直线与圆的位置关系数学直线和圆的位置关系(1)设r是⊙O的半径，d是圆心O到直线l的距离．(2)切线的性质：①切线的性质定理：圆的切线___________经过切点的半径．②推论1：经过切点且垂直于切线的直线必经过___________．③推论2：经过圆心且垂直于切线的直线必经过__________．(3)切线的判定定理：经过半径的外端并且__________这条半径的直线是圆的切线．(4)三角形的内切圆：和三角形三边都__________的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是______________________________，内切圆的圆心叫做三角形的_________，内切圆的半径是内心到三边的距离，且在三角形内部．垂直于圆心切点垂直于相切三角形三条角平分线的交点内心1．证直线为圆的切线的两种方法(1)若知道直线和圆有公共点时，常连接公共点和圆心，
证明
住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问
直线垂直半径；(2)不知道直线和圆有公共点时，常过圆心向直线作垂线，证明垂线段的长等于圆的半径．3．常见的辅助线(1)当已知条件中有切线时，常作过切点的半径，利用切线的性质定理来解题；(2)遇到两条相交的切线时(切线长)，常常连接切点和圆心、连接圆心和圆外的一点、连接两切点．CB1．(2015·张家界)如图，∠O＝30°，C为OB上一点，且OC＝6，以点C为圆心，半径为3的圆与OA的位置关系是()A．相离B．相交C．相切D．以上三种情况均有可能2．(2015·枣庄)如图，一个边长为4cm的等边三角形ABC的高与⊙O的直径相等．⊙O与BC相切于点C，与AC相交于点E，则CE的长为()A．4cmB．3cmC．2cmD．1.5cmB3．(2015·黔西南州)如图，点P在⊙O外，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，∠P＝50°，则∠AOB等于()A．150°B．130°C．155°D．135°C4．(2015·厦门)如图，在△ABC中，AB＝AC，D是边BC的中点，一个圆过点A，交边AB于点E，且与BC相切于点D，则该圆的圆心是()A．线段AE的中垂线与线段AC的中垂线的交点B．线段AB的中垂线与线段AC的中垂线的交点C．线段AE的中垂线与线段BC的中垂线的交点D．线段AB的中垂线与线段BC的中垂线的交点5．(2015·重庆)如图，AC是⊙O的切线，切点为C，BC是⊙O的直径，AB交⊙O于点D，连接OD.若∠BAC＝55°，则∠COD的大小为()A．70°B．60°C．55°D．35°A判断直线与圆的位置关系【例1】 (1)如图，⊙O的半径为4cm，OA⊥OB，OC⊥AB于点C，OB＝4cm，OA＝2cm，试说明AB是⊙O的切线．(2)如图，已知在△OAB中，OA＝OB＝13，AB＝24，⊙O的半径长为r＝5.判断直线AB与⊙O的位置关系，并说明理由．【点评】 在判定直线与圆相切时，若直线与圆的公共点已知，证题方法是“连半径，证垂直”；若直线与圆的公共点未知，证题方法是“作垂线，证半径”．这两种情况可概括为一句话：“有交点连半径，无交点作垂线”．[对应训练]1．(1)(2015·齐齐哈尔)如图，两个同心圆，大圆的半径为5，小圆的半径为3，若大圆的弦AB与小圆有公共点，则弦AB的取值范围是()A．8≤AB≤10B．8＜AB≤10C．4≤AB≤5D．4＜AB≤5(2)(2014·西宁)⊙O的半径为R，点O到直线l的距离为d，R，d是方程x2－4x＋m＝0的两根，当直线l与⊙O相切时，m的值为____．A4【例2】 (2015·陕西)如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，过点B作⊙O的切线DE，与AC的延长线交于点D，作AE⊥AC交DE于点E.(1)求证：∠BAD＝∠E；(2)若⊙O的半径为5，AC＝8，求BE的长．圆的切线的性质解：(1)证明：∵AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，过点B作⊙O的切线DE，∴∠ABE＝90°，∴∠BAE＋∠E＝90°，∵∠DAE＝90°，∴∠BAD＋∠BAE＝90°，∴∠BAD＝∠E 【点评】 本题主要考查了切线的性质和应用，要熟练掌握切线的性质：①圆的切线垂直于经过切点的半径．②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．【例3】 (2015·湖州)如图，已知BC是⊙O的直径，AC切⊙O于点C，AB交⊙O于点D，E为AC的中点，连接DE.(1)若AD＝DB，OC＝5，求切线AC的长；(2)求证：ED是⊙O的切线．切线的判定与性质的综合运用解：(1)解：连接CD，∵BC是⊙O的直径，∴∠BDC＝90°，即CD⊥AB，∵AD＝DB，OC＝5，∴CD是AB的垂直平分线，∴AC＝BC＝2OC＝10【点评】 本题考查了切线的判定与性质，解题的关键是：熟记切线的判定定理与性质定理，经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线；圆的切线垂直于过切点的直径．[对应训练]3．(2015·巴中)如图，AB是⊙O的直径，OD⊥BC于点F，交⊙O于点E，连接CE，AE，CD，若∠AEC＝∠ODC.(1)求证：直线CD为⊙O的切线；(2)若AB＝5，BC＝4，求线段CD的长．审题视角(1)直线PC与⊙O交于点C，可以初步判定直线与圆相切或相交；(2)PA切⊙O于点A，根据切线的性质，可知∠PAO＝90°，连接CO，能证得∠PCO＝∠PAO＝90°，PC与⊙O相切；而后由PC是切线解得PC长．规范解题解：(1)直线PC与⊙O相切．证明：连接OC，∵BC∥OP，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4.∵OB＝OC，∴∠1＝∠3，∴∠2＝∠4.又∵OC＝OA，OP＝OP，∴△POC≌△POA，∴∠PCO＝∠PAO.∵PA切⊙O于点A，∴∠PAO＝90°，∴∠PCO＝90°，∴PC与⊙O相切．答题思路第一步：探索可能的结论，假设符合要求的结论存在；第二步：从条件出发(即假设)求解；第三步：确定符合要求的结论存在或不存在；第四步：给出明确结果；第五步：反思回顾，查看关键点，易错点及答题规范．试题 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，若以C为圆心，R为半径的圆与斜边AB只有一个公共点，求R的值．剖析 当⊙C与AB相切时，只有一个交点，同时要注意AB是线段，当圆的半径R在一定范围内时，斜边AB与⊙C相交且只有一个公共点．
浙公网安备 33021202002483