2020-2021备战中考数学初中数学旋转的综合热点考点难点含详细答案

2020-2021备战中考数学初中数学旋转的综合热门考点难点含详细 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 一、旋转1．阅读资料：小胖同学发现这样一个规律：两个顶角相等的等腰三角形，假如拥有公共的顶角的极点，并把它们的底角极点连接起来则形成一组旋转全等的三角形．小胖把拥有这个规律的图形称为“手拉手”图形．如图1，在“手拉手”图形中，小胖发现若∠BAC＝∠DAE，AB＝AC，AD＝AE，则BD＝CE．(1)在图1中证明小胖的发现；借助小胖同学 总结 初级经济法重点总结下载党员个人总结TXt高中句型全总结.doc高中句型全总结.doc理论力学知识点总结pdf 规律，构造“手拉手”图形来解答下边的问题：(2)如图2，AB＝BC，∠ABC＝∠BDC＝60°，求证：AD+CD＝BD；(3)如图3，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝m°，点E为△ABC外一点，点D为BC中点，∠EBC＝∠ACF，ED⊥FD，求∠EAF的度数（用含有m的式子表示）．【答案】（11）证明见分析；（2）证明见分析；（3）∠EAF=m°.2【分析】分析：（1）如图1中，欲证明BD=EC，只要证明△DAB≌△EAC即可；（2）如图2中，延长DC到E，使得DB=DE．第一证明△BDE是等边三角形，再证明△ABD≌△CBE即可解决问题；（3）如图3中，将AE绕点E逆时针旋转m°获取AG，连接CG、EG、EF、FG，延长ED到1M，使得DM=DE，连接FM、CM．想 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 证明△AFE≌△AFG，可得∠EAF=∠FAG=m°.2详（1）证明：如图1中，∵∠BAC=∠DAE，∴∠DAB=∠EAC，在△DAB和△EAC中，AD＝AEDAB＝EAC，AB＝AC∴△DAB≌△EAC，∴BD=EC．（2）证明：如图2中，延长DC到E，使得DB=DE．∵DB=DE，∠BDC=60，°∴△BDE是等边三角形，∴∠BD=BE，∠DBE=∠ABC=60，°∴∠ABD=∠CBE，AB=BC，∴△ABD≌△CBE，∴AD=EC，∴BD=DE=DC+CE=DC+AD．∴AD+CD=BD．（3）如图3中，将AE绕点E逆时针旋转m°获取AG，连接CG、EG、EF、FG，延长ED到M，使得DM=DE，连接FM、CM．由（1）可知△EAB≌△GAC，∴∠1=∠2，BE=CG，∵BD=DC，∠BDE=∠CDM，DE=DM，∴△EDB≌△MDC，∴EM=CM=CG，∠EBC=∠MCD，∵∠EBC=∠ACF，∴∠MCD=∠ACF，∴∠FCM=∠ACB=∠ABC，∴∠1=3=∠2，∴∠FCG=∠ACB=∠MCF，CF=CF，CG=CM，∴△CFG≌△CFM，∴FG=FM，ED=DM，DF⊥EM，∴FE=FM=FG，AE=AG，AF=AF，∴△AFE≌△AFG，1∴∠EAF=∠FAG=m°．2点睛：此题观察几何变换综合题、旋转变换、等腰三角形的性质、全等三角形的判断和性质等知识，解题的要点是学会利用“”“手拉手图形中的全等三角形解决问题，学会构造手拉手”模型，解决实质问题，属于中考压轴题．2．在平面直角坐标系中，O为原点，点A（3，0），点B（0，4），把△ABO绕点A顺时针旋转，得△AB′O′，点B，O旋转后的对应点为B′，O．1）如图1，当旋转角为90°时，求BB′的长；2）如图2，当旋转角为120°时，求点O′的坐标；3）在（2）的条件下，边OB上的一点P旋转后的对应点为P′，当O′P+AP′获得最小值时，求点P′的坐标．（直接写出结果即可）【答案】（1）52；（2）O'（9，33）；（3）P'（27，63）.2255【分析】【分析】（1）先求出AB．利用旋转判断出△ABB'是等腰直角三角形，即可得出结论；（2）先判断出∠HAO'=60°，利用含30度角的直角三角形的性质求出AH，OH，即可得出结论；（3）先确立出直线O'C的分析式，从而确立出点P的坐标，再利用含30度角的直角三角形的性质即可得出结论．