江苏省镇江市2020学年高二数学上学期期中试题（含解析）

PAGE江苏省镇江市2020学年高二数学上学期期中试题（含解析）一、填空题1.抛物线y2=6x的准线方程为_____．【答案】【解析】因为抛物线的焦点在x轴上，2p=6,那么其准线方程为2.直角梯形绕着它的垂直于底边的腰所在的直线旋转一周，形成的几何体是_____．【答案】圆台【解析】【分析】直接由圆台的结构特征得答案．【详解】由圆台的结构特征，可知直角梯形绕着它的垂直于底边的腰所在的直线旋转一周，形成的几何体是圆台．故答案为：圆台．【点睛】本题考查圆台的结构特征.3.已知圆锥底面半径为1，高为，则该圆锥的侧面积为_____．【答案】【解析】【分析】由已知求得母线长，代入圆锥侧面积公式求解．【详解】由已知可得r=1，h=，则圆锥的母线长l=,∴圆锥的侧面积S=πrl=2π．故答案为：2π．【点睛】本题考查圆锥侧面积的求法,侧面积公式S=πrl.4.圆C1：x2+y2+2x+2y=0和圆C2：x2+y2﹣6x+2y+6=0的公切线有_____．【答案】【解析】【分析】先由两圆的圆心距与两圆的半径的和或差比较得两圆的位置关系，由位置关系即可判断出公切线的条数.【详解】根据题意，圆C1：x2+y2+2x+2y=0的标准方程为（x+1）2+（y+1）2=2，其圆心坐标为C1（–1，–1），半径R=，圆C2：x2+y2–6x+2y+6=0的标准方程为（x–3）2+（y+1）2=4，其圆心坐标为C2（3，–1），半径r=2，圆心距离C1C2=3–（–1）=4>2+，即两圆相外离，则公切线有4条，故答案为：4．【点睛】两个圆公切线的条数与两圆的位置有关系：1、两圆相离,有4条公切线；2、两圆相外切,有3条公切线；3、两圆相内切,有1条公切线；4、两圆相交,有2条公切线；5、两圆内含,无公切线.5.已知正四棱锥的侧面积为4，底面边长为2，则该四棱锥的体积_____．【答案】【解析】【分析】利用侧面积求出斜高，再计算正四棱锥的高，然后求解体积．【详解】顶点P在底面的射影是正方形ABCD的中心，正四棱锥的侧面积为S侧面=4•∴PE=∴正四棱锥的高OP=所以棱锥的体积故答案为：【点睛】本题考查了正四棱锥的结构特征及棱锥体积公式的应用.6.已知抛物线y2=8x的焦点是双曲线的右焦点，则双曲线的渐近线方程为_____．【答案】【解析】试题分析：抛物线的焦点为，所以，因此双曲线的渐近线方程为考点：双曲线的渐近线7.已知l，m是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，在下列给出的4个命题中，所有真命的序号为_____．①l⊥α，m⊂α⇒l⊥m②l∥α，m⊂α⇒l∥m③α⊥β，α⊥γ⇒β∥γ④α⊥β，l⊥β⇒l∥α【答案】①【解析】【分析】利用线面平行，线面垂直和面面平行垂直的性质和判定定理对四个命题分别分析进行选择．【详解】由l，m是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，知：在①中，由线面垂直的性质定理得：l⊥α，m⊂α⇒l⊥m，故①正确；在②中，l∥α，m⊂α⇒l∥m或l，m异面，故②错误；在③中，α⊥β，α⊥γ⇒β与γ相交或平行，故③错误；在④中，α⊥β，l⊥β⇒l∥α或l⊂α，故④错误．故答案为：①．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系.8.已知地球表面及约是火星表面积的4倍，则地球体积是火星体积的_____．【答案】8倍【解析】【分析】先利用已知条件得地球半径与火星半径的关系，再利用球体体积公式得出地球体积与火星体积的关系.【详解】设地球的半径为R，火星的半径为r，由已知条件得4πR2=4×4πr2，所以R=2r，地球的体积为πR3＝π×(2r)3＝8×πr3，所以地球体积是火星体积的8倍，故答案为：8倍【点睛】本题考查球体表面积与体积公式，球的体积公式V=πR3，表面积公式S=4πR2.9.