PAGE§3.1 不等关系与不等式课时目标1．初步学会作差法比较两实数的大小．2．掌握不等式的基本性质，并能运用这些性质解决有关问题．1．比较实数a，b的大小(1)文字叙述如果a－b是正数，那么a>b；如果a－b等于0，那么a＝b；如果a－b是负数，那么a
0⇔a>b；a－b＝0⇔a＝b；a－b<0⇔ab⇔bb，b>c⇒a>c(传递性)；(3)a>b⇒a＋c>b＋c(可加性)；(4)a>b，c>0⇒ac>bc；a>b，c<0⇒acb，c>d⇒a＋c>b＋d；(6)a>b>0，c>d>0⇒ac>bd；(7)a>b>0，n∈N，n≥2⇒an>bn；(8)a>b>0，n∈N，n≥2⇒eq\r(n,a)>eq\r(n,b). 一、选择题1．若a，b，c∈R，a>b，则下列不等式成立的是( )A.eq\f(1,a)<eq\f(1,b)B．a2>b2C.eq\f(a,c2＋1)>eq\f(b,c2＋1)D．a|c|>b|c|
答案
八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案
C解析 对A，若a>0>b，则eq\f(1,a)>0，eq\f(1,b)<0，此时eq\f(1,a)>eq\f(1,b)，∴A不成立；对B，若a＝1，b＝－2，则a2b，∴eq\f(a,c2＋1)>eq\f(b,c2＋1)恒成立，∴C正确；对D，当c＝0时，a|c|＝b|c|，∴D不成立．2．已知a<0，b<－1，则下列不等式成立的是( )A．a>eq\f(a,b)>eq\f(a,b2)B.eq\f(a,b2)>eq\f(a,b)>aC.eq\f(a,b)>a>eq\f(a,b2)D.eq\f(a,b)>eq\f(a,b2)>a答案 D解析 取a＝－2，b＝－2，则eq\f(a,b)＝1，eq\f(a,b2)＝－eq\f(1,2)，∴eq\f(a,b)>eq\f(a,b2)>a.3．已知a、b为非零实数，且a0时，a2b>0，ab2<0，a2b0，∴eq\f(1,ab2)<eq\f(1,a2b)；对于D，当a＝－1，b＝1时，eq\f(b,a)＝eq\f(a,b)＝－1.4．若x∈(e－1,1)，a＝lnx，b＝2lnx，c＝ln3x，则( )A．a0，∴a>b.c－a＝t3－t＝t(t2－1)＝t(t＋1)(t－1)，又∵－10，∴c>a.∴c>a>b.5．设a，b∈R，若a－|b|>0，则下列不等式中正确的是( )A．b－a>0B．a3＋b3<0C．a2－b2<0D．b＋a>0答案 D解析 由a>|b|得－a0，且a－b>0.∴b－a<0，A错，D对．可取特值，如a＝2，b＝－1，a3＋b3＝7>0，故B错．而a2－b2＝(a－b)(a＋b)>0，∴C错．6．若a>b>c且a＋b＋c＝0，则下列不等式中正确的是( )A．ab>acB．ac>bcC．a|b|>c|b|D．a2>b2>c2答案 A解析 由a>b>c及a＋b＋c＝0知a>0，c<0，又∵a>0，b>c，∴ab>ac.故选A.二、填空题7．若1≤a≤5，－1≤b≤2，则a－b的取值范围为________．答案 [－1,6]解析 ∵－1≤b≤2，∴－2≤－b≤1，又1≤a≤5，∴－1≤a－b≤6.8．若f(x)＝3x2－x＋1，g(x)＝2x2＋x－1，则f(x)与g(x)的大小关系是________．答案 f(x)>g(x)解析 ∵f(x)－g(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1>0，∴f(x)>g(x)．9．若x∈R，则eq\f(x,1＋x2)与eq\f(1,2)的大小关系为________．答案 eq\f(x,1＋x2)≤eq\f(1,2)解析 ∵eq\f(x,1＋x2)－eq\f(1,2)＝eq\f(2x－1－x2,21＋x2)＝eq\f(－x－12,21＋x2)≤0，∴eq\f(x,1＋x2)≤eq\f(1,2).10．设n>1，n∈N，A＝eq\r(n)－eq\r(n－1)，B＝eq\r(n＋1)－eq\r(n)，则A与B的大小关系为________．答案 A>B解析 A＝eq\f(1,\r(n)＋\r(n－1))，B＝eq\f(1,\r(n＋1)＋\r(n)).