【详解】1）∵A（3，0），B（0，4），∴OA=3，OB=4，∴AB=5，由旋转知，BA=B'A，∠BAB'=90，°∴△ABB'是等腰直角三角形，∴BB'=2AB=52；2）如图2，过点O'作O'H⊥x轴于H，由旋转知，O'A=OA=3，∠OAO'=120°，13OH=33∴OH=OA+AH=9∴∠HAO'=60°∴∠HO'A=30°∴AH=AO'=，3AH=，，，，2222∴O'（933）；2，2（3）由旋转知，AP=AP'，∴O'P+AP'=O'P+AP．如图3，作A关于y轴的对称点C，连接O'Cy轴于P，∴O'P+AP=O'P+CP=O'C，此时，O'P+AP的值最小．∵点C与点A关于y轴对称，∴C（﹣3，0）．∵O'（933），∴直线O'C的分析式为y=333，令x=0，∴y=33，∴P（0，2，5x+52533），∴O'P'=OP=33，作P'D⊥O'H于D．55∵∠B'O'A=∠BOA=90，°∠AO'H=30，°∴∠DP'O'=30，°∴O'D=1O'P'=33，210P'D=3O'D=9，∴DH=O'H﹣O'D=6327，∴P'（2763）．105，O'H+P'D=5，55【点睛】此题是几何变换综合题，观察了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，构造出直角三角形是解答此题的要点．3．如图：在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，∠PCQ=45°，把∠PCQ绕点C旋转，在整个旋转过程中，过点A作AD⊥CP，垂足为D，直线AD交CQ于E．1）如图①，当∠PCQ在∠ACB内部时，求证：AD+BE=DE；2）如图②，当CQ在∠ACB外面时，则线段AD、BE与DE的关系为_____；3）在（1）的条件下，若CD=6，S△BCE=2S△ACD，求AE的长．【答案】(1)见分析（2）AD=BE+DE（3）8【分析】试题分析：（1）延长DA到F，使DF=DE，依据线段垂直均分线上的点到线段两端点的距离相等可得CE=CF，再求出∠ACF=∠BCE，而后利用“边角边”证明△ACF和△BCE全等，根据全等三角形的即可证明AF=BE，从而得证；（2）在AD上截取DF=DE，而后依据线段垂直均分线上的点到线段两端点的距离相等可得CE=CF，再求出∠ACF=∠BCE，而后利用“边角边”证明△ACF和△BCE全等，依据全等三角形的即可证明AF=BE，从而获取AD=BE+DE；3）依据等腰直角三角形的性质求出CD=DF=DE，再依据等高的三角形的面积的比等于底边的比求出AF=2AD，而后求出AD的长，再依据AE=AD+DE代入数据进行计算即可得解．试题分析：（1）证明：如图①，延长DA到F，使DF=DE．∵CD⊥AE，∴CE=CF，∴∠DCE=∠DCF=∠PCQ=45，°∴∠ACD+∠ACF=∠DCF=45．°又∵∠ACB=90，°∠PCQ=45，°∴∠ACD+∠BCE=90﹣°45°=45，°∴∠ACF=∠BCE．在△ACF和△BCE中，CECF∵ACFBCE，∴△ACF≌△BCE（SAS），∴AF=BE，∴AD+BE=AD+AF=DF=DE，即ACBCAD+BE=DE；2）解：如图②，在AD上截取DF=DE．∵CD⊥AE，∴CE=CF，∴∠DCE=∠DCF=∠PCQ=45，°∴∠ECF=∠DCE+∠DCF=90，°∴∠BCE+∠BCF=∠ECF=90．°又∵∠ACB=90°，∴∠ACF+∠BCF=90，°∴∠ACF=∠BCE．在△ACF和△BCE中，CECF∵ACFBCE，∴△ACF≌△BCE（SAS），∴AF=BE，∴AD=AF+DF=BE+DE，即ACBCAD=BE+DE；故答案为：AD=BE+DE．3）∵∠DCE=∠DCF=∠PCQ=45°，∴∠ECF=45°+45°=90°，∴△ECF是等腰直角三角形，1∴CD=DF=DE=6．∵S△BCE=2S△ACD，∴AF=2AD，∴AD=×6=2，∴AE=AD+DE=2+6=8．12点睛：此题观察了全等三角形的判断与性质，线段垂直均分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等腰直角三角形的性质，综合性较强，但难度不是很大，作辅助线构造出全等三角形是解题的要点．4．如图1，菱形ABCD，AB4，ADC120o，连接对角线AC、BD交于点O，1如图2，将VAOD沿DB平移，使点D与点O重合，求平移后的VA'BO与菱形ABCD重合部分的面积．如图3，将VA'BO绕点O逆时针旋转交AB于点E'，交BC于点F，求证：BE'BF2；②求出四边形OE'BF的面积．