广西贵港市覃塘高级中学2020学年高二数学下学期5月月考试题 理

PAGE覃塘高中2020年春季期5月月考试题高二理科数学试卷说明：本试卷分Ⅰ卷和Ⅱ卷，Ⅰ卷为试题（选择题和客观题），学生自已保存，Ⅱ卷一般为答题卷，考试结束只交Ⅱ卷。一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目的要求）1．已知集合A={x|x2﹣x﹣6＜0}，B={x|3x＞1}，则A∩B=（　　）A．（1，2）B．（1，3）C．（0，2）D．（0，3）2、坐标系中，若角α的终边经过点，则sin（π+α）=（　　）A．B．C．D．3.已知函数为奇函数，则f（g（﹣3））=（　　）A．﹣3B．﹣2C．﹣1D．04、直线l被圆x2+y2﹣2x﹣4y=0平分，且与直线x+2y=0垂直，则直线l的方程是（　　）A．2x﹣y=0B．2x﹣y﹣2=0C．x+2y﹣3=0D．x﹣2y+3=05、边长为1的正方形组成的网格中，画出的是一个几何体的三视图，则几何体的体积是（　　）A．9B．C．18D．276、已知a=log52，b=log73，c=log3，则a，b，c的大小关系（　　）A．a＜b＜cB．a＜c＜bC．b＜a＜cD．c＜b＜a7，在区间1，5]随机地取一个数m，则方程m2x2+4y2=1表示焦点在y轴上的椭圆的概率是（　　）A．B．C．D．8．已知等差数列{an}中，a5+a7=sinxdx，则a4+a6+a8=（　　）A．3B．4C．5D．69、已知函数，是奇函数，则（　　）A．f（x）在上单调递减B．f（x）在上单调递减C．f（x）在上单调递增D．f（x）在上单调递增10、一学习小组学生在某次数学考试中成绩的茎叶图，1号到20号同学的成绩依次为a1，a2，…，a20，图2是统计茎叶图中成绩在一定范围内的学生人数的程序框图，那么该框图的输出结果是（　　）A．8B．9C．11D．1211、对一个质点在平面直角坐标系中的运动观察了5次，得到数据如下：（174，175），（176，175），（176，176），（176，177），（178，177），建立的回归直线方程为y=kx+88，其对应的直线的倾斜角为β，则sin2β+2cos2β=（　　）A．B．1C．2D．312．函数f（x）=|x﹣2|﹣lnx在定义域内零点的个数为（　　）A．0B．1C．2D．3填空题13，实数满足，则的最小值为_____________14、已知平面向量，满足||=3，||=2，与的夹角为120°，若（+m）⊥，则实数m的值为____________15，ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，（a+b+c）（a﹣b+c）=ac，则B=　16．已知函数f(x)＝(ax2＋x)－xlnx在[1，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围是________。三、解答题17.已知函数．（1）求函数f（x）的单调递减区间；（2）若△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，sinB=2sinC，求c．18、某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出40名学生，将其成绩（均为整数）分成六段，[40，50），[50，60），…[90，100]后画出如下部分频率分布直方图，观察图形的信息，回答下列问题：（1）求第四小组的频率，并补全频率分布直方图；（2）估计这次考试的及格率（60分及以上为及格）和平均分；（3）从成绩是40～50分及90～100分的学生中选两人，记他们的成绩为x，y，求满足“|x﹣y|＞10”的概率．19.等差数列{an}中，a2=4，其前n项和Sn满足．（1）求实数λ的值，并求数列{an}的通项公式；（2）若数列是首项为λ、公比为2λ的等比数列，求数列{bn}的前n项的和Tn．20．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面是边长为a的正方形，侧棱PD=a，PA=PC=a．（1）求证：PD⊥平面ABCD；（2）求证：平面PAC⊥平面PBD；（3）求证：∠PCD为二面角P﹣BC﹣D的平面角．