2012北京西城四十三中高三（上）期中数学理（含解析）

北京43中2012—2013学年度上学期期中考试试卷高三数学（理科）2012．11．一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．复数（）．A．B．C．D．2．若集合，，则（）．A．B．C．D．3．已知两直线、，两平面、，且．下面有四个命题：1）若，则有； 2）若，则有；3）若，则有； 4）若，则有．其中正确命题的个数是：（）．A．　　　　B．　　　　C．　　　　 D．4．如图，圆内的正弦曲线与轴围成的区域记为（图中阴影部分），随机往圆内投一个点，则点落在区域内的概率是（）．A．B．C．D．5．在三棱锥中，，平面，．若其主视图，俯视图如图所示，则其左视图的面积为（）．A．B．C．D．6．某台小型晚会由个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在第四位、节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位，该台晚会节目演出顺序的编排 方案 气瓶 现场处置方案 .pdf气瓶 现场处置方案 .doc见习基地管理方案.doc关于群访事件的化解方案建筑工地扬尘治理专项方案下载 共有（）．A．种 B．种 C．种 D．种7．双曲线的渐近线与圆相切，则等于（）．A． B．C．D．8．点到图形上每一个点的距离的最小值称为点到图形的距离．已知点，圆，那么平面内到圆的距离与到点的距离之差为的点的轨迹是（）．A．双曲线的一支B．椭圆C．抛物线D．射线二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．请将 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 填写在答题卡对应题号的位置上．9．如图为圆的切线，为切点，，圆的面积为，则＿＿＿＿＿＿．10．曲线在点处的切线方程为＿＿＿＿＿＿．11．的二项展开式中，的系数是＿＿＿＿＿＿．（用数字作答）12．已知命题“”；命题“”，若且为假，或为真，则实数的取值范围是＿＿＿＿＿＿．13．已知双曲线的左顶点为，右焦点为，为双曲线右支上一点，则的最小值为＿＿＿＿＿＿．14．是抛物线的焦点，过焦点且倾斜角为的直线交抛物线于两点，设，则：①若且，则的值为＿＿＿＿＿＿；②＿＿＿＿＿＿．（用和表示）．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）盒中装有个零件，其中个是使用过的，另外个未经使用．（Ⅰ）从盒中每次随机抽取个零件，每次观察后都将零件放回盒中，求次抽取中恰有次抽到使用过的零件的概率；（Ⅱ）从盒中随机抽取个零件，使用后放回盒中，记此时盒中使用过的零件个数为，求的分布列和数学期望．16．（本小题满分14分）如图，三棱柱中，面，，，为的中点．（Ⅰ）求证：面；（Ⅱ）求二面角的余弦值；（Ⅲ）在侧棱上是否存在点，使得面？请证明你的结论．17．（本小题满分13分）已知函数，其中．（Ⅰ）求的单调区间；（Ⅱ）若在上的最大值是，求的值．18．（本小题满分13分）椭圆的离心率为，且过点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线与椭圆交于两点，为坐标原点，若为直角三角形，求的值．19．（本小题满分14分）设函数在处取得极值．（Ⅰ）求与满足的关系式；（Ⅱ）若，求函数的单调区间；（Ⅲ）若，函数，若存在，，使得成立，求的取值范围．20．（本小题满分14分）已知抛物线．（Ⅰ）若抛物线上点到焦点的距离为．（ⅰ）求抛物线的方程；（ⅱ）设抛物线的准线与轴的交点为，过作抛物线的切线，求此切线方程；（Ⅱ）设过焦点的动直线交抛物线于两点，连接，并延长分别交抛物线的准线于两点，求证：以为直径的圆过焦点．北京43中2012-2013学年第一学期期中试卷高三数学（理科）参考答案第一部分（选择题，共40分）一、选择题（每小题5分，共40分）1．A　　2．C　　3．C　　4．B　　5．D　　6．B　　7．A　　8．D第二部分（非选择题，共110分）二、填空题：（每小题5分，共30分）9．　　10．．　11．　12．　13．　14．；三、解答题：（本大题共6小题，共80分）15．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）记“从盒中随机抽取个零件，抽到的是使用过的零件”为事件，则．所以次抽取中恰有次抽到使用过的零件的概率．