【答案】13?2①证明见分析②3【分析】【分析】(1)先判断出△ABD是等边三角形，从而判断出△EOB是等边三角形，即可得出结论；(2)先判断出≌△OBF，再利用等式的性质即可得出结论；(3)借助①的结论即可得出结论．【详解】1Q四边形为菱形，ADC120o，ADO60o，VABD为等边三角形，DAO30o，ABO60o，AD//A′O，∴∠A′OB=60，°VEOB为等边三角形，边长OB2，重合部分的面积：33，44①在图3中，取AB中点E，1知，∠EOB=60°，∠E′OF=60，°∴∠EOE′=∠BOF，又∵EO=BO，∴∠OEE′=∠OBF=60°，∴△OEE≌′△OBF，∴EE′=BF，∴BE′+BF=BE′+EE；′=BE=2②由①知，在旋转过程中一直有△OEE′≌△OBF，∴S△OEE′=S△OBF，S四边形OE′BF=SVOEB3.【点睛】此题观察了菱形的性质、全等三角形的判断与性质，等边三角形的判断与性质，综合性较强，熟练掌握相关内容、正确增加辅助线是解题的要点.5．在平面直角坐标系中，O为原点，点A（8，0），点B（0，6），把△ABO绕点B逆时针旋转得△A′B′，O′点A、O旋转后的对应点为A′、O′，记旋转角为α．（1）如图1，若α=90°，则AB=，并求AA′的长；（2）如图2，若α=120°，求点O′的坐标；（3）在（2）的条件下，边OA上的一点P旋转后的对应点为时，直接写出点P′的坐标．P′，当O′P+BP取′得最小值【答案】（1）10，102；（2）（33，9）；（3）12354（5，）5【分析】试题分析：(1)、如图①，先利用勾股定理计算出AB=5，再依据旋转的性质得BA=BA′，∠ABA′=90，则°可判断△ABA为等腰直角三角形，而后依据等腰直角三角形的性质求′AA′的长；(2)、作O′H⊥y轴于H，如图②，利用旋转的性质得BO=BO′=3，∠OBO′=120°，则∠HBO′=60，再°在Rt△BHO′中利用含30度的直角三角形三边的关系可计算出BH和O′H的长，而后利用坐标的表示方法写出O′点的坐标；(3)、由旋转的性质得BP=BP′，则O′P+BP′=O′，P+BP作B点关于x轴的对称点C，连接O′C交x轴于P点，如图②，易得O′P+BP=O′C，利用两点之间线段最短可判断此时O′P+BP的值最小，接着利用待定系数法求出直线O′C的分析式为y=x﹣3，从而获取P（，0），则O′P′=OP=，作P′D⊥O′H于D，而后确立∠DP′O′=30后利°用含30度的直角三角形三边的关系可计算出P′D和DO′的长，从而可获取P′点的坐标．试题分析：(1)、如图①，∵点A（4，0），点B（0，3），∴OA=4，OB=3，∴AB==5，∵△ABO绕点B逆时针旋转90°，得△A′BO，′∴BA=BA，′∠ABA′=90，°∴△ABA为′等腰直角三角形，∴AA′=BA=5；(2)、作O′H⊥y轴于H，如图②，∵△ABO绕点B逆时针旋转120°，得△A′BO，′∴BO=BO′=3，∠OBO′=120，°∴∠HBO′=60，°在Rt△BHO′中，∵∠BO′H=90﹣°∠HBO′=30，°∴BH=BO′=，O′H=BH=，∴OH=OB+BH=3+，∴O′点的坐标为（）；（3）∵△ABO绕点B逆时针旋转120°，得△A′BO，′点P的对应点为P′，∴BP=BP′，∴O′P+BP′=O，′作P+BP点关于x轴的对称点C，连接O′C交x轴于P点，如图②，O′P+BP=O′P+PC=O′C，此时O′P+BP的值最小，∵点C与点B关于x轴对称，∴C（0，﹣3），设直线O′C的分析式为y=kx+b，把O′（），C（0，﹣3）代入得，解得，∴直线O′C的分析式为y=x﹣3，当y=0时，x﹣3=0，解得x=，则P（，0），∴OP=，∴O′P′=OP=，作P′D⊥O′H于D，∵∠BO′∠A=BOA=90，°∠BO′H=30，°∴∠DP′O′，=30°∴O′D=O′P′=，P′D=，∴DH=O′H﹣O′，∴P′点的坐标为（，）．考点：几何变换综合题6．如图（1）所示，将一个腰长为2等腰直角△BCD和直角边长为2、宽为1的直角△CED拼在一起．现将△CED绕点C顺时针旋转至△CE’D，’旋转角为a．1）如图（2），旋转角a=30°时，点D′到CD边的距离D’A=______．求证：四边形ACED′为矩形；（2）如图（1），△CED绕点C顺时针旋转一周的过程中，在BC上如何取点G，使得GD’=E’D；并说明原由．