[专升本(国家)考试密押题库与答案解析]专升本高等数学(一)模拟162

[专升本(国家)考试密押题库与答案解析]专升本高等数学(一)模拟162PAGE1/NUMPAGES1[专升本(国家)考试密押题库与答案解析]专升本高等数学(一)模拟162专升本高等数学(一)模拟162一、选择题在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.问题:1.设函数y=ax2+c在区间(0，+∞)上单调增加，则______A.a＜0且c=0B.a＞0且c为任意实数C.a＜0且c≠0D.a＞0且c为任意实数答案:B[解析]由题设有y'=2ax，则在(0，+∞)上2ax＞0．所以必有a＞0且c为任意实数．故选B问题:2.微分方程y"+y=0的通解为______A.C1cosx+C2sinxB.(C1+C2x)exC.(C1+C2x)e-xD.C1e-x+C2ex答案:A[解析]由题意得微分方程的特征方程为r2+1=0，故r=±i为共轭复根，于是通解为y=C1cosx+C2sinx．问题:3.设f(x)为连续函数，则积分______A．0B．1C．nD．答案:A[解析]设的原函数为则故选A．问题:4.平面x+2y-z+3=0与空间直线的位置关系是______A.互相垂直B.互相平行但直线不在平面上C.既不平行也不垂直D.直线在平面上答案:D[解析]平面π：x+2y-z+3=0的法向量n={1，2，-1}，直线的方向向量s={3，-1，1}，(x0，y0，z0)=(1，-1，2)．因为3×1+(-1)×2+1×(-1)=0，所以直线与平面平行，又点(1，-1，2)满足平面方程(即直线l上的点在平面π上)，因此直线在平面上．故选D．问题:5.设a＜x＜b，f'(x)＜0，f"(x)＜0，则在区间(a，b)内曲线弧y=f(x)的图形______A.沿x轴正向下降且向上凹B.沿x轴正向下降且向下凹C.沿x轴正向上升且向上凹D.沿x轴正向上升且向下凹答案:B[解析]当a＜x＜b时，f'(x)＜0，因此曲线弧y=f(x)在(a．b)内下降．由于在(a，b)内f''(x)＜0，因此曲线弧y=f(x)在(a，b)内下凹．故选B．问题:6.设f(x)=e-x2-1，g(x)=x2，则当x→0时______A.f(x)是比g(x)高阶的无穷小B.f(x)是比g(x)低阶的无穷小C.f(x)与g(x)是同阶的无穷小，但不是等价无穷小D.f(x)与g(x)是等价无穷小答案:C[解析]故选C．问题:7.中心在(-1，2，-2)且与xOy平面相切的球面方程是______A.(x+1)2+(y-2)2+(z+2)2=4B.(x+1)2+(y-2)2+(z+2)2=2C.x2+y2+z2=4D.x2+y2+z2=2答案:A[解析]已知球心为(-1，2，-2)，则代入球面标准方程为(x+1)2+(y-2)2+(z+2)2=r2．又与xOy平面相切，则r=2．故选A．问题:8.函数z=xy在点(0，0)处______A.有极大值B.有极小值C.不是驻点D.无极值答案:D[解析]由z=xy得解得驻点(0，0)．又因为A=z"xx|(0，0)=0，B=z"xy|(0，0)=1，C=z"yy|(0，0)=0，B2-AC=1＞0，所以在(0，0)处无极值．故选D．问题:9.已知曲线y=y(x)过原点，且在原点处的切线平行于直线x-y+6=0，又y=y(x)满足微分方程(y")2=1-(y')2，则此曲线方程是y=______A.-sinxB.sinxC.cosxD.-cosx答案:B[解析]要选函数根据题设应满足三个条件：(1)y(0)=0，(2)在原点处斜率k=1，(3)代入(y")2=1-(y')2应成立．故逐个验证后应选B问题:10.设f(x,y)为连续，二次积分交换积分次序后等于______A．B．C．D．答案:A[解析]积分区域D可以表示为0≤x≤2，x≤y≤2，其图形如图中阴影部分所示．交换积分次序，D也可以表示为0≤y≤2，0≤x≤y，因此故选A二、填空题问题:1.幂级数的收敛半径为______．答案:1[解析]所给幂级数为不缺项情形，可知ρ=1，因此收敛半径问题:2.设f(x)=esinx，则______．答案:-1[解析]由f(x)=esinx．则f'(x)=cosxesinx．再根据导数定义有问题:3.已知当x→0时，与x2是等价无穷小，则a=______．答案:2[解析]当x→0时，与x2等价，应满足而所以当a=2时是等价的．问题:4.y"+8y'=0的特征方程是______．答案:r2+8r=0[解析]本题考查的知识点为二阶常系数线性微分方程特征方程的概念．y"+8y'=0的特征方程为r2+8r=0．问题:5.若f'(ex)=1+e2x，且f(0)=1，则f(x)=______．