2020年北京市昌平区高考数学二模试卷含解析

2020年北京市昌平区高考数学二模试卷含 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 分析2020年北京市昌平区高考数学二模试卷含答案分析PAGE/NUMPAGES2020年北京市昌平区高考数学二模试卷含答案分析2020年北京市昌平区高考数学二模试卷（理科）一、选择题（本大题共8小题，每题5分，共40分．在每题列出的四个选项中，选出吻合题目要求的一项．）1．复数=（）A．B．C．﹣D．﹣2．已知双曲线C：mx2﹣ny2=1的一个焦点为F（﹣5，0）．，实轴长为6，则双曲线C的渐近线方程为（）A．y=±xB．y=±xC．y=±xD．y=±x3．若x，y满足．则z=2x﹣y的最小值为（）A．4B．1C．0D．﹣4b是直线且bb．设α、β是两个不一样的平面，?β，“⊥α”是“α⊥β”的（）A．充分不用要条件B．必需不充分条件C．充要条件D．既不充分也不用要条件5．过点A和圆心O的直线交⊙O于B，C两点（AB＜AC），AD与⊙O切于点D，DE⊥AC于E，AD=3，AB=3，则BE的长度为（）A．1B．C．2D．第1页（共22页）6．以下列图的程序框图，假如输出的S值为3，则判断框内应填入的判断条件为（）A．i＜2B．i＜3C．i＜4D．i＜57fx）是定义在[3003]上的奇函数，当x∈（03fx）的图．函数（﹣，）∪（，，]时，（象以下列图，那么满足不等式f（x）≥2x﹣1的x的取值范围是（）A．[﹣3，﹣2]∪[2，3]B．[﹣3，﹣2]∪（0，1]C．[﹣2，0）∪[1，3]D．[﹣10）∪01，（，]8．将一个圆的八个均分点分成相间的两组，连接每组的四个点获取两个正方形．去掉两个正方形内部的八条线段后可以形成一正八角星，以下列图．设正八角星的中心为O，而且=，=，若将点O到正八角星16个极点的向量，都写成为λ+μλμR的，，∈形式，则λμ）+的最大值为（A．B．2C．1+D．2一、填空题（本大题共6小题，每题5分，共30分）9anN*）的前n项和，若Sq=2an}的通项Sn是等比数列{n}（∈3=14，公比，则数列{．已知 公式 小学单位换算公式大全免费下载公式下载行测公式大全下载excel公式下载逻辑回归公式下载 an=．10．极坐标系中，O为极点，点A为直线l：ρsinθ=ρcosθ+2上一点，则|OA|的最小值为．第2页（共22页）11．如图，点D是△ABC的边BC上一点，AB=，AD=2，BD=1，∠ACB=45°，那么∠ADB=，AC=12．某三棱锥的三视图以下列图，则该三棱锥中最长棱的棱长为．13．2020年3月12日，第四届北京农业嘉年光在昌平拉开帷幕．活动设置了“三馆两园一带一谷”七大板块．“三馆”即精选农业馆、创意农业馆、智慧农业馆；“两园”即主题狂欢欣园、农事体验乐园；“一带”即草莓休闲体验带；“一谷”即延寿生态观光谷．某校学生准备去观光，因为时间有限，他们准备选择此中的“一馆一园一带一谷”进行观光，那么他们观光的不一样路线最多有种．（用数字作答）14．已知数列{an}中，a*）1=a（0＜a≤1），an+1=（n∈N①若a3=，则a=；②aaS．记Sn=a1+2++n，则2020=三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15fx）=Asin（ωxφA0，ω0φ＜）的部分图象以下列图．．已知函数（+）（＞＞，||（Ⅰ）写出函数f（x）的分析式及x0的值；（Ⅱ）求函数f（x）在区间[﹣，]上的最大值与最小值．第3页（共22页）16．为认识高一重生数学基础，甲、乙两校正高一重生进行了数学测试．现从两校各随机抽取10名重生的成绩作为 样本 保单样本pdf木马病毒样本下载上虞风机样本下载直线导轨样本下载电脑病毒样本下载 ，他们的测试成绩的茎叶图以下：（1）比较甲、乙两校重生的数学测试样本成绩的均匀值及方差的大小；（只需要写出结论）（2）假如将数学基础采纳A、B、C等级制，各等级对应的测试成绩 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 如表：（满分100分，全部学生成绩均在60分以上）测试成绩[85，100][70，85）（60，70）基础等级ABC假设每个重生的测试成绩相互独立．