（3）△CED绕点C顺时针旋转一周的过程中，∠CE’D=90°时，直接写出旋转角a的值．【答案】1【分析】分析：（1）过D′作D′N⊥CD于N．由30°所对直角边等于斜边的一半即可得结论．由D’A∥CE且D’A=CE=1，获取四边形ACED’为平行四边形．依占有一个角为90°的平行四边形是矩形，即可得出结论；2）取BC中点即为点G，连接GD’．易证△DCE’≌△D’CG，由全等三角形的对应边相等即可得出结论．3）分两种状况谈论即可．详解：（1）D’A=1．原由以下：过D′作D′N⊥CD于N．1∵∠NCD′=30，CD°′=CD=2，∴ND′=CD′=1．2由已知，D’A∥CE，且D’A=CE=1，∴四边形ACED’为平行四边形．又∵∠DCE=90°，∴四边形ACED’为矩形；（2）如图，取BC中点即为点G，连接GD’．∵∠DCE=∠D’CE’=90，°∴∠DCE’=∠D’CG．又∵D’C=DC，CG=CE’，∴△DCE’≌△D’CG，∴GD’=E’D．（3）分两种状况谈论：①如图1．∵∠CE′D=90，°CD=2，CE′，=1∴∠CDE′=30，∴°∠E′CD=60°，∴∠E′CB=30，°∴旋转角=∠ECE′=180°+30°．=210°②如图2，同理可得∠E′CE=30°，∴旋转角=360°－30°=330°．点睛：此题观察了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．7．在Rt△ACB和△AEF中，∠ACB＝∠AEF＝90°，若点P是BF的中点，连接PC，PE.特别发现：如图1，若点E、F分别落在边AB，AC上，则结论：PC＝PE成立（不要求证明）．问题研究：把图1中的△AEF绕点A顺时针旋转．(1)如图2，若点E落在边CA的延长线上，则上述结论能否成立？若成立，请恩赐证明；若不成立，请说明原由；(2)如图3，若点F落在边AB上，则上述结论能否依旧成立？若成立，请恩赐证明；若不成立，请说明原由；(3)记AC＝k，当k为什么值时，△CPE总是等边三角形？（请直接写出后的值，不用说）BC【答案】1PCPE成立2，PCPE成立3当k为3时，VCPE总是等边三3角形【分析】【分析】1）过点P作PM⊥CE于点M，由EF⊥AE，BC⊥AC，获取EF∥MP∥CB，从而有EMFP，再依据点P是BF的中点，可得EM=MC，据此获取PC=PE．MCPB（2）过点F作FD⊥AC于点D，过点P作PM⊥AC于点M，连接PD，先证△DAF≌△EAF，即可得出AD=AE；再证△DAP≌△EAP，即可得出PD=PE；最后依据FD⊥AC，BC⊥AC，PM⊥AC，可得FD∥BC∥PM，再依据点P是BF的中点，推得PC=PD，再依据PD=PE，即可获取结论．（3）因为△CPE总是等边三角形，可得∠CEP=60°，∠CAB=60°；由∠ACB=90°，求出ACk，AC△CPE总是等边三角形时，k的值是∠CBA=30；°最后依据=tan30，求出当°BCBC多少即可．【详解】解：（1）PC=PE成立，原由以下：如图2，过点P作PM⊥CE于点M，∵EF⊥AE，BC⊥AC，∴EF∥MP∥CB，∴EMFP，∵点P是BF的中点，∴EM=MC，又∵PM⊥CE，∴PC=PE；MCPB（2）PC=PE成立，原由以下：如图3，过点F作FD⊥AC于点D，过点P作PM⊥AC于点M，连接PD，∵∠DAF=∠EAF，FDA=∠FEA=90，°在△DAF和△EAF中，∵∠DAF=∠EAF，∠FDA=∠FEA，AF=AF，∴△DAF≌△EAF（AAS），∴AD=AE，在△DAP和△EAP中，AD=AE，∠DAP=∠EAP，AP=AP，∴△DAP≌△EAP（SAS），∴PD=PE，FD⊥AC，BC⊥AC，PM⊥AC，∴FD∥BC∥PM，DMFP∴，MCPB∵点P是BF的中点，∴DM=MC，又∵PM⊥AC，∴PC=PD，又∵PD=PE，PC=PE；3）如图4，∵△CPE总是等边三角形，∴∠CEP=60，°∴∠CAB=60，°∵∠ACB=90，°∴∠CBA=90﹣°∠ACB=90﹣°60°=30，°∵ACk，AC=tan30，°BCBCk=tan30=°3，3∴当k为3时，△CPE总是等边三角形．3【点睛】考点：1．几何变换综合题；2．研究型；3．压轴题；4．三角形综合题；5．全等三角形的判断与性质；6．平行线分线段成比率．8．如图合），以1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，E是边AC上任意一点（点CE为向来角边作Rt△ECD，∠ECD=90°，连接BE，AD．