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高考导数专题(含详细解答)

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高考导数专题(含详细解答)导数及其应用导数的运算1.几种常用的函数导数:=1\*GB3①、(c为常数);=2\*GB3②、();=3\*GB3③、=;=4\*GB3④、=;=5\*GB3⑤、;=6\*GB3⑥、;=7\*GB3⑦、;=8\*GB3⑧、.2.求导数的四则运算法则:;;注:①必须是可导函数.3.复合函数的求导法则:或一、求曲线的切线(导数几何意义)导数几何意义:表达函数在点(,)处切线L的斜率;函数在点(,)处切线L方程为1.曲线在点处的切线方程为( )。A: B: C: D: 答...

高考导数专题(含详细解答)
导数及其应用导数的运算1.几种常用的函数导数:=1\*GB3①、(c为常数);=2\*GB3②、();=3\*GB3③、=;=4\*GB3④、=;=5\*GB3⑤、;=6\*GB3⑥、;=7\*GB3⑦、;=8\*GB3⑧、.2.求导数的四则运算法则:;;注:①必须是可导函数.3.复合函数的求导法则:或一、求曲线的切线(导数几何意义)导数几何意义:表达函数在点(,)处切线L的斜率;函数在点(,)处切线L方程为1.曲线在点处的切线方程为( )。A: B: C: D:  答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 详解B对的率:69%,易错项:C解析:本题重要考察导数的几何意义、导数的计算以及直线方程的求解。对求导得,代入得即为切线的斜率,切点为,因此切线方程为即。故本题对的答案为B。2.变式一:3.设函数,曲线在点处的切线方程为,则曲线在点处切线的斜率为()A.   B.   C.    D.4.已知函数在R上满足,则曲线在点处的切线方程是()A.B.C.D.变式二:5.在平面直角坐标系中,点P在曲线上,且在第二象限内,已知曲线C在点P处的切线的斜率为2,则点P的坐标为.6.设曲线在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为,令,则的值为.7.已知点P在曲线y=上,为曲线在点P处的切线的倾斜角,则的取值范畴是A、[0,)B、C、D、变式三:8.已知直线y=x+1与曲线相切,则α的值为()A.1B.2C.-1D.-29.若存在过点的直线与曲线和都相切,则等于()A.或B.或C.或D.或10.若曲线在点处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18,则A、64B、32C、16D、811.(本小题满分13分)设.(=1\*ROMANI)求在上的最小值;(=2\*ROMANII)设曲线在点的切线方程为;求的值.12.若曲线存在垂直于轴的切线,则实数的取值范畴是.二、求单调性或单调区间1、运用导数鉴定函数单调性的措施:设函数在某个区间D内可导,如果>0,则在区间D上为增函数;如果<0,则在区间D上为减函数;如果=0恒成立,则在区间D上为常数.2、运用导数求函数单调区间的措施:不等式>0的解集与函数定义域的交集,就是的增区间;不等式<0的解集与函数定义域的交集,就是的减区间.1、函数的单调递增区间是()A.B.(0,3)C.(1,4)D.2.函数的单调减区间为.3.已知函数,,讨论的单调性。答案详解由题意,的定义域是,因此有。设,二次方程的的鉴别式 。当,即时,对一切均有。此时,在上是增函数;当时,,此时在上也是增函数;当,,即时,方程有两个不同的实根,,,。此时在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增。解析:本题重要考察导数在研究函数中的应用。本题的难点在于参数分类的讨论,如何做到不重不漏。一方面在定义域的状况下,对函数求导,在求极值的过程中,会波及到二次方程的根个数问题,要针对鉴别式进行分类讨论,在极值为两个的状况下,讨论其与定义域的关系,并根据导数与函数增减性的关系,列表求得函数增减性。4.已知函数。(Ⅰ)当时,求曲线在点处的切线的斜率;(Ⅱ)当时,求函数的单调区间与极值。答案详解(Ⅰ)当时,,,故。因此曲线在点处的切线的斜率为。(Ⅱ)。令,解得或,由知,。如下分两种状况讨论:(1)若,则。当变化时,的变化状况如下表:因此在内是增函数,在内是减函数;函数在处获得极大值, 且;函数在处获得极小值,且。(2)若,则。当变化时,的变化状况如下表:因此在内是增函数,在内是减函数;函数在处获得极大值,且;函数在处获得极小值,且。解析:本题重要考察运用导数判断函数单调性。(Ⅰ)求出这种状况下,函数在处的导数,即为切线斜率。(Ⅱ)一方面求解出极值,然后对参数进行分类讨论,使用列表法,对函数和导数列表,列出函数的单调区间和极值。三、求函数的极值与最值1、极值的鉴别措施:当函数在点处持续时,①如果在附近的左侧>0,右侧<0,那么是极大值;②如果在附近的左侧<0,右侧>0,那么是极小值.