依据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率．从甲、乙两校重生中各随机抽取一名重生，求甲校重生的数学基础等级高于乙校重生的数学基础等级的概率．17．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BC垂直于正方形A1ACC1所在平面，AC=2，BC=1，D为AC中点，E为线段BC1上的一点（端点除外），平面AB1E与BD交于点F（Ⅰ）若E不是BC1的中点，求证：AB1∥EF；（Ⅱ）若E是BC1的中点，求AE与平面BC1D所成角的正弦值；（Ⅲ）在线段BC1上能否存在点E，使得A1E⊥CE，若存在，求出的值，若不存在，请说明原由．第4页（共22页）18．已知函数f（x）=eax，g（x）=﹣x2+bx+c（a，b，c∈R），且曲线y=f（x）与曲线y=gx）在它们的交点（0，c）处拥有公共切线．设h（x）=f（x）﹣g（x）．（Ⅰ）求c的值，及a，b的关系式；（Ⅱ）求函数h（x）的单调区间；（Ⅲ）设a≥0，若对于任意x1，x2∈[0，1]，都有|h（x1）﹣h（x2）|≤e﹣1，求a的取值范围．19．已知椭圆M：+=1（a＞b＞0）的焦距为2，点D（0，）在椭圆M上，过原点O作直线交椭圆M于A、B两点，且点A不是椭圆M的极点，过点A作x轴的垂线，垂足为H，点C是线段AH的中点，直线BC交椭圆M于点P，连接AP（Ⅰ）求椭圆M的方程及离心率；（Ⅱ）求证：AB⊥AP．20maxx1，x2，x3，，xn}表示x1，x2，x3，，xn中的最大值．．定义{已知数列a=b=c=，此中nmp=200，m=knn，mpk∈N*．记n，n，n++，，，dn=max{an，bn，cn}（Ⅰ）求max{an，bn}（Ⅱ）当k=2时，求dn的最小值；*第5页（共22页）2020年北京市昌平区高考数学二模试卷（理科）参照答案与 试题 中考模拟试题doc幼小衔接 数学试题 下载云南高中历年会考数学试题下载N4真题下载党史题库下载 分析一、选择题（本大题共8小题，每题5分，共40分．在每题列出的四个选项中，选出吻合题目要求的一项．）1．复数=（）A．B．C．﹣D．﹣【考点】复数代数形式的混杂运算．【分析】把分子分母同时乘以1+i，直接利用复数的除法运算求解．【解答】解：=．应选：C．2．已知双曲线C：mx2﹣ny2=1的一个焦点为F（﹣5，0）．，实轴长为6，则双曲线C的渐近线方程为（）A．y=±xB．y=±xC．y=±xD．y=±x【考点】双曲线的简单性质．【分析】利用双曲线的焦点坐标与实轴，求出双曲线的几何量，而后求解双曲线的渐近线方程．【解答】解：双曲线C：mx2﹣ny2=1的一个焦点为F（﹣5，0），实轴长为6，可得c=5，a=3，b===4，双曲线的渐近线方程为：y=±x．应选：A．3．若x，y满足．则z=2x﹣y的最小值为（）A．4B．1C．0D．﹣【考点】简单线性规划．【分析】由拘束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合获取最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由拘束条件作出可行域如图，第6页（共22页）联立，解得A（），化目标函数z=2x﹣y为y=2x﹣z，由图可知，当直线y=2x﹣z过点A（）时，直线在y轴上的截距最大，z有最小值为2×．应选：D．4．设α、β是两个不一样的平面，b是直线且b?β，“b⊥α”是“α⊥β”的（）A．充分不用要条件B．必需不充分条件C．充要条件D．既不充分也不用要条件【考点】必需条件、充分条件与充要条件的判断．αβb是直线且bβ“bα”αβ【分析】、是两个不一样的平面，?