E与点A，C不重（1）若CA=CB，CE=CD①猜想线段BE，AD之间的数目关系及所在直线的地址关系，直接写出结论；②现将图1中的Rt△ECD绕着点C顺时针旋转锐角α，获取图2，请判断①中的结论能否依旧成立，若成立，请证明；若不成立，请说明原由；2）若CA=8,CB=6，CE=3，CD=4，Rt△ECD绕着点C顺时针转锐角α，如图3，连接BD，AE，计算的值．【答案】（1）①BE=AD，BE⊥AD；②见分析；（2）125．【分析】试题分析：依据三角形全等的判断与性质得出BE=AD，BE⊥AD；设BE与AC的交点为点F，BE与AD的交点为点G，依据∠ACB=∠ECD=90°得出∠ACD=∠BCE，而后结合AC=BC，CD=CE得出△ACD≌△BCE，则AD=BE，∠CAD=∠CBF，依据∠BFC=∠AFG，∠BFC+∠CBE=90得°出∠AFG+∠CAD=90，°从而说明垂直；第一依据题意得出△ACD∽△BCE，而后说明∠AGE=∠BGD=90°，最后依据直角三角形的勾股定理将所求的线段转变为已知的线段得出答案．试题分析：（1）①解：BE=AD，BE⊥ADBE=AD，BE⊥AD依旧成立证明：设BE与AC的交点为点F，BE与AD的交点为点G，如图1．∵∠ACB=∠ECD=90，°∴∠ACD=∠BCE∵AC=BCCD=CE∴△ACD≌△BCEAD=BE∠CAD=∠CBF∵∠BFC=∠AFG∠BFC+∠CBE=90°∴∠AFG+∠CAD=90°∴∠AGF=90°∴BE⊥AD（2）证明：设BE与AC的交点为点F，BE的延长线与AD的交点为点G，如图2．∵∠ACB=∠ECD=90，°∴∠ACD=∠BCE∵AC=8，BC=6，CE=3，CD=4∴△ACD∽△BCE∴∠CAD=∠CBE∵∠BFC=∠AFG∠BFC+∠CBE=90∴∠°AFG+∠CAD=90°∴∠AGF=90°∴BE⊥AD∴∠AGE=∠BGD=90°∴，．∴．∵，，∴考点：三角形全等与相似、勾股定理．9．已知：一次函数的图象与x轴、y轴的交点分别为A、B，以B为旋转中心，将△BOA逆时针旋转，得△BCD（此中O与C、A与D是对应的极点）.1）求AB的长；2）当∠BAD=45°时，求D点的坐标；3）当点C在线段AB上时，求直线BD的关系式.【答案】（1）5；（2）D（4，7）或（-4，1）；（3）【分析】试题分析：（1）先分别求得一次函数的图象与x轴、y轴的交点坐标，再根据勾股定理求解即可；（2）依据旋转的性质结合（3）先依据点C在线段△BOA的特色求解即可；AB上判断出点D的坐标，再依据待定系数法列方程组求解即可.（1）在时，当时，，当时，∴；（2）由题意得D（4，7）或（-4，1）；（2）由题意得D点坐标为（4，）设直线BD的关系式为∵图象过点B（0，4），D（4，）∴，解得∴直线BD的关系式为考点：动点的综合题.评论：此类问题综合性强，难度较大，在中考中比较常有，一般作为压轴题，题目比较典型．10．(1)观察猜想如图(1)，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,点D是BC的中点．以点D为极点作正方形DEFG，使点A，C分别在DG和DE上，连接AE，BG，则线段BG和AE的数目关系是_____；(2)拓展研究将正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转必定角度后（旋转角度大于0°，小于或等于360°），如图2，则(1)中的结论能否依旧成立？假如成立，请予以证明；假如不成立，请说明原由.(3)解决问题若BC=DE=2，在(2)的旋转过程中，当AE为最大值时，直接写出AF的值．【答案】（1）BG＝AE．（2）成立．如图②，连接AD．∵△ABC是等腰三直角角形，∠BAC＝90°，点D是BC的中点．∴∠ADB＝90°，且BD＝AD．∵∠BDG＝∠ADB－∠ADG＝90°－∠ADG＝∠ADE，DG＝DE．∴△BDG≌△ADE，∴BG＝AE．7分（3）由（2）知，BG＝AE，故当BG最大时，AE也最大．正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转270°时，BG最大，如图③．BC＝DE＝2，则AD＝1，EF＝2．Rt△AEF中，AF2＝AE2＋EF2＝(AD＋DE)2＋EF2＝(1＋2)2＋22＝13．