21已知函数y=+lg（﹣x2+4x﹣3）的定义域为M，（1）求M；（2）当x∈M时，求函数f（x）=a•2x+2+3•4x（a＜﹣3）的最小值．22、已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，右顶点为A，上顶点为B，△BF1F2是边长为2的正三角形．（1）求椭圆C的标准方程及离心率；（2）是否存在过点F2的直线l，交椭圆于两点P、Q，使得PA∥QF1，如果存在，试求直线l的方程，如果不存在，请说明理由．高二理数答案1．已知集合A={x|x2﹣x﹣6＜0}，B={x|3x＞1}，则A∩B=（　　）A．（1，2）B．（1，3）C．（0，2）D．（0，3）【解答】解：集合A={x|x2﹣x﹣6＜0}={x|﹣2＜x＜3}，B={x|3x＞1}={x|x＞0}，∴A∩B={x|0＜x＜3}=（0，3）．故选：D．2、坐标系中，若角α的终边经过点，则sin（π+α）=（　　）A．B．C．D．【解答】解：∵角α终边经过点，即点P（，），∴x=，y=，r=|OP|=1，则sin（π+α）=﹣sinα==﹣y=﹣．故选：A．3.已知函数为奇函数，则f（g（﹣3））=（　　）A．﹣3B．﹣2C．﹣1D．0【解答】解：函数为奇函数，f（g（﹣3））=f[﹣（log33﹣2）]=f（1）=log31﹣2=0﹣2=﹣2．故选：B．4、直线l被圆x2+y2﹣2x﹣4y=0平分，且与直线x+2y=0垂直，则直线l的方程是（　　）A．2x﹣y=0B．2x﹣y﹣2=0C．x+2y﹣3=0D．x﹣2y+3=0【解答】解：设与直线l：x+2y=0垂直的直线方程：2x﹣y+b=0，圆C：x2+y2﹣2x﹣4y=0化为（x﹣1）2+（y﹣2）2=5，圆心坐标（1，2）．因为直线平分圆，圆心在直线2x﹣y+b=0上，所以2×1﹣1×2+b=0，解得b=0，故所求直线方程为2x﹣y=0．故选：A．5、边长为1的正方形组成的网格中，画出的是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是（　　）A．9B．C．18D．27【解答】解根据三视图可知几何体是一个三棱锥A﹣BCD，三棱锥的外面是长、宽、高为6、3、3的长方体，∴几何体的体积V==9，故选：A．　6、已知a=log52，b=log73，c=log3，则a，b，c的大小关系（　　）A．a＜b＜cB．a＜c＜bC．b＜a＜cD．c＜b＜a【解答】解：∵c=log3=log53＞log73，b=log73＞=，a=log52＜=，则a，b，c的大小关系为：a＜b＜c．故选：A．7，在区间1，5]随机地取一个数m，则方程m2x2+4y2=1表示焦点在y轴上的椭圆的概率是（　　）A．B．C．D．【解答】解：若方程m2x2+4y2=1表示焦点在y轴上的椭圆，则m2＞4，解得：m＞2，故满足条件的概率是p==，故选：D．8．已知等差数列{an}中，a5+a7=sinxdx，则a4+a6+a8=（　　）A．3B．4C．5D．6【解答】解：等差数列{an}中，a5+a7=sinxdx=（﹣cosx）|=﹣（﹣1﹣1）=2，可得a4+a8=2a6=a5+a7=2，则a4+a6+a8=3，故选：A．9、已知函数，是奇函数，则（　　）A．f（x）在上单调递减B．f（x）在上单调递减C．f（x）在上单调递增D．f（x）在上单调递增【解答】解：函数f（x）=cos（x+φ），∴=cos（x+φ+），又f（x+）是奇函数，∴φ+=+kπ，k∈Z，∴φ=+kπ，k∈Z；又0＜|φ|＜，∴φ=，∴f（x）=cos（x+），当x∈（0，）时，x+∈（，），f（x）是单调减函数；x∈（，π）时，x+∈（，），f（x）先减后增．故选：B．　10、一学习小组学生在某次数学考试中成绩的茎叶图，1号到20号同学的成绩依次为a1，a2，…，a20，图2是统计茎叶图中成绩在一定范围内的学生人数的程序框图，那么该框图的输出结果是（　　）A．8B．9C．11D．12【解答】解：根据茎叶图知，这20名同学的成绩依次为a1，a2，…，a20，分析程序框图知，该程序运行后输出成绩大于或等于100的人数，由此知输出的结果是8．故答案为：8．故选：A．