⊥可得：⊥；反之不行立，即可判断出关系．【解答】解：α、β是两个不一样的平面，b是直线且b?β“b⊥α”?α⊥β；反之不行立，若α⊥β，b?β，b⊥α不必定建立．应选：A．5．过点A和圆心O的直线交⊙O于B，C两点（AB＜AC），AD与⊙O切于点D，DE⊥AC于E，AD=3，AB=3，则BE的长度为（）A．1B．C．2D．【考点】与圆有关的比率线段．【分析】连接OD．AD与⊙O切于点D，可得AD2=AB?AC，解出AC．在Rt△ADO中，S△ADO==，解得DE．由DE⊥BC，可得BE?EC=DE2，即BE?（BC﹣BE）=DE2，解出BE即可得出．【解答】解：连接OD．第7页（共22页）∵AD与⊙O切于点D，∴AD2=AB?AC，∴AC==15．BC=15﹣3=12，∴⊙O的半径r=6．在Rt△ADO中，S△ADO==，解得DE==2．∵DE⊥BC，22∴BE?EC=DE，即BE?（BC﹣BE）=DE，∴BE2﹣12BE+20=0，解得BE=2或10（舍去）．BE=2，应选：C．6．以下列图的程序框图，假如输出的S值为3，则判断框内应填入的判断条件为（）A．i＜2B．i＜3C．i＜4D．i＜5【考点】程序框图．【分析】由题意，若输出S的值为3，可得退出循环时S的值为6，即S=6，i=3时，应该不满足条件，退出循环，从而可得判断框内应填入的判断条件为i＜3．【解答】解：由题意，若输出S的值为3，可得：3=log2（S+2），即退出循环时S的值为6．模拟程序框图的运转过程，得S=0，i=1满足条件，执行循环体，S=2，i=2满足条件，执行循环体，S=6，i=3此时，由题意，应该不满足条件，退出循环，输出S的值为6，第8页（共22页）故判断框内应填入的判断条件为i＜3．应选：B．7fx）是定义在[30）∪03]上的奇函数，当x∈（03fx）的图．函数（﹣，（，，]时，（象以下列图，那么满足不等式f（x）≥2x﹣1的x的取值范围是（）A．[3，﹣2∪23]B32∪01C20）∪13]D．[﹣﹣][，．[﹣，﹣]（，]．[﹣，[，1，0）∪（0，1]【考点】函数的图象．【分析】由图象可知，当x∈（03时，f（x）单调递减，当x∈[30fx）单，]﹣，）时，（调递减，分别利用函数的图象，结合不等式f（x）≥2x﹣1，即可得出结论．【解答】解：由图象可知，x=0时，2x﹣1=0，∴f（x）≥0，建立；当x∈（0，3]时，f（x）单调递减，当0＜x≤1时，f（x）＞1，2x﹣1≤1，满足不等式f（x）≥2x﹣1；当1＜x＜3时，f（x）＜1，1＜2x﹣1＜7，不满足不等式f（x）≥2x﹣1；∵函数f（x）是定义在[﹣3，0）∪（0，3]上的奇函数，∴当x∈[﹣3，0）时，f（x）单调递减，当﹣3＜x≤﹣2时，﹣≤f（x）＜0，﹣＜2x﹣1≤﹣，满足不等式f（x）≥2x﹣1；当x＞﹣2时，f（x）＜﹣，2x﹣1＞﹣，不满足不等式f（x）≥2x﹣1；∴满足不等式f（x）≥2x﹣1的x的取值范围是[﹣3，﹣2]∪[0，1]．应选：B．8．将一个圆的八个均分点分成相间的两组，连接每组的四个点获取两个正方形．去掉两个正方形内部的八条线段后可以形成一正八角星，以下列图．设正八角星的中心为O，而且=，=，若将点O到正八角星16个极点的向量，都写成为λ+μλμR的，，∈形式，则λμ）+的最大值为（A．B．2C．1+D．2【考点】向量在几何中的应用．第9页（共22页）【分析】依据题意找出使得λ+μ最大的极点C，依据向量加法的平行四边形法规可作出平行四边形OBCD，这样结合图形及向量数乘的几何意义即可得出，这样由平面向量基本定理即可求出λμ+的最大值．【解答】解：如图，依据图形及向量加法的平行四边形法规可看出O到极点C的向量，此时λ+μ最大；作平行四边形OBCD，设BC=a，依据题意得，OA=；∴；∴；∴=；又；∴；即λ+μ的最大值为．应选C．一、填空题（本大题共6小题，每题5分，共30分）9．已知Sn是等比数列{a}（n∈N*）的前n项和，若S，公比q=2，则数列{an}的通项n（N*n3=14公式a）．