∴AF＝【分析】解：（1）BG＝AE．（2）成立．如图②，连接AD．∵△ABC是等腰三直角角形，∠BAC＝90°，点D是BC的中点．∴∠ADB＝90°，且BD＝AD．∵∠BDG＝∠ADB－∠ADG＝90°－∠ADG＝∠ADE，DG＝DE．∴△BDG≌△ADE，∴BG＝AE．3）由（2）知，BG＝AE，故当BG最大时，AE也最大．Z+X+X+K]因为正方形DEFG在绕点D旋转的过程中，G点运动的图形是以点D为圆心，DG为半径的圆，故当正方形DEFG旋转到G点位于BC的延长线上（即正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转270°）时，BG最大，如图③．若BC＝DE＝2，则AD＝1，EF＝2．Rt△AEF中，AF2＝AE2＋EF2＝(AD＋DE)2＋EF2＝(1＋2)2＋22＝13．∴AF＝．即在正方形DEFG旋转过程中，当AE为最大值时，AF＝．11．(1)问题发现如图1,△ACB和△DCE均为等腰直角三角形填空:线段AD,BE之间的关系为.,∠ACB=90°,B,C,D在一条直线上.(2)拓展研究如图2,△ACB和△DCE均为等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=90°,请判断AD,BE的关系,并说明原由.(3)解决问题如图3,线段PA=3,点B是线段PA外一点,PB=5,连接AB,将AB绕点A逆时针旋转90°获取线段AC,跟着点B的地址的变化,直接写出PC的范围.【答案】(1)AD=BE，AD⊥BE．(2)AD=BE，AD⊥BE．(3)5-32≤PC≤5+32．【分析】【分析】1）依据等腰三角形性质证△ACD≌△BCE（SAS），得AD=BE，∠EBC=∠CAD，延长BE交AD于点F，由垂直定义得AD⊥BE．2）依据等腰三角形性质证△ACD≌△BCE（SAS），AD=BE，∠CAD=∠CBE，由垂直定义得∠OHB=90°，AD⊥BE；3）作AE⊥AP，使得AE=PA，则易证△APE≌△ACP，PC=BE，当P、E、B共线时，BE最小，最小值=PB-PE；当P、E、B共线时，BE最大，最大值=PB+PE，故5-32≤BE≤5+32.【详解】1）结论：AD=BE，AD⊥BE．原由：如图1中，∵△ACB与△DCE均为等腰直角三角形，∴AC=BC，CE=CD，ACB=∠ACD=90，°Rt△ACD和Rt△BCE中AC＝BCACD＝BCECD＝CE∴△ACD≌△BCE（SAS），AD=BE，∠EBC=∠CAD延长BE交AD于点F，∵BC⊥AD，∴∠EBC+∠CEB=90，°∵∠CEB=AEF，∴∠EAD+∠AEF=90，°∴∠AFE=90，°即AD⊥BE．AD=BE，AD⊥BE．故答案为AD=BE，AD⊥BE．（2）结论：AD=BE，AD⊥BE．原由：如图2中，设AD交BE于H，AD交BC于O．∵△ACB与△DCE均为等腰直角三角形，∴AC=BC，CE=CD，∠ACB=∠ECD=90，°∴ACD=∠BCE，Rt△ACD和Rt△BCE中AC＝BCACD＝BCE，CD＝CE∴△ACD≌△BCE（SAS），AD=BE，∠CAD=∠CBE，∵∠CAO+∠AOC=90，°∠AOC=∠BOH，∴∠BOH+∠OBH=90，°∴∠OHB=90，°∴AD⊥BE，AD=BE，AD⊥BE．3）如图3中，作AE⊥AP，使得AE=PA，则易证△APE≌△ACP，∴PC=BE，图3-1中，当P、E、B共线时，BE最小，最小值=PB-PE=5-32，图3-2中，当P、E、B共线时，BE最大，最大值=PB+PE=5+32，∴5-32≤BE≤5+32，即5-32≤PC≤5+32．【点睛】此题是几何变换综合题，观察了旋转的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判断和性质等知识，解题的要点是正确找寻三角形全等的条件，学会增加辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转变的思想思虑问题，属于中考压轴题．12．如图1，矩形ABCD中，E是AD的中点，以点EF，EG分别过点B，C，∠F＝30°.（1）求证：BE＝CEE直角极点的直角三角形EFG的两边（2）将△EFG绕点E按顺时针方向旋转，当旋转到别与AB，BC订交于点M，N.（如图2）EF与AD重合时停止转动.