（Ⅱ）随机变量的所有取值为．；；．所以，随机变量的分布列为： ． 16．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）连接，与相交于，连接是矩形，是的中点，又是的中点，．面，面，面．（Ⅱ）如图，建立空间直角坐标系，则，，，，设是面的一个法向量，则即，令则．易知是面的一个法向量．．二面角的余弦值为．（Ⅲ）假设侧棱上存在一点，使得面．则，即方程组无解．假设不成立．侧棱上存在点，使面．17．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由题意可得函数的定义域为由求导公式可得：当时，，在单调递增；当时，令，可解得，即在单调递增，同理由，可解得，即在单调递减．（Ⅱ）由（1）可知：若时，在单调递增，故函数在处取到最大值，解得，与矛盾应舍去；若，即，函数在单调递增，在单调递减．故若，即时，在单调递增，故函数在处取到最大值，解得，应舍去．综上可得所求的值为：．18．（本小题满分13分）（Ⅰ）由已知，，所以，，又，所以，所以椭圆的方程为．（Ⅱ）联立，消去得，，令，即，解得．设两点的坐标分别为，，（ⅰ）当为直角时，则，，因为为直角，所以，即，所以，所以，解得．（ⅱ）当或为直角时，不妨设为直角，由直线的斜率为，可得直线的斜率为，所以，即，又，所以，，，经检验，所求值均符合题意，综上，的值为和．19．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）求导函数可得，由得．（Ⅱ）函数的定义域为，由（Ⅰ）可得．令，则，．因为是的极值点，所以，即．所以当时，， 所以单调递增区间为，，单调递减区间为．当时，，所以单调递增区间为，，单调递减区间为．（Ⅲ）当时，在上为增函数，在为减函数，所以的最大值为．因为函数在上是单调递增函数，所以的最小值为．所以在上恒成立．要使存在，使得成立，只需要，即，所以．又因为，所以的取值范围是．20．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）（ⅰ）由抛物线定义可知，抛物线上点到焦点的距离与到准线距离相等，即到的距离为．，解得．抛物线的方程为．（ⅱ）抛物线焦点，抛物线准线与轴交点为，显然过点的抛物线的切线斜率存在，设为，切线方程为．由，消得，，解得．切线方程为．（Ⅱ）直线的斜率显然存在，设，设，，由消得．且．，，，直线，与联立可得，同理得．焦点，，，．以为直径的圆过焦点．北京43中高三上学期期中试卷数学（理科）选填解析一、选择题1．【答案】A【解析】．故选A．2．【答案】C【解析】由题得：，，．故选C．3．【答案】C【解析】（1），，，又，，故（1）正确．（2）令面，，，面，明显与不平行，故（2）错误．（3），，，又，，故答案（3）正确．（4）令面，，，面，明显与不平行，故（4）错误．故选C．4．【答案】B【解析】构成试验的全部区域为圆内的区域，面积为，正弦曲线与轴围成的区域记为，根据图形的对称性得：面积为，由几何概率的计算公式可得，随机往圆内投一个点，则点落在区域内的概率．故选B．5．【答案】D【解析】由题意知三棱锥的一条侧棱与底面垂直，且长度是，得到侧视图是一个直角三角形，，，侧视图的另一条直角边长是，侧视图如图．故选D．6．【答案】B【解析】由题意知甲的位置影响乙的排列，要分两类：一类为甲排在第一位共有种，另一类甲排在第二位共有种，故编排方案共有种．故选B．7．【答案】A【解析】双曲线的渐近线方程为，即，圆心到直线的距离，．故选A．8．【答案】D【解析】圆的圆心，半径，设平面内到圆的距离与到点的距离之差为的点的坐标为，则，，即动点到两定点，的距离之差为，，点的轨迹是射线．故选D．2、填空题9．【答案】【解析】连接，由于是切点，故角，又由，可求得角，，，在直角三角形中得，故得又圆的面积是，得，．故答案为10．【答案】【解析】求导函数，可得当时，，曲线在点处的切线方程为，即．故答案为．11．【答案】【解析】，令，所以，所以的系数为．故答案为．12．【答案】【解析】命题“”；命题“”；命题“”“”命题“，或”若且为假，或为真，则真假，或假真，即，，或或解得，或故实数的取值范围是：．故答案为．13．【答案】【解析】根据题意，设，易得，，，又，故，于是，当时，取到最小值．故答案．14．【答案】；【解析】①过两点向准线作垂线，，由抛物线定义知：，，过作，为垂足，，又，．在直角中，，所以．②设直线方程为，代入抛物线可得，设，，则，，，当时，，，，当时，，结论同样成立．故答案为；．2/16