∵eq\r(n)＋eq\r(n－1)<eq\r(n＋1)＋eq\r(n)，并且都为正数，∴A>B.三、解答题11．设a>b>0，试比较eq\f(a2－b2,a2＋b2)与eq\f(a－b,a＋b)的大小．解 方法一 作差法eq\f(a2－b2,a2＋b2)－eq\f(a－b,a＋b)＝eq\f(a＋ba2－b2－a－ba2＋b2,a2＋b2a＋b)＝eq\f(a－b[a＋b2－a2＋b2],a2＋b2a＋b)＝eq\f(2aba－b,a＋ba2＋b2)∵a>b>0，∴a＋b>0，a－b>0,2ab>0.∴eq\f(2aba－b,a＋ba2＋b2)>0，∴eq\f(a2－b2,a2＋b2)>eq\f(a－b,a＋b).方法二 作商法∵a>b>0，∴eq\f(a2－b2,a2＋b2)>0，eq\f(a－b,a＋b)>0.∴eq\f(\f(a2－b2,a2＋b2),\f(a－b,a＋b))＝eq\f(a＋b2,a2＋b2)＝eq\f(a2＋b2＋2ab,a2＋b2)＝1＋eq\f(2ab,a2＋b2)>1.∴eq\f(a2－b2,a2＋b2)>eq\f(a－b,a＋b).12．设f(x)＝1＋logx3，g(x)＝2logx2，其中x＞0且x≠1，试比较f(x)与g(x)的大小．解 f(x)－g(x)＝1＋logx3－2logx2＝logxeq\f(3x,4)，①当eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0＜x＜1，,\f(3x,4)＞1，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＞1，,0＜\f(3x,4)＜1，))即1＜x＜eq\f(4,3)时，logxeq\f(3x,4)＜0，∴f(x)＜g(x)；②当eq\f(3x,4)＝1，即x＝eq\f(4,3)时，logxeq\f(3x,4)＝0，即f(x)＝g(x)；③当eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0＜x＜1，,0＜\f(3x,4)＜1，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＞1，,\f(3x,4)＞1，))即0＜x＜1，或x＞eq\f(4,3)时，logxeq\f(3x,4)＞0，即f(x)＞g(x)．综上所述，当1＜x＜eq\f(4,3)时，f(x)＜g(x)；当x＝eq\f(4,3)时，f(x)＝g(x)；当0＜x＜1，或x＞eq\f(4,3)时，f(x)＞g(x)．能力提升13．若0eq\f(1,2)>eq\f(3,8)，∴最大的数应是a1b1＋a2b2.方法二 作差法．∵a1＋a2＝1＝b1＋b2且0a1，b2＝1－b1>b1，∴00，∴a1b1＋a2b2>a1b2＋a2b1.∵(a1b1＋a2b2)－eq\f(1,2)＝2a1b1＋eq\f(1,2)－a1－b1＝b1(2a1－1)－eq\f(1,2)(2a1－1)＝(2a1－1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b1－\f(1,2)))＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1－\f(1,2)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b1－\f(1,2)))>0，∴a1b1＋a2b2>eq\f(1,2).综上可知，最大的数应为a1b1＋a2b2.14．设x，y，z∈R，试比较5x2＋y2＋z2与2xy＋4x＋2z－2的大小．解 ∵5x2＋y2＋z2－(2xy＋4x＋2z－2)＝4x2－4x＋1＋x2－2xy＋y2＋z2－2z＋1＝(2x－1)2＋(x－y)2＋(z－1)2≥0，∴5x2＋y2＋z2≥2xy＋4x＋2z－2，当且仅当x＝y＝eq\f(1,2)且z＝1时取到等号．1．比较两个实数的大小，只要考察它们的差就可以了．a－b>0⇔a>b；a－b＝0⇔a＝b；a－b<0⇔a
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