若抛物线y2=2x上的一点M到坐标原点O的距离为，则点M到该抛物线焦点的距离为_____．【答案】【解析】【分析】求得点M的坐标，将点M到该抛物线焦点的距离转化为点M到抛物线y2=2x的准线的距离即可．【详解】设点M，∵|MO|=∴∴y2=2或y2=-6（舍去），∴x==1∴M到抛物线y2=2x的准线x=-的距离d=1-（-）=∵点M到抛物线焦点的距离等于点M到抛物线y2=2x的准线的距离，∴点M到该抛物线焦点的距离为故答案为：.【点睛】本题考查抛物线定义的应用，考查转化思想，求得点M的坐标是关键.10.双曲线C1：的左右焦点分别为F1，F2，过F1作一条直线l交双曲线右支于点P，PF2⊥x轴，且sin∠PF1F2=，则双曲线的离心率为_____【答案】【解析】【分析】利用已知条件，列出方程，求解双曲线的离心率即可．【详解】由已知PF2⊥x轴，且sin∠PF1F2=，可得tan∠PF1F2=在中，tan∠PF1F2=可得：2=2c2-2a2=ac，两边同时除以得，2e2-e-2=0，解得e=故答案为：【点睛】本题考查双曲线简单几何性质的应用，主要考查双曲线离心率的求法.11.椭圆的上顶点为B，左焦点为F，直线BF与直线x+y﹣3=0垂直，垂足为M，且点B为线段MF的中点，该椭圆方程为_____．【答案】【解析】【分析】利用直线BF与直线x+y﹣3=0垂直，得到直线BF的斜率，求出M的坐标，代入准线方程，即可得到b，c，然后求解a，得到椭圆方程．【详解】设F（-c，0），B（0，b），因为直线BF与x+y﹣3=0垂直，得，即b=c,又点B为线段MF的中点，由中点坐标公式可得M（b，2b），代入直线x+y﹣3=0，可得b=c=，又则a=2，所以椭圆方程为：故答案为：【点睛】本题考查椭圆标准方程的求解和椭圆简单性质的应用.12.已知圆柱M的底面半径为2，高为，圆锥N的底面直径和母线长相等，若圆柱M和圆锥N的体积相同，则圆锥N的底面半径为_____．【答案】2【解析】试题分析：由题意可知考点：圆柱和圆锥的体积13.如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P在面对角线AC上运动，给出下列四个命题：①D1P∥平面A1BC1；②D1P⊥BD；③平面PDB1⊥平面A1BC1；④三棱锥A1﹣BPC1的体积不变．则其中所有正确的命题的序号是_____．【答案】①③④【解析】【分析】利用线面平行的判定定理与性质定理，面面垂直的判定定理与三棱锥的体积公式对四个选项逐一分析判断即可．【详解】①∵在正方体中，D1A∥BC1，D1C∥BA1，且D1A∩DC1=D1，∴平面D1AC∥平面A1BC1；∵P在面对角线AC上运动，∴D1P∥平面A1BC1；∴①正确．②当P位于AC的中点时，D1P⊥BD不成立，∴②错误；③∵A1C1⊥平面BDD1B1；∴A1C1⊥B1D，同理A1B⊥B1D，∴B1D⊥平面A1BC1，∴平面BDD1B⊥面ACD1，∴平面PDB1⊥平面A1BC1；∴③正确．④三棱锥A1-BPC1的体积等于B-A1PC1的体积，△A1PC1的面积为定值A1C1•AA1，B到平面A1PC1的高为BP为定值，∴三棱锥A1-BPC1的体积不变，∴④正确．故答案为：①③④．【点睛】本题考查空间直线与平面、平面与平面的位置关系及体积，突出考查面面平行的判定定理与性质定理，考查面面垂直的判定定理，考查几何体的体积运算.14.已知椭圆的左、右顶点分别为A，B，直线l斜率大于0，且l经过椭圆的右焦点F，与椭圆交于两点P，Q，若△AFP，△BFQ的面积分别为S1，S2，若，则直线l的斜率为_____．【答案】【解析】【分析】由已知写出S1，S2，结合，可得P，Q的纵坐标的关系，设直线l：x=my+1，与椭圆方程联立，化为关于y的一元二次方程，结合根与系数的关系求m，则斜率可求．