卢湾区2010年高考第二次模拟考试数学试卷（文科）2010.4.说明：本试卷满分150分，考试时间120分钟．本套试卷另附答题纸，每道题的解答必须写在答题纸的相应位置，本卷上任何解答都不作评分依据．一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14小题，要求直接将结果填写在答题纸对应的空格中．每个空格填对得4分，填错或不填在正确的位置一律得零分．1．设集合，，若，则实数的取值范围是．2．函数（）的值域为．3．若，则的值等于．4．若函数，则方程的解．5．函数的最小正周期．6．的展开式中的常数项是．7．若体积为的正方体的各个顶点均在一球面上，则该球的体积为（结果保留）．8．从，，…，，这个数中，任意取两个不同的数，其乘积是奇数的概率为（结果用数值
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示）．9．若平面内不共线的四点满足，则_______．频率/组距第11题题10．若变量、满足约束条件则的最大值为．11．某公司为改善职工的出行条件，随机抽取名职工，调查他们的居住地与公司的距离(单位:千米)．若样本数据分组为，，，，，，由数据绘制的分布频率直方图如图所示，则样本中职工居住地与公司的距离不超过千米的人数为人．12．已知二次函数的图像为开口向下的抛物线，且对任意都有．若向量，，则满足不等式的的取值范围为．13．若不等式对于一切恒成立，则实数的最大值为．14．在平面直角坐标系中，横坐标和纵坐标均为整数的点称为整点，对任意自然数，联结原点与点，若用表示线段上除端点外的整点个数，则______．二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在答题纸相应的空格中．每题选对得4分，不选、选错或选出的代号超过一个，或者没有填写在题号对应的空格内，一律得零分．正前方15．如右图，已知底面为正方形的四棱锥，其一条侧棱垂直于底面，那么该四棱锥的三视图是下列各图中的（）．A．主视图左视图俯视图主视图左视图俯视图主视图左视图俯视图主视图左视图俯视图B．C．D．16．关于、的二元一次方程组的系数行列式是该方程组有解的（）． A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充分且必要条件 D．既非充分也非必要条件17．若函数（）为奇函数，且存在反函数（与不同），，则下列关于函数的奇偶性的说法中正确的是（）．A．是奇函数非偶函数B．是偶函数非奇函数C．既是奇函数又是偶函数D．既非奇函数又非偶函数18．已知曲线：，下列叙述中错误的是（）．A．垂直于轴的直线与曲线只有一个交点B．直线（）与曲线最多有三个交点C．曲线关于直线对称D．若，为曲线上任意两点，则有三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸
规定
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的方框内写出必要的步骤．19．（本题满分14分）已知关于的实系数一元二次方程有两个虚根，，且（为虚数单位），，求实数的值．20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．在长方体中，，过、、三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体，且这个几何体的体积为．（1）求棱的长；（2）若的中点为，求异面直线与所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．21．（本题满分16分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分8分．如图，反比例函数（）的图像过点和，点为该函数图像上一动点，过分别作轴、轴的垂线，垂足为、．记四边形（为坐标原点）与三角形的公共部分面积为．（1）求关于的表达式；（2）求的最大值及此时的值．22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．已知椭圆：（），其左、右焦点分别为、，且、、成等比数列．（1）求的值．（2）若椭圆的上顶点、右顶点分别为、，求证：．（3）若为椭圆上的任意一点，是否存在过点、的直线，使与轴的交点满足？若存在，求直线的斜率；若不存在，请说明理由．23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．从数列中取出部分项，并将它们按原来的顺序组成一个数列，称之为数列的一个子数列．设数列是一个首项为、公差为的无穷等差数列．（1）若，，成等比数列，求其公比．（2）若，从数列中取出第2项、第6项作为一个等比数列的第1项、第2项，试问该数列是否为的无穷等比子数列，请说明理由．（3）若，从数列中取出第1项、第项（设）作为一个等比数列的第1项、第2项．求证：当为大于1的正整数时，该数列为的无穷等比子数列．卢湾区2010年高考第二次模拟考试数学试卷（文科）参考答案及评分标准2010.4.一、填空题（本大题满分56分）1．2．3．4．5．6．7．8．9．10．11．12．13．14．二、选择题（本大题满分16分）15．B16．D17．A18．C三、解答题（本大题满分78分）19．（本题满分14分）解：由题设，得，，（6分）方程的两虚根为，，于是，（10分）由，得或．（14分）20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．解：（1）设，由题设，得，即，解得．故的长为．（6分）（2）因为在长方体中//，所以即为异面直线与所成的角（或其补角）．（8分）在△中，计算可得，则的余弦值为，故异面直线与所成角的大小为．（14分）21．（本题满分16分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分8分．解：（1）由题设，得（），（2分）当时，，当时，，当时，，故（8分）（2）易知当时，为单调递增函数，，（10分）当时，为单调递减函数，，（12分）当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减，（证明略），得，故的最大值为，此时．（16分）22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．解：（1）由题设及，得．（4分）（2）由题设，，又，得，，（8分）于是，故．（10分）（3）由题设，显然直线垂直于轴时不合题意，设直线的方程为，得，又，及，得点的坐标为，（12分）因为点在椭圆上，所以，又，得，，与矛盾,故不存在满足题意的直线．（16分）23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．（1）解：由题设，得，即，得，又，于是，故其公比．（4分）（2）解：设等比数列为，其公比，，（6分）由题设．假设数列为的无穷等比子数列，则对任意自然数，都存在，使，即，得，（8分）当时，，与假设矛盾，故该数列不为的无穷等比子数列．（10分）（3）即证明无穷等比数列中的每一项均为数列中的项．在等比数列中，，（12分）在等差数列中，，，（14分）若为数列中的第项，则由，得，整理得，（16分）由，均为正整数，得也为正整数，故无穷等比数列中的每一项均为数列中的项，得证．（18分）
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