若EF，EG分①求证：△BEM≌△CEN；②若AB＝2，求△BMN面积的最大值；③当旋转停止时，点B恰幸好FG上（如图3），求sin∠EBG的值.【答案】（1）详见分析；（2）①详见分析；②2；③62.4【分析】【分析】（1）只要证明△BAE≌△CDE即可；（2）①利用（1）可知△EBC是等腰直角三角形，依据ASA即可证明；②成立二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题；③如图3中，作EH⊥BG于H．设NG=m，则BG=2m，BN=EN=3m，EB=6m．利用面积法求出EH，依据三角函数的定义即可解决问题.【详解】（1）证明：如图1中，∵四边形ABCD是矩形，∴AB=DC，∠A=∠D=90°，∵E是AD中点，AE=DE，∴△BAE≌△CDE，BE=CE．（2）①解：如图2中，由（1）可知，△EBC是等腰直角三角形，∴∠EBC=∠ECB=45，°∵∠ABC=∠BCD=90，°∴∠EBM=∠ECN=45，°∵∠MEN=∠BEC=90，°∴∠BEM=∠CEN，EB=EC，∴△BEM≌△CEN；②∵△BEM≌△CEN，∴BM=CN，设BM=CN=x，则BN=4-x，∴S△BMN=1?x（4-x）=-1（x-2）2+2，221-＜0，2∴x=2时，△BMN的面积最大，最大值为2．③解：如图3中，作EH⊥BG于H．设NG=m，则BG=2m，BN=EN=3m，EB=6m．∴EG=m+3m=（1+3）m，11∵S△BEG=?EG?BN=?BG?EH，223m?(13)m3+3∴EH==m，2m2在Rt△EBH中，sin∠EBH=EH3+3m62．2EB6m4【点睛】此题观察四边形综合题、矩形的性质、等腰直角三角形的判断和性质、全等三角形的判断和性质、旋转变换、锐角三角函数等知识，解题的要点是正确找寻全等三角形解决问题，学会增加常用辅助线，学会利用参数解决问题，13．已知△ABC是等腰三角形，AB=AC．（1）特别情况：如图1，当DE∥BC时，有DBEC．（填“＞”，“＜”或“=）”（2）发现研究：若将图1中的△ADE绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜180°）到图2地址，则（1）中的结论还成立吗？若成立，请恩赐证明；若不成立，请说明原由．（3）拓展运用：如图3，P是等腰直角三角形ABC内一点，∠ACB=90°，且PB=1，PC=2，PA=3，求∠BPC的度数．【答案】（1）=；（2）成立，证明见分析；（3）135°.【分析】【分析】试题（1）由DE∥BC，获取DBEC，结合AB=AC，获取DB=EC；ABAC2）由旋转获取的结论判断出△DAB≌△EAC，获取DB=CE；3）由旋转构造出△CPB≌△CEA，再用勾股定理计算出PE，而后用勾股定理逆定理判断出△PEA是直角三角形，在简单计算即可．【详解】1）∵DE∥BC，DBEC∴，ABACAB=AC，∴DB=EC，故答案为=，（2）成立．证明：由①易知AD=AE，∴由旋转性质可知∠DAB=∠EAC，又∵AD=AE，AB=AC∴△DAB≌△EAC，∴DB=CE，（3）如图，将△CPB绕点C旋转90°得△CEA，连接PE，∴△CPB≌△CEA，CE=CP=2，AE=BP=1，∠PCE=90，°∴∠CEP=∠CPE=45，°在Rt△PCE中，由勾股定理可得，PE=22，在△PEA中，PE2=（22）2=8，AE2=12=1，PA2=32=9，∵PE2+AE2=AP2，∴△PEA是直角三角形∴∠PEA=90，°∴∠CEA=135，°又∵△CPB≌△CEA∴∠BPC=∠CEA=135．°【点睛】考点：几何变换综合题；平行线平行线分线段成比率.14．（1）发现如图，点A为线段BC外一动点，且BCa，ABb.填空：当点A位于____________时，线段AC的长获得最大值，且最大值为_________.（用含a，b的式子表示）（2）应用点A为线段BC外一动点，且BC3，AB1.以下列图，分别以AB，AC为边，作等边三角形ABD和等边三角形ACE，连接CD，BE.①找出图中与BE相等的线段，并说明原由；②直接写出线段BE长的最大值.