n=2【考点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和．【分析】依据等比数列的前n项和公式和通项公式求解即可．【解答】解：∵SanN*）的前n项和，若S3n是等比数列{n}（∈q=2，=14，公比∴，解得：a1=2，∴N*）．故答案为：2n（N*）．10．极坐标系中，O为极点，点A为直线l：ρsinθ=ρcosθ+2上一点，则|OA|的最小值为．第10页（共22页）【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】求出极坐标方程的一般方程，利用点到直线的距离公式求解即可．【解答】解：直线l：ρsinθ=ρcosθ+2的一般方程为：y=x+2，极坐标系中，O为极点，点A为直线l：ρsinθ=ρcosθ+2上一点，则|OA|的最小值就是原点到直线的距离：d==．故答案为：．11．如图，点D是△ABC的边BC上一点，AB=，AD=2，BD=1，∠ACB=45°，那么∠ADB=，AC=【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】由已知及余弦定理可求cos∠ADB=﹣，结合范围∠ADB∈（0，π），即可求得∠ADB=，求得∠ADC，利用正弦定理即可得解AC的值．【解答】解：∵AB=，AD=2，BD=1，∠ACB=45°，∴由余弦定理可得：cos∠ADB===﹣，∵∠ADB∈（0，π），∴∠ADB=，∴∠ADC=π﹣∠ADB=，∴由正弦定理可得：AC===．故答案为：，．12．某三棱锥的三视图以下列图，则该三棱锥中最长棱的棱长为．第11页（共22页）【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知：该几何体为三棱锥．AC⊥侧面PBC．即可得出．【解答】解：由三视图可知：该几何体为三棱锥，AC⊥侧面PBC．∠PCB=135°，BC=1，PC=．则该三棱锥中最长棱的棱长为PB===．故答案为：．13．2020年3月12日，第四届北京农业嘉年光在昌平拉开帷幕．活动设置了“三馆两园一”“”“”带一谷七大板块．三馆即精选农业馆、创意农业馆、智慧农业馆；两园即主题狂欢欣园、农事体验乐园；“一带”即草莓休闲体验带；“一谷”即延寿生态观光谷．某校学生准备去观光，因为时间有限，他们准备选择此中的“”一馆一园一带一谷进行观光，那么他们观光的不一样路线最多有144种．（用数字作答）【考点】摆列、组合的实质应用．【分析】先选择一馆一园一带一谷，再进行排序，即可得出结论．【解答】解：由题意，先选择一馆一园一带一谷，再进行排序，即=144种．故答案为：144．14an}中，a1=a0a1），an+1=n∈N*）．已知数列{（＜≤（①若a3=，则a=；②记Sn=a1+a2++an，则S2020=1512．【考点】数列递推式；数列的乞降．第12页（共22页）【分析】①由a（n∈N*），可得a．对1=a（0＜a≤1），an+1=2=﹣a+a分类谈论：当时，当时，即可得出．②a1=a（0＜a≤1），an+1=*aa1+=a．对a分类（n∈N），2=﹣﹣+谈论：当时，可得：an+2=an．当时，可得an+4=an．即可得出．【解答】解：①∵a1=a（0＜a≤1），an+1=（n∈N*），a2=﹣a1+=﹣a+．当时，a3=﹣a2+=a=，舍去；当时，a3=a2﹣1=﹣a+=，解得a=，满足条件．a=．1n+1（n∈N*），②a=a（0＜a≤1），a=a2=﹣a1+=﹣a+．当时，a32+=a，∴a42+=﹣a，∴an+2n．=﹣a=﹣a=aS2020=（a1+a2）×1008=1512．当时，a3=a2﹣1=﹣a+=﹣a+，∴a4=﹣a3+=﹣+=a+1＞1，∴a5=a4﹣1=a．an+4=an．∴S2020=（a1+a2+a3+a4）×504=3×504=1512．综上可得：S2020=1512．故答案分别为：；1512．