11、对一个质点在平面直角坐标系中的运动观察了5次，得到数据如下：（174，175），（176，175），（176，176），（176，177），（178，177），建立的回归直线方程为y=kx+88，其对应的直线的倾斜角为β，则sin2β+2cos2β=（　　）A．B．1C．2D．3【解答】解：由题意，=×（174+176+176+176+178）=176，=×（175+175+176+177+177）=176，∵回归直线方程为y=kx+88，∴176=176k+88，∴k=，∵直线的倾斜角为β，∴tanβ=，∴sin2β+2cos2β=+=+=+=2，故选：C．　12．函数f（x）=|x﹣2|﹣lnx在定义域内零点的个数为（　　）A．0B．1C．2D．3【解答】解：由题意，函数f（x）的定义域为（0，+∞）；由函数零点的定义，f（x）在（0，+∞）内的零点即是方程|x﹣2|﹣lnx=0的根．令y1=|x﹣2|，y2=lnx（x＞0），在一个坐标系中画出两个函数的图象：由图得，两个函数图象有两个交点，故方程有两个根，即对应函数有两个零点．故选：C．13，实数满足，则的最小值为_____________【答案】【解析】根据已知作出可行域如图所示：，即，斜率为，在处截取得最小值为14、已知平面向量，满足||=3，||=2，与的夹角为120°，若（+m）⊥，则实数m的值为____________【解答】解：∵||=3，||=2，与的夹角为120°，∴=cos120°==﹣3．∵（+mb）⊥，∴（+m）•==32﹣3m=0，解得m=3．答案：315，ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，（a+b+c）（a﹣b+c）=ac，则B=　　．【解答】解：△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，∵（a+b+c）（a﹣b+c）=ac，即a2+c2﹣b2=﹣ac，又cosB==﹣，∴B=，故答案为：．16．已知函数f(x)＝(ax2＋x)－xlnx在[1，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围是________。解析：由题意知：f′(x)＝2ax＋1－(lnx＋1)≥0，即a≥eq\f(lnx,2x)在x∈[1，＋∞)上恒成立；设g(x)＝eq\f(lnx,2x)，令g′(x)＝eq\f(1－lnx,2x2)＝0，解得x＝e，当x∈(e，＋∞)时，g′(x)＜0，g(x)为减函数，当x∈[1，e)时，g′(x)＞0，g(x)为增函数，故g(x)的最大值为g(e)＝eq\f(1,2e)，即a≥eq\f(1,2e)。答案：a≥eq\f(1,2e)17．已知函数．（1）求函数f（x）的单调递减区间；（2）若△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，sinB=2sinC，求c．【解答】解：（1）=，由，k∈Z，解得，k∈Z；∴函数f（x）的单调递减区间为，k∈Z；（2）∵，A∈（0，π），∴；∵sinB=2sinC，∴由正弦定理，得b=2c；又由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA，，得，解得c=1．18．某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出40名学生，将其成绩（均为整数）分成六段，[40，50），[50，60），…[90，100]后画出如下部分频率分布直方图，观察图形的信息，回答下列问题：（1）求第四小组的频率，并补全频率分布直方图；（2）估计这次考试的及格率（60分及以上为及格）和平均分；（3）从成绩是40～50分及90～100分的学生中选两人，记他们的成绩为x，y，求满足“|x﹣y|＞10”的概率．【解答】解：（1）由频率分布的直方图可得，第四小组的频率为1﹣10（0.01+0.015+0.015+0.025+0.05）=0.3．故第四个小矩形的高为=0.03．如图所示：（2）由于这次考试的及格的频率为10×（0.015+0.03+0.025+0.005）=0.75，故及格率为0.75．由频率分布直方图可得平均分为0.1×45+0.15×55+0.15×65+0.3×75+0.25×85+0.05×95=71．