【详解】如图，由椭圆则S1＝|AF|•|PF|•sin∠AFP＝|PF|•sin∠AFP，S2＝|BF|•|QF|•sin∠BFQ＝|QF|•sin∠BFQ，其中sin∠AFP=sin∠BFQ，由，得|QF|=2|PF|，即yQ=-2yP（yP＞0），设直线l：x=my+1，联立，可得（3m2+4）y2+6my-9=0,解得yP＝，yQ＝，m=，∴直线方程为，则直线的斜率为.故答案为：【点睛】本题考查直线与椭圆位置关系的综合应用，考查三角形面积的求法和直线方程和椭圆方程联立后韦达定理的运用.二、解答题15.如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别为棱AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且B1E⊥C1F，A1C1⊥B1C1．（1）求证：DE∥平面A1C1F；（2）求证：B1E⊥平面A1C1F【答案】（1）见证明；（2）见证明.【解析】【分析】（1）利用三角形的中位线性质可求DE∥AC，由直三棱柱的性质可得AC∥A1C1，进而可证DE∥A1C1，利用线面平行的判定定理即可证明DE∥平面A1C1F；（2）先证明A1C1⊥平面BCB1C1，由线面垂直的性质得A1C1⊥B1E，再证明利用线面垂直的判定定理即可证明B1E⊥平面A1C1F.【详解】(1)分别为棱的中点，，又直三棱柱中，，，平面，平面，平面；(2)直三棱柱中，，又.，平面，平面，，，，平面.【点睛】本题主要考查线面平行的判定定理，线面垂直的判定定理及性质定理的应用.16.如图，四棱锥P﹣ABCD的底面为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA=AD，E，F分别是线段PA，PD的中点，H在线段AB上．（1）求证：PC⊥AF；（2）若平面PBC∥平面EFH，求证H是AB的中点；（3）若AD=4，AB=2，求点D到平面PAC的距离．【答案】（1）见证明；（2）见证明；（3）【解析】【分析】（1）要证PC⊥AF，只需证明AF⊥平面PCD即可，须证AF垂直面内两条相交直线；（2）由面PBC∥平面EFH，可得EH∥PB，由是线段的中点即可得到证明；（3）过D作DM⊥AC于M，可证面即线段DM的长就是点D到平面PAC的距离．【详解】(1)证明：底面，底面，.又四边形为正方形，.又，平面.又平面，，为的中点，且，，又，平面..(2)证明：平面平面，面平面，面平面，.又是线段的中点，在线段上，是的中点.(3)过作于，侧棱底面，，且，面，线段的长就是点到平面的距离.在直角三角形中，..【点睛】本题考查面面面平行的性质定理、线面垂直的判定和性质定理的应用，考查空间想象能力与思维能力，考查点面距离的求法.17.已知圆M的方程为x2+（y﹣2）2=1，直线l的方程为x﹣2y=0，点P在直线l上，过点P作圆M的切线PA，PB，切点为A，B．（1）若点P的横坐标为1，求切线PA，PB的方程；（2）若点P的纵坐标为a，且在圆M上存在点Q到点P的距离为1，求实数a的取值范围．【答案】（1）切线的方程分别为，或，；（2）【解析】【分析】（1）写出P点坐标，分切线斜率存在与不存在两种情况，利用圆心到切线距离等于半径可得斜率，从而写出切线方程；（2）设P（2a，a），则，由圆M上存在点Q到点P的距离为1，则只需满足即可得a的取值范围．【详解】(1)由已知可得，，当切线斜率不存在时，切线方程为；当切线斜率存在时，设切线方程为，化为.由圆心到切线的距离等于半径，得，解得.切线方程为，即.则切线的方程分别为，或，；(2)设，则，:圆上存在点到点的距离为1，，解得.实数的取值范围是.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，考查圆的切线方程的求法.18.在某海礁A处有一风暴中心，距离风暴中心A正东方向200km的B处有一艘轮船，正以北偏西a（a为锐角）角方向航行，速度为40km/h．