三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）第13页（共22页）15．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象以下列图．（Ⅰ）写出函数f（x）的分析式及x0的值；（Ⅱ）求函数f（x）在区间[﹣，]上的最大值与最小值．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确立其分析式；三角函数的最值．【分析】（I）由函数图象可知A，T=π，利用周期公式可求ω，又函数过点（，2），结合范围|φ|＜，解得φ，可求函数分析式，由函数图象可得2sin（2x0+）=，可解得x0=kπ﹣，k∈Z，又结合范围﹣＜x0＜，从而可求x0的值．（II）由x∈[﹣，]，可求范围2x+∈[﹣，]，利用正弦函数的图象和性质即可求其最值．【解答】（本小题满分13分）I）∵A＞0ω0A=2T==2[xx0﹣）]=πω=2，解：（，＞，由函数图象可知，，0﹣（，解得又∵函数过点（，2），可得：2=2sin（2×+φ），解得：2×+φ=2kπ+，k∈Z，φ＜，又||∴可得：φ=，∴f（x）=2sin（2x+），∵由函数图象可得：2sin（2x0+）=，解得：2x0+=2kπ+，k∈Z，可得：x0=kπ﹣，k∈Z，又∵﹣＜x0＜，第14页（共22页）∴x0=，（II）由x∈[﹣，]，可得：2x+∈[﹣，]，当2x+=﹣时，即x=﹣，f（x）min=f（﹣）=﹣1，当2x+=时，即x=，f（x）max=f（）=2．16．为认识高一重生数学基础，甲、乙两校正高一重生进行了数学测试．现从两校各随机抽取10名重生的成绩作为样本，他们的测试成绩的茎叶图以下：（1）比较甲、乙两校重生的数学测试样本成绩的均匀值及方差的大小；（只需要写出结论）（2）假如将数学基础采纳A、B、C等级制，各等级对应的测试成绩标准如表：（满分100分，全部学生成绩均在60分以上）测试成绩[85，100[7085（60，70）]，）基础等级ABC假设每个重生的测试成绩相互独立．依据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率．从甲、乙两校重生中各随机抽取一名重生，求甲校重生的数学基础等级高于乙校重生的数学基础等级的概率．【考点】相互独立事件的概率乘法公式；古典概型及其概率计算公式．【分析】（1）利用均值与方差的定义分别求出甲、乙两校重生的数学成绩的均值与方差，从而得出结论．2）分类谈论，求得甲校重生的数学基础等级高于乙校重生的数学基础等级的概率．【解答】解：（1）两校重生的数学测试样本成绩的均匀值同样；甲校重生的数学测试样本成绩的方差小于乙校重生的数学测试样本成绩的方差．2）设事件D=“从甲、乙两校重生中各随机抽取一名重生，甲校重生的数学基础等级高于乙校重生的数学基础等级”．设事件E1=“从甲校重生中随机抽取一名重生，其数学基础等级为A”，P（E1）=，设事件E2=“从甲校重生中随机抽取一名重生，其数学基础等级为B”，P（E2）=，设事件F1=“从乙校重生中随机抽取一名重生，其数学基础等级为B”，P（F1）=，设事件F2=“从乙校重生中随机抽取一名重生，其数学基础等级为C”，P（F2）=，依据题意，D=E1F1∪E1F2∪E2F2，所以P（D）=P（=E1F1）+P（E1F2）+P（E2F2）第15页（共22页）=++?=，所以，从甲、乙两校重生中各随机抽取一名重生，甲校重生的数学基础等级高于乙校重生的数学基础等级的概率为．17．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BC垂直于正方形A1ACC1所在平面，AC=2，BC=1，D为AC中点，E为线段BC1上的一点（端点除外），平面AB1E与BD交于点F（Ⅰ）若E不是BC1的中点，求证：AB1∥EF；（Ⅱ）若E是BC1的中点，求AE与平面BC1D所成角的正弦值；（Ⅲ）在线段BC1上能否存在点E，使得A1E⊥CE，若存在，求出的值，若不存在，请说明原由．