长与半径的比较，或者联立方程组成的方程组实数根的情况加以判断.判断圆与圆的位置关系也有两种思路：一种是根据连心线长与半径和、差的大小关系判断的方法，另一种是根据两圆公共点的个数判断.二者的差异在于，连心线长与半径比较的方法，可以区分两圆位置关系是相离关系中的外离、内含、相切关系中的外切、内切,计算上比较简洁，一定程度上简化运算；利用联立两圆方程组成的方程组的解的情况进行判断的方法，可以进一步确定公共点坐标.例2已知圆O的直径AB=4,动点M与动点A的距离是它与点B的距离的倍，试探究点M的轨迹，并判断该轨迹与圆O的位置关系.追问：什么是轨迹？答案：轨迹就是一个几何图形，是满足一定条件的点，在运动变化过程中形成的几何图形.比如平面内到点C距离等于10的点的轨迹，就是以C为圆心，10为半径的圆.再比如，平面内到点A的距离和它到点B的距离相等的点的轨迹，是线段AB的垂直平分线.这些动点的轨迹，根据条件画图可直接做出判断.我们可以这样来理解，轨迹是看待、描述几何图形的另一个角度，从点在某些特定条件下运动变化形成的，着重描述了几何图形的生成过程.在用坐标法研究几何图形性质的过程中，常常把图形看成点的集合或点运动形成的轨迹.所以求轨迹，就是求一个几何图形.解：（方法1）以线段AB的中点O为原点，AB所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系.由AB=4,得A(-2,0),B(2,0).设点M的坐标为(x,y).因为所以，化简得，即所以点M的轨迹是以P(6,0)为圆心，半径为的圆.两圆圆心距,两圆半径分别为,又,所以点M的轨迹与圆O相交.（方法2）利用两圆的方程联立，判断解的个数，（1）式减去（2）式，消去y，得到关于x的方程，解得，得到，所以点M的轨迹与圆O相交.如果点M的轨迹不是圆，仍可运用方法2，通过联立两个方程组成的方程组，通过方程组解的个数判断两个图形之间的位置关系.拓展：当MA与MB长度之比是其他数值时，M点的轨迹还是圆么？我们可以继续探索.因为，化简可得观察方程的结构，你能猜想出方程表示的点的轨迹是什么图形么？我们可以猜想，无论k取何值，M点的轨迹都应是圆，如何证明这件事情呢？,(k>0)，我们在几何画板中试验几个参数k的不同值,探究一下点M的轨迹.以B为圆心，线段a长为半径，作圆B，以A为圆心，ka长度为半径，作圆A，圆B圆A的交点，就是满足题意的M点，因此可以通过改变a的长度，得到M点的轨迹，比如给k赋值1.5，追踪M点的轨迹，发现点M的轨迹是圆.我们继续赋值，k=0.7，发现M点轨迹仍是圆；k=1时，即MA=MB时，我们再追踪一下M点的轨迹，M点运动形成的图形，是线段AB的垂直平分线.用几何画板可以对不同的k的取值作图，验证我们的猜想，但仍不能穷尽k的所有取值情况，最终判断动点轨迹，需要回到轨迹方程.这个二次方程是否表示圆呢？当时，方程为，可知点M的轨迹是线段AB的垂直平分线；当时，方程可化为，点M的轨迹是以为圆心，半径为的圆.为进一步拓展学生思维，教科书在此设置了一个边空问题供学生思考：如果把本例中的“倍”改为“倍”，你能分析并解决这个问题吗?教学时根据学生的实际情况，引导学生思考分析.问题3:你能归纳坐标法求轨迹问题的基本步骤吗？答案：坐标法求轨迹问题的基本思路是通过求动点轨迹方程求轨迹.将几何问题转化为代数问题，从而通过解决代数问题得到几何问题的结论.得轨迹方程后，需要利用方程的代数结构（比如几元、几次、最高次项系数有什么关系等等），翻译得到轨迹方程所对应的几何图形，这就是所求轨迹.数形结合一方面是几何图形的代数表达，另一方面是代数表达式的几何直观.对于圆与圆的五种位置关系，可以画图直接判断，也可以根据圆心距与两圆半径大小关系，或者两圆方程组成的方程组的个数加以判断.几何图形位置关系中的—相交、相切、相离，有了几何的、代数的不同的表达，代数表达式也同时拥有了几何意义.