（3）由频率分步直方图可得，成绩是40～50分的有40×0.1=4人，90～100分的学生有40×0.05=2人，记取出的2个人的成绩为x，y，“|x﹣y|＞10”说明选出的2个人一个成绩在[40，50）内，另一个在[50，60）内，故满足“|x﹣y|＞10”的选法有4×2=8种，而所有的取法有=15种，故满足“|x﹣y|＞10”的概率等于．19．等差数列{an}中，a2=4，其前n项和Sn满足．（1）求实数λ的值，并求数列{an}的通项公式；（2）若数列是首项为λ、公比为2λ的等比数列，求数列{bn}的前n项的和Tn．【解答】解：（I）因为a2=S2﹣S1=4+2λ﹣1﹣λ=4，解得λ=1∴当n≥2时，则=2n，当n=1时，也满足，所以an=2n．（II）由已知数列是首项为1、公比为2的等比数列其通项公式为，且首项，故，=2n﹣1=，Tn=（1+21+…+2n﹣1）…﹣[（1﹣）+（）+…+（）]=2n﹣1﹣．20．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面是边长为a的正方形，侧棱PD=a，PA=PC=a．（1）求证：PD⊥平面ABCD；（2）求证：平面PAC⊥平面PBD；（3）求证：∠PCD为二面角P﹣BC﹣D的平面角．【解答】（1）证明：∵PA=PC=a，PD=a∴PD2+AD2=PA2，即PD⊥AD，又∵PD⊥CD．AD∩CD=D∴PD⊥平面ABCD；（2）由（1）可得PD⊥AC，又四边形ABCD为正方形，所以AC⊥BD，所以AC⊥平面PBD，所以平面PAC⊥平面PBD；（3）由（1）可得PD⊥BC，又BC⊥CD，所以BC⊥平面PCD，所以BC⊥CD，BC⊥PC，所以∠PCD为二面角P﹣BC﹣D的平面角．//21．已知函数y=+lg（﹣x2+4x﹣3）的定义域为M，（1）求M；（2）当x∈M时，求函数f（x）=a•2x+2+3•4x（a＜﹣3）的最小值．22．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，右顶点为A，上顶点为B，△BF1F2是边长为2的正三角形．（1）求椭圆C的标准方程及离心率；（2）是否存在过点F2的直线l，交椭圆于两点P、Q，使得PA∥QF1，如果存在，试求直线l的方程，如果不存在，请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）椭圆C：+=1（a＞b＞0）焦点在x轴上，由△BF1F2是边长为2的正三角形，a=2，c=1，则b2=a2﹣c2=3，…（2分）∴椭圆C的标准方程为，…（3分）椭圆的离心率e==；…（4分）（Ⅱ）解法1：由（Ⅰ）得，F1（﹣1，0），F2（1，0），A（2，0），设P（x1，y1），Q（x2，y2）．显然直线l的斜率不为零，设直线l的方程为x=my+1，则，…（5分）整理得：（3m2+4）y2+6my﹣9=0，△=36m2+36（3m2+4）=144m2+144＞0，由韦达定理可知：y1+y2=﹣，y1•y2=﹣，…（7分）则=（x1﹣2，y1）=（my1﹣1，y1）=（x2+1，y2）=（my2+2，y2），…（8分）若PA∥QF1，则（my1﹣1）y2=（my2+2）y1，即y2=﹣2y1，…（9分）解得：，则y1•y2=﹣，…（10分）故=，解得：5m2=4，即m=±，…（11分）故l的方程为x=y+1或x=﹣y+1，即x﹣2y﹣=0或+2y﹣=0…（12分）解法2：由（Ⅰ）得F1（﹣1，0），F2（1，0），A（2，0），直线l⊥x时，=1≠，则PA∥QF1不成立，不符合题意．…（5分）可设直线L的方程为y=k（x﹣1）..…（6分），消去y，可得（4k2+3）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0，…（7分）则△=144（k2+1）＞0．设P（x1，y1），Q（x2，y2）．则x1+x2=﹣，①x1•x2=，②．…（8分）=（x1﹣2，y1），=（x2+1，y2）．若PA∥QF1，则∥，则k（x1﹣2）（x2﹣1）﹣k（x2+1）（x1﹣1）=0．化简得2x1+x2﹣3=0③．…（9分）联立①③可得x1=，x2=，…（10分）代入②可以解得：k=±．…（11分）故l的方程为x﹣2y﹣=0或+2y﹣=0．…（12分）