【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的性质．【分析】（I）连接B1C，交BC1于点G，连接GD，则由中位线定理得出GD∥AB1，于是AB1∥平面BC1D，由线面平行的性质得出AB1∥EF；（II）以C1为原点建立空间坐标系，求出和平面BC1D的法向量，则AE与平面BC1D所成角的正弦值为|cos＜＞|；（III）设=λ，求出和的坐标，令?=0解出λ．【解答】证明：（I）连接B1C，交BC1于点G，连接GD．∵四边形BCC1B1是平行四边形，∴G为B1C的中点，∵D为AC中点，∴GD∥AB1．又GD?平面BC1D，AB1?平面BC1D，∴AB1∥平面BC1D．∵AB?平面AB1111EF，平面ABEF∩平面BCD=EF，∴AB1∥EF．（II）以C1为原点，以C1A1，C1C，C1B1为坐标轴建立空间直角坐标系以下列图．则A（2，2，0），E（0，1，），B（0，2，1），C1（0，0，0），D（1，2，0）．∴=（﹣2，﹣1，），=（0，2，1），=（1，2，0）．设平面BC1D的法向量为=（x，y，z），则第16页（共22页）∴，令y=1，得=（﹣2，1，﹣2）．∴cos＜，＞===．∴AE与平面BC1D所成角的正弦值为．（III）假设在线段BC1上存在点E，使得A1E⊥CE，设=λ，则=（0，，）．∴=﹣=（﹣2，，），==（0，﹣，）．∵A1E⊥CE，∴．即．解得：λ=．∴在线段BC1上存在点E，使得A1E⊥CE，且=．18．已知函数f（x）=eax，g（x）=﹣x2+bx+c（a，b，c∈R），且曲线y=f（x）与曲线y=gx）在它们的交点（0，c）处拥有公共切线．设h（x）=f（x）﹣g（x）．（Ⅰ）求c的值，及a，b的关系式；Ⅱ）求函数h（x）的单调区间；（Ⅲ）设a≥0，若对于任意x1，x2∈[0，1]，都有|h（x1）﹣h（x2）|≤e﹣1，求a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）分别求得f（x）和g（x）的导数，由题意可知：即可求得c的值及a、b的关系；（Ⅱhx）的表达式，求导，构造辅助函数Fx）=h′x），由?aR，F′x0）写出（（（∈（）＞，即可判断h′（x）的单调性，求得h′（x）的零点，并依据h′（x）判断出h（x）的单调性；第17页（共22页）（Ⅲ）由（II）知当x∈[0，1]时，h（x）是增函数，将问题转变成：h（x）max﹣h（x）min=ea﹣a≤e﹣1，即当a≥0时，G（a）=ea﹣a﹣（e﹣1）≤0，求得函数的单调性，求得a的取值范围．【解答】解：（I）∵函数f（x）=eax，g（x）=﹣x2+bx+c，∴函数f′（x）=aeax，g′（x）=﹣2x+b．曲线y=f（x）与曲线y=g（x）在它们的交点（0，c）处拥有公共切线，∴，即，c=1，a=b；II）由已知，h（x）=f（x）﹣g（x）=eax+x2﹣ax﹣1．∴h′（x）=aeax+2x﹣a，设F（x）=aeax+2x﹣a，所以F′（x）=a2eax+2，a∈R，F′（x）＞0，所以h′（x）在（﹣∞，+∞）上为单调递加函数．由（I）得，f′（0）=g′（0）所以h′（0）=f′（0）﹣g′（0）=0，即0是所以，函数h（x）的导函数h′（x）有且只有一个零点0．所以h′（x）及h（x）符号变化以下，h′（x）的零点．x（﹣∞00∞，）0（，+）h（x）﹣0+h′（x）↘极小值↗所以函数h′（x）的单调递减区间为（﹣∞，0），单调递加区间为（0，+∞）．（III）由（II）知当x∈[0，1]时，h（x）是增函数．对于任意x1，x2∈[0，1]，都有|h（x1）﹣h（x2）|≤e﹣1，等价于h（x）max﹣h（x）min=h1）﹣h（0）=ea﹣a≤e﹣1，等价于当a≥0时，G（a）=ea﹣a﹣（e﹣1）≤0，∵G′（a）=ea﹣1≥0，∴G（a）在[0，+∞）上是增函数，又G（1）=0，所以a∈[0，1]．19．