（3）拓展如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为2,0，点B的坐标为5,0，点P为线段AB外一动点，且点P的坐标.PA2，PMPB，BPM90，求线段AM长的最大值及此时【答案】（1）CB的延长线上，a+b；（2）①DC=BE,原由见分析；②BE的最大值是4;（3）AM的最大值是3+22，点P的坐标为（2-2，2）【分析】【分析】（1）依据点A位于CB的延长线上时，线段AC的长获得最大值，即可获取结论；（2）①依据等边三角形的性质获取AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠CAE=60°，推出△CAD≌△EAB，依据全等三角形的性质获取CD=BE；②因为线段BE长的最大值=线段CD的最大值，依据（1）中的结论即可获取结果；（3）连接BM，将△APM绕着点P顺时针旋转90°获取△PBN，连接AN，获取△APN是等腰直角三角形，依据全等三角形的性质获取PN=PA=2，BN=AM，依据当N在线段BA的延长线时，线段BN获得最大值，即可获取最大值为22+3；如图2，过P作PE⊥x轴于E，依据等腰直角三角形的性质即可获取结论．【详解】解：（1）∵点A为线段BC外一动点，且BC=a，AB=b，∴当点A位于CB的延长线上时，线段AC的长获得最大值，且最大值为BC+AB=a+b，故答案为CB的延长线上，a+b；2）①CD=BE，原由：∵△ABD与△ACE是等边三角形，AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠CAE=60，°∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC，即∠CAD=∠EAB，在△CAD与△EAB中，AD＝ABCAD＝EAB，AC＝AE∴△CAD≌△EAB，∴CD=BE；②∵线段BE长的最大值=线段CD的最大值，由（1）知，当线段CD的长获得最大值时，点D在CB的延长线上，∴最大值为BD+BC=AB+BC=4；3）∵将△APM绕着点P顺时针旋转90°获取△PBN，连接AN，则△APN是等腰直角三角形，PN=PA=2，BN=AM，∵A的坐标为（2，0），点B的坐标为（5，0），OA=2，OB=5，AB=3，∴线段AM长的最大值=线段BN长的最大值，∴当N在线段BA的延长线时，线段BN获得最大值，最大值=AB+AN，∵AN=2AP=22，∴最大值为22+3；如图2，过P作PE⊥x轴于E，∵△APN是等腰直角三角形，PE=AE=2，∴OE=BO-AB-AE=5-3-2=2-2，∴P（2-2，2）．【点睛】观察了全等三角形的判断和性质，等腰直角三角形的性质，最大值问题，旋转的性质．正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的要点．15．已知∠AOB＝90°，在∠AOB的均分线OM上有一点C，将一个三角板的直角极点与C重合，它的两条直角边分别与OA，OB(或它们的反向延长线)订交于点D，E.当三角板绕点C旋转到CD与OA垂直时(如图①)，易证：OD＋OE＝2OC；当三角板绕点C旋转到CD与OA不垂直时，即在图②，图③这两种状况下，上述结论是否依旧成立？若成立，请恩赐证明：若不成立，线段系？请写出你的猜想，不需证明．OD，OE，OC之间又有如何的数目关①②③【答案】图②中OD＋OE＝2OC成立．证明见分析;图③不成立，有数目关系：OE－OD2OC【分析】试题分析：当三角板绕点C旋转到CD与OA不垂直时，易得△CKD≌△CHE，从而可得出证明；判断出结果．解此题的要点是依据题意找到全等三角形或等价关系，从而得出OC与OD、OE的关系；最后转变获取结论．试题分析：图②中OD＋OE＝2OC成立．证明：过点C分别作OA，OB的垂线，垂足分别为P，Q.有△CPD≌△CQE，∴DP＝EQ，∵OP＝OD＋DP，OQ＝OE－EQ，又∵OP＋OQ＝2OC，OD＋DP＋OE－EQ＝2OC，∴OD＋OE＝2OC.图③不成立，有数目关系：OE－OD＝2OC过点C分别作CK⊥OA，CH⊥OB，∵OC为∠AOB的角均分线，且CK⊥OA，CH⊥OB，∴CK=CH，∠CKD=∠CHE=90，°又∵∠KCD与∠HCE都为旋转角，∴∠KCD=∠HCE，∴△CKD≌△CHE，∴DK=EH，∴OE-OD=OH+EH-OD=OH+DK-OD=OH+OK，由（1）知：OH+OK=2OC，∴OD，OE，OC满足OE-OD=2OC．点睛：此题观察旋转的性质：旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变，两组对应点连线的交点是旋转中心．