全国初中数学竞赛题及参考答案

全国初中数学竞赛题及参考答案全国初中数学竞赛题及参考答案一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分.其中有且只有一个选项是正确的.请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1．若，则的值为（   ）．（A）       （B）      （C）      （D）解：   由题设得．代数式变形，同除b2．若实数a，b满足，则a的取值范围是（    ）．（A）a   （B）a4   （C）a≤或a≥4  （D）≤a≤4解．C因为b是实数，所以关于b的一元二次方程的判别式  ≥0,解得a≤或a≥4．方程思想，判别式定理；要解一元二次不等式3．如图，在四边形ABCD中，∠B＝135°，∠C＝120°，AB=，BC=，CD＝，则AD边的长为（  ）．（A）        （B）（C）      （D）解：D如图，过点A，D分别作AE，DF垂直于直线BC，垂足分别为E，F．由已知可得BE=AE=，CF＝，DF＝2，于是EF＝4＋．过点A作AG⊥DF，垂足为G．在Rt△ADG中，根据勾股定理得AD＝．勾股定理、涉及双重二次根式的化简，补全图形法4．在一列数……中，已知，且当k≥2时，（取整符号表示不超过实数的最大整数，例如，），则等于（   ）．(A)1         (B)2          (C)3           (D)4解：B由和可得，，，，，，，，……因为2010=4×502+2，所以=2．高斯函数；找规律。5．如图，在平面直角坐标系xOy中，等腰梯形ABCD的顶点坐标分别为A（1，1），B（2，－1），C（－2，－1），D（－1，1）．y轴上一点P（0，2）绕点A旋转180°得点P1，点P1绕点B旋转180°得点P2，点P2绕点C旋转180°得点P3，点P3绕点D旋转180°得点P4，……，重复操作依次得到点P1，P2，…，则点P2010的坐标是（   ）．                  （A）（2010，2）（B）（2010，）（C）（2012，） （D）（0，2）解：B由已知可以得到，点，的坐标分别为（2，0），（2，）．记，其中．根据对称关系，依次可以求得：，，，．令，同样可以求得，点的坐标为（），即（），由于2010=4502+2，所以点的坐标为（2010，）．二、填空题6．已知a＝－1，则2a3＋7a2－2a－12的值等于            ． 解：0 由已知得(a＋1)2＝5，所以a2＋2a＝4，于是2a3＋7a2－2a－12＝2a3＋4a2＋3a2－2a－12＝3a2＋6a－12＝0．7．一辆客车、一辆货车和一辆小轿车在一条笔直的公路上朝同一方向匀速行驶．在某一时刻，客车在前，小轿车在后，货车在客车与小轿车的正中间．过了10分钟，小轿车追上了货车；又过了5分钟，小轿车追上了客车；再过t分钟，货车追上了客车，则t＝            ．解：15设在某一时刻，货车与客车、小轿车的距离均为S千米，小轿车、货车、客车的速度分别为（千米/分），并设货车经x分钟追上客车，由题意得，              ①，             ②      ．              ③由①②，得，所以，x=30．      故（分）．   8．如图，在平面直角坐标系xOy中，多边形OABCDE的顶点坐标分别是O（0，0），A（0，6），B（4，6），C（4，4），D（6，4），E（6，0）．若直线l经过点M（2，3），且将多边形OABCDE分割成面积相等的两部分，则直线l的函数表达式是             ． 解：如图，延长BC交x轴于点F；连接OB，AFCE，DF，且相交于点N．由已知得点M（2，3）是OB，AF的中点，即点M为矩形ABFO的中心，所以直线把矩形ABFO分成面积相等的两部分．又因为点N（5，2）是矩形CDEF的中心，所以，过点N（5，2）的直线把矩形CDEF分成面积相等的两部分．于是，直线即为所求的直线．设直线的函数表达式为，则解得,故所求直线的函数表达式为．9．如图，射线AM，BN都垂直于线段AB，点E为AM上一点，过点A作BE的垂线AC分别交BE，BN于点F，C，过点C作AM的垂线CD，垂足为D．若CD＝CF，则        ． 解：见题图，设．因为Rt△AFB∽Rt△ABC，所以．又因为FC＝DC＝AB，所以即    ，解得，或（舍去）．又Rt△∽Rt△，所以， 即=．10．对于i=2，3，…，k，正整数n除以i所得的余数为i－1．若的最小值满足，则正整数的最小值为            ．解：     因为为的倍数，所以的最小值满足，其中表示的最小公倍数．由于，因此满足的正整数的最小值为． 三、解答题（共4题，每题20分，共80分）11．如图，△ABC为等腰三角形，AP是底边BC上的高，点D是线段PC上的一点，BE和CF分别是△ABD和△ACD的外接圆直径，连接EF.求证：（第12A题） ．（第12B题） （第12B题） 证明：如图，连接ED，FD.因为BE和CF都是直径，所以ED⊥BC，  FD⊥BC，因此D，E，F三点共线.  …………（5分）连接AE，AF，则，所以，△ABC∽△AEF.   …………（10分）作AH⊥EF，垂足为H，则AH=PD.由△ABC∽△AEF可得，从而                        ，        所以                        .    …………（20分）12．如图，抛物线（a0）与双曲线相交于点A，B.已知点A的坐标为（1，4），点B在第三象限内，且△AOB的面积为3（O为坐标原点）.（1）求实数a，b，k的值；（2）过抛物线上点A作直线AC∥x轴，交抛物线于另一点C，求所有满足△EOC∽△AOB的点E的坐标.解：（1）因为点A（1，4）在双曲线上，所以k=4.故双曲线的函数表达式为.设点B（t，），，AB所在直线的函数表达式为，则有   解得，.于是，直线AB与y轴的交点坐标为，故，整理得，解得，或t＝（舍去）．所以点B的坐标为（，）．因为点A，B都在抛物线（a0）上，所以解得  …………（10分）（2）如图，因为AC∥x轴，所以C（，4），于是CO＝4.又BO=2，所以.设抛物线（a0）与x轴负半轴相交于点D，则点D的坐标为（，0）.因为∠COD＝∠BOD＝，所以∠COB=.（i）将△绕点O顺时针旋转，得到△.这时，点(，2)是CO的中点，点的坐标为（4，）.延长到点，使得=，这时点（8，）是符合条件的点.（ii）作△关于x轴的对称图形△，得到点（1，）；延长到点，使得＝，这时点E２（2，）是符合条件的点．所以，点的坐标是（8，），或（2，）.        …………（20分）   13．求满足的所有素数p和正整数m.．解：由题设得，所以，由于p是素数，故，或. ……（5分）   （1）若，令，k是正整数，于是，，故，从而.所以解得           …………（10分）（2）若，令，k是正整数.当时，有，，故，从而，或2.   由于是奇数，所以，从而.   于是这不可能.当时，，；当，，无正整数解；当时，，无正整数解.综上所述，所求素数p=5，正整数m=9.                …………（20分） 14．从1，2，…，2010这2010个正整数中，最多可以取出多少个数，使得所取出的数中任意三个数之和都能被33整除？ 解：首先，如下61个数：11，，，…，（即1991）满足题设条件.                              …………（5分）   另一方面，设是从1，2，…，2010中取出的满足题设条件的数，对于这n个数中的任意4个数，因为，  ，所以                       .因此，所取的数中任意两数之差都是33的倍数.       …………（10分）设，i=1，2，3，…，n.由，得，所以，，即≥11.                …………（15分）≤，故≤60.所以，n≤61.综上所述，n的最大值为61.                       …………（20分）