已知椭圆M：+=1（a＞b＞0）的焦距为2，点D（0，）在椭圆M上，过原点O作直线交椭圆M于A、B两点，且点A不是椭圆M的极点，过点A作x轴的垂线，垂足为H，点C是线段AH的中点，直线BC交椭圆M于点P，连接AP（Ⅰ）求椭圆M的方程及离心率；（Ⅱ）求证：AB⊥AP．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（I）由题意知c=1，b=，求得a=2，从而获取椭圆方程和离心率；（II）设A（x0，y0），P（x1，y1），则B（﹣x0，﹣y0），C（x0，），将A，P代入椭圆方程．两式相减，由点B，C，P三点共线，可得直线PB，BC的斜率相等，化简整理求得kAB?kPA=﹣1，即可得证；或求得kPA?kPB=﹣，再由两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，即可得证．第18页（共22页）【解答】解：（I）由题意知c=1，b=，则a2=b2+c2=4，所以椭圆M的方程为+=1M的离心率为e==；，椭圆（II）证明：设A（x0，y0），P（x1，y1），则B（﹣x0，﹣y0），C（x0，），由点A，P在椭圆上，所以+=1①，+=1②点A不是椭圆M的极点，②﹣①可得=﹣，法一：又kPB=，kBC==，且点B，C，P三点共线，所以=，即=，所以kAB?kPA=?=?==?（﹣）=﹣1．即AB⊥AP．法二：由已知AB，AP的斜率都存在，kPA?kPB=?==﹣，=kBC=，可得k=﹣，又kPBPA则kAB?kPA=?（﹣）=﹣1，即AB⊥AP．20．定义max{x1，x2，x3，，xn}表示x1，x2，x3，，xn中的最大值．第19页（共22页）已知数列a，bn=，cn=，此中n+m+p=200，m=kn，n，m，p，k∈N*．记n=dn=max{an，bn，cn}（Ⅰ）求max{an，bn}（Ⅱ）当k=2时，求dn的最小值；（Ⅲ）?kN*，求dn的最小值．∈【考点】数列的应用．【分析】（Ⅰ）由题意，max{an，bn}=max{，}，﹣=，分别求得k=1、k=2及k≥3时，分别求得max{an，bn}；（Ⅱ）当k=2时，由（Ⅰ）可得dn=max{an，cn}=max{，}，依据数列的单调性求得n=，dn获得最小值，44＜＜45，分别求得d44和d45，比较即可求得dn获得最小值；（Ⅲ）由（II）可知，当k=2时，dn的最小值为，当k=1及k≥3时，依据函数单调性，分别求得可能取最小值时，n的取值，比较即可求得dn获得最小值；【解答】解：（I）由题意，max{an，bn}=max{，}，因为﹣=，所以，当k=1时，＜，则max{an，bn}=bn=，当k=2时，=，则max{an，bn}=an=，当k≥3时，＞，则max{an，bn}=an=．（II）当k=2时，dn=max{an，bn，cn}=max{an，cn}=max{，}，因为数列{an}为单调递减数列，数列{cn}为单调递加数列，所以当=时，dn获得最小值，此时n=．又因为44＜＜45，而d4444，c44}=a44=454544＜d45．=max{a，d=c=，有d所以dn的最小值为．（III）由（II）可知，当k=2时，dn的最小值为．当k=1时，d=maxan，bn，cn}=max{bn，cn}=max{，}．n{因为数列{bn}为单调递减数列，数列{cn}为单调递加数列，第20页（共22页）所以当=时，dn获得最小值，此时n=．又因为72＜＜73，而d72=b72=，d72=c72=，．此时dn的最小值为，＞．（2）k≥3时，≥=，an＞bn，所以dn=max{an，bn，cn}=max{an，cn}≥max{，}．设hn=max{，}，因为数列{an}为单调递减数列，数列{}为单调递加数列，所以当=时，hn获得最小值，此时n=．又因为36＜＜37，而h36=a36=，h37=，＜．此时dn的最小值为，＞．．综上，dn的最小值为d44=．第21页（共22页）2020年8月24日第22页（共22页）