已知距离风暴中心180km以内的水域受其影响．（1）若轮船不被风暴影响，求角α的正切值的最大值？（2）若轮船航行方向为北偏西45°，求轮船被风暴影响持续多少时间？【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据题意画出图形，结合图形建立平面直角坐标系，利用直线与圆的方程求出直线与圆相切时的斜率，即可求出角α正切值的最大值；（2）求出直线被圆所截的弦长，再计算轮船被风暴影响持续的时间．【详解】(1)根据题意画出图形，如图所示，则圆的方程为，设过点的直线方程为，；即，则圆心到直线的距离为，化简得，解得；，，，若轮船不被风暴影响，则角a的正切值的最大值为；(2)若轮船航行方向为北偏西，则直线方程为，则圆心到该直线的距离为，弦长为，则轮船被风暴影响持续的时间为.【点睛】本题考查直线与圆方程的实际应用问题，考查直线与圆位置关系的应用,当直线与圆相切，利用圆心到直线距离等于半径求解，直线与圆相交，要注意弦长公式的应用.19.已知椭圆E：的焦距为2，一条准线方程为x=，A，B分别为椭圆的右顶点和上顶点，点P，Q在的椭圆上，且点P在第一象限．（1）求椭圆E的标准方程；（2）若点P，Q关于坐标原点对称，且PQ⊥AB，求四边形ABCD的面积；（3）若AP，BQ的斜率互为相反数，求证：PQ斜率为定值．【答案】（1）（2）（3）见证明【解析】【分析】（1）由焦距得c，再由准线方程结合a2=b2+c2，可得椭圆方程；（2），由题意可得kPQ=2，即直线PQ方程为y=2x，与椭圆方程联立解得|PQ|，可得四边形ABCD的面积；（3）设直线AP的斜率为k（k＜0），则直线AP方程y=k（x-2），与椭圆方程联立得P点坐标，利用直线AN斜率与AM斜率互为相反数，将k换为-k，可求N的坐标，再利用斜率计算公式即可得出PQ斜率为定值.【详解】(1)由题意可得：，，，解得：，，.椭圆的标准方程为：.(2)，点关于坐标原点对称，且，.可得直线的方程为：.联立，解得，..四边形的面积.(3)证明：设，.设直线的斜率为，，则直线方程为：，联立，化为：，，解得，.的斜率互为相反数，直线的斜率为，直线方程为：.联立，化为：，，.斜率为定值.【点睛】本题考查椭圆方程的求法，考查直线斜率为定值的求法，四边形面积的计算方法，注意直线方程和椭圆方程联立后韦达定理的运用，考查运算能力.20.如图，在平面直角坐标系xoy中，F为椭圆E：的右焦点，过F作两条相互垂直的直线AB，CD，与椭圆E分别交于A，B和点C，D．（1）当AB=时，求直线AB的方程；（2）直线AB交直线x=3于点M，OM与CD交于P，CO与椭圆E交于Q，求证：OM∥DQ．【答案】(1)(2)见证明【解析】【分析】（1）由题意可设直线AB方程y=k（x-2），则直线CD的方程为，分别与椭圆方程联立，利用弦长公式可得出|AB|,|CD|，根据AB=解得k，即可得直线AB方程.（2）将直线AB与直线x=3联立，解得M，可得直线OM方程，将直线OM与直线CD联立，解得P点坐标，将直线CD与椭圆联立，利用根与系数的关系、中点坐标公式可得线段CD的中点坐标，得到与点P重合．又点O是CQ的中点，由三角形中位线即可证明结论．【详解】(1)由题意可设直线的方程为：，，.则直线的方程为：.联立，化为：，，，则.同理可得：.，.化为：，解得.直线的方程为：.(2)证明：设直线的方程为：，则直线的方程为：，，联立，解得.可得直线的方程：，联立，解得.联立，化为：，，可得线段的中点坐标，与点重合.又点是的中点，，即.【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、相互垂直的直线斜率之间的关系、线段中点坐标公式、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力．