答案:[解析]因为f'(ex)=1+e2x，则等式两边对ex积分有则f(0)=C=1．所以问题:6.已知f(0)=1，f(1)=2，f'(1)=3，则______.答案:2[解析]由题设有问题:7.空间直角坐标系中方程x2+y2=9表示的曲线是______．答案:以Oz为轴的圆柱面[解析]方程F(x，y)=0表示母线平行于Oz轴的柱面，称之为柱面方程．方程x2+y2-32=0表示母线平行Oz轴的圆柱面方程．问题:8.直线的方向向量为______．答案:{-2，1，2}[解析]直线l的方向向量为问题:9.设z=x2y+siny，则答案:2x[解析]由于z=x2y+siny，可知问题:10.已知答案:π2[解析]因为所以三、解答题共70分．解答应写出推理、演算步骤．问题:1.求函数在点x=0处的导数y'|x=0．答案:解则在点x=0处导函数没有定义．由导数定义有可知y'|x=0=0．[解析]此题如果先求函数y的导数y'后，再代入x=0便得y'没有意义．所以此题只能利用导数的定义式，即的方法来求．具体解法如上．问题:2.计算答案:解法一利用洛必达法则：解法二利用等价无穷小量代换：当x→0时，ex-1～x，可得[解析]本题考查的知识点为利用洛必达法则求“”型极限，或利用等价无穷小量代换简化求极限运算．问题:3.设求所给曲线的水平渐近线与铅直渐近线．答案:解由可知y=2为水平渐近线；由可知x=0为铅直渐近线．[解析]解本题的关键是要知道函数y=f(x)的水平渐近线和铅直渐近线的判定方法．即：(1)如果则称x=x0是一条铅直渐近线；(2)如果则称y=C是一条水平渐近线．问题:4.求由曲线y=2-x2，y=x(x≥0)与直线x=0所围成的平面图形绕x轴旋转一周所生成的旋转体体积．答案:解由平面图形a≤x≤b，0≤y≤y(x)所围成的平面图形绕x轴旋转一周所生成的旋转体体积为画出平面图形的草图(如图所示)，则所求体积为0≤x≤1，0≤y≤2-x2所围成的平面图形绕x轴旋转一周所生成的旋转体体积减去0≤x≤1，0≤y≤x所围成的平面图形绕x轴旋转一周所生成的旋转体体积．当x≥0时，由[解析]就一般情况而言，如果有两条曲线y=f(x)，y=g(x)(假设f(x)≥g(x))与x=a，x=b(a≤b)所围成的平面绕x轴旋转一周后所成的旋转体的体积 公式 小学单位换算公式大全免费下载公式下载行测公式大全下载excel公式下载逻辑回归公式下载 为：具体解法如上．问题:5.将展开为x的幂级数．答案:解所给f(x)与标准展开级数中的形式不同，由于因而既有故[解析]不容易直接展开为幂级数形式．但是对其求导后所得函数，即是常见函数，它的展开式是已知的．这样我们就得到f'(x)的幂级数展开式，然后对其两边积分，就可以得到f(x)的展开式．问题:6.计算其中D如图所示，由y=x，y=1与y轴围成．答案:解法一解法二[解析]计算二重积分的基本思想是将其化为二次积分．所给二重积分被积函数xy关于x，y对称，积分区域也较简单．可以将二重积分转化为：先对y积分，后对x积分的二次积分．也可以转化为：先对x积分，后对y积分的二次积分．问题:7.证明方程在区间(0，1)内有唯一的实根．答案:[证明]令则f(x)在区间[0，1]上连续．由于所以又f(0)=-1＜0，根据连续函数的介值定理，函数f(x)在区间(0，1)内至少有一个零点，即所给方程在(0，1)内至少有一个实根．又当0≤x≤1时，f'(x)＞0．因此，f(x)在[0，1]上单调增加，由此知f(x)在区间(0，1)内至多有一个零点．综上可知，方程在区间(0，1)内有唯一的实根．[解析]首先设然后验证f(x)在[0，1]上满足介值定理条件．由介值定理得到f(x)在区间(0，1)内至少有一个零点(实根)，并且根据说明f(x)是单调增函数，从而得到f(x)在(0，1)内至多有一个零点．由此得到方程在(0，1)内有唯一的实根．问题:8.设其中f(x)为连续函数，求f(x)．答案:解将所给表达式两端关于x求导，得两端关于x再次求导，得f"(x)=6x-f(x)即f"(x)+f(x)=6x．将此方程认作为二阶常系数非齐次线性微分方程，相应的齐次微分方程的特征方程为r2+1=0．特征根为r1=i，r2=-i．齐次方程的通解为C1cosx+C2sinx．设非齐次方程的一个特解为f0(x)．由于a=0不为特征根，可设f0(x)=Ax，将f0(x)代入上述非齐次微分方程可得A=6．因此f0(x)=6x．非齐次方程的通解为f(x)=C1cosx+C2sinx+6x由初始条件f(0)=1，f'(0)=0，可得出C1=1，C2=6．故f(x)=cosx-6sinx+6x为所求函数．[解析]首先，对所给函数等式两边关于x求二阶导数，就可得到一个二阶常系数非齐次线性微分方程，即f"(x)+f(x)=6x．然后，求出这个微分方程的通解，再代入f(0)=1，f'(0)=0，即可求出f(x)的表达式．