2.2.2Newton插值法2.2.3等距节点插值公式我们知道,Lagrange插值多项式的插值基函数为形式上太复杂,计算量很大,并且重复计算也很多由线性代数的知识可知,任何一个n次多项式都可以表示成共n+1个多项式的线性组合那么，是否可以将这n+1个多项式作为插值基函数呢？显然，多项式组线性无关，因此，可以作为插值基函数有再继续下去待定系数的形式将更复杂为此引入差商和差分的概念一、差商(均差)定义1.称依此类推差商具有如下性质(请同学们自证)：显然(2)差商具有对称性,即任意调换节点的次序,差商的值不变如用余项的相同证明差商的计算
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(表格法):规定函数值为零阶差商差商表Chashang.mxif[xi]f[xi,xi+1]f[xi,xi+1,xi+2]f[xi,xi+1,xi+2,xi+2]002832751256216例1求f(xi)=x3在节点x=0,2,3,5,6上的各阶差商值解:计算得如下表二、Newton基本插值公式设插值多项式满足插值条件则待定系数为称定义3.由插值多项式的唯一性,Newton基本插值公式的余项为为k次多项式因此可得下面推导余项的另外一种形式因此一般Newton插值估计误差的重要公式另外kxkf(xk)一阶差商二阶差商三阶差商四阶差商0123412345147863301-1-1/3-2-3/2-1/61/242.2.3等距节点插值公式定义.依此类推可以证明如差分表在等距节点的前提下,差商与差分有如下关系依此类推由差商与向前差分的关系Newton插值基本公式为如果假设1.Newton向前(差分)插值公式则插值公式化为其余项化为称为Newton向前插值公式（又称为表初公式）插值余项为插值余项为根据向前差分和向后差分的关系如果假设可得Newton向后插值公式2.Newton向后(差分)插值公式例4设x0=1.0,h=0.05,给出在处的函数值如表2-5的第3列，试用三次等距节点插值公式求f(1.01)和f(1.28)的近似值。01.001.000000.0247011.051.024700.02411-0.0005921.101.048810.02357-0.00054-0.0000531.151.07238………………41.201.095440.02307-0.00048-0.0000351.251.118030.02259-0.0004561.301.140170.02214表2-5解用Newton向前插值公式来计算f(1.01)的近似值。先构造与均差表相似的差分表，见表2-5得上半部分。由t=(x-x0)/h=0.2的得用Newton向后插值公式计算f(1.28)的近似值，可利用表2-5中的下半部分。由t=(x-x6)/h=-0.4，得 事实上，f(1.01)和f(1.28)的真值分别为1.00498756和1.13137085。由此看出，计算结果是相当精确的。例2.5已知f(x)=sinx的数值如表2-6的第2列，分别用Newton向前、向后插值公式求sin0.57891的近似值。0.40.389420.50.479430.090010.60.564640.085210.004800.70.644220.07958-0.00563-0.00083xsinx△△2△3表2-6解作差分表如表2-6，使用Newton向前差分公式x0=0.5,x1=0.6,x2=0.7,x=0.57891,h=0.1,则t=(x-x0)/h=0.7891,即sin0.57891≈0.54714。误差为 若用Newton向后插值公式，则可取x0=0.4,x1=0.5,x2=0.6,x=0.57891,h=0.1,t=(x-x2)/h=-0.2109。于是即sin0.57891≈0.54707。误差为
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