也就是说是极值点的充足条件为点两侧导数异号,而不是=0.2、最值的求法:求f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的环节如下:(1)求f(x)在区间(a,b)内的极值(极大值或极小值);(2)将y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)、f(b)比较,其中最大的一种为最大值,最小的一种最小值.注:极值与最值的区别:极值是在局部对函数值进行比较,最值是在整体区间上对函数值进行比较.1.设函数,则()A.为的极大值点B.为的极小值点C.为的极大值点D.为的极小值点答案详解D对的率:53%,易错项:B解析:本题重要考察函数极值的计算。令导函数求得,且在上不不小于零,在上不小于零,则在上单调递减,在上单调递增,为的极小值点。2.函数在处获得极小值.3.(本小题满分13分,(Ⅰ)小问6分,(Ⅱ)小问7分.)设其中,曲线在点处的切线垂直于轴.(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)求函数的极值.4.(本小题满分13分)某商场销售某种商品的经验表白,该商品每日的销售量y(单位:公斤)与销售价格x(单位:元/公斤)满足关系式,其中3 设计 领导形象设计圆作业设计ao工艺污水处理厂设计附属工程施工组织设计清扫机器人结构设计 一种包装盒,如图所示,ABCD是边长为60的正方形硬纸片,切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形,再沿虚线折起,使得A,B,C,D四个点重叠与图中的点P,正好形成一种正四棱柱形状的包装盒.E,F在AB上,是被切去的一种等腰直角三角形斜边的两个端点,设.(1)某广告商规定包装盒的侧面积S最大,试问应取何值?(2)某厂商规定包装盒的容积V最大,试问应取何值?并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.答案详解(1),因此时侧面积最大。(2),因此。当时,递增,当时,递减,因此,当时,最大。此时,包装盒的高与底面边长的比值为。解析:本题重要考察函数和配措施求函数最值的措施。(1)由图写出侧面积的函数体现式,再对体现式化简、配方,即可求得取最大值相应的值。(2)由图写出容积的函数体现式,再通过对函数求导,判断函数的单调性,从而求得取最大值相应的值,再求解高与底面边长的比值即可。四、判断函数的零点1.函数f(x)=的零点所在的一种区间是A.(-2,-1);B.(-1,0);C.(0,1);D.(1,2)答案详解B对的率:64%,易错项:C解析:本题重要考察持续函数的性质。由于是持续函数,且在上单调递增,根据零点附近函数值符号相反,可采用代入排除的措施求解。A项,故A项错误;B项,,则零点定理知有零点在区间上,故B项对的;C项,故C项错误;D项,故D项错误。综上所述:符合题意的是B项。故本题对的答案为B。2.设函数则()A.在区间内均有零点;B.在区间内均无零点;C.在区间内有零点,在区间内无零点;D.在区间内无零点,在区间内有零点.答案详解D对的率:33%,易错项:C解析:本题重要考察导数的应用。定义域为,先对求导,,解得在单调递减,单调递增。讨论上,在其上单调,,,故在上无零点;讨论上,在其上单调,,,故在上有零点。故本题对的答案为D。易错项分析:零点存在定理不熟悉导致易错;零点存在定理适应于持续函数在给定区间里的零点问题,局限于判断在给定区间与否有零点,而对于在给定的区间有多少个零点却无法解决。3.已知函数y=x3-3x+c的图像与x轴恰有两个公共点,则c=A.-2或2;B.-9或3;C.-1或1;D.-3或1答案详解A对的率:53%,易错项:C解析:本题重要考察导数在函数中应用。对函数求导,得到函数的增减性和极值,作出函数图象。由图可知,当函数取极大值和极小值时,有两个横坐标与之相应。极大值为2,极小值为-2。可知,。故本题对的答案为A。4.16分)若函数在处获得极大值或极小值,则称为函数的极值点.已知是实数,1和是函数的两个极值点.(1)求和的值;(2)设函数的导函数,求的极值点;(3)设,其中,求函数的零点个数.答案详解(1)由题设知,且,,解得。(2)由(1)知,由于,因此的根为,,于是函数的极值点只也许是或。当时,,当时,,故是的极值点,当或时,,故不是的极值点,因此的极值点为。(3)由(1)知,其函数图象如下图所示,先讨论()的零点,即与的交点的个数:时,由图象得的零点为和;时,由图象得的零点为和;时,由图象得的零点为,,;时,由图象得的零点分别在,,三个区间内;时,由图象得的零点分别在,,三个区间内。令,目前考虑()的零点:当时,有两个根和,而有三个不同的根,分别在,,三个区间内,有两个不同的根和,故有个零点。当时,有两个根和,而有三个不同的根,分别在,,三个区间内,有两个不同的根和,故有个零点。当时,有三个不同的根,,,满足,,,,而(,,)有三个不同的根,故有个零点。综上可知,当时,函数有个零点;当时,函数有个零点。解析:本题重要考察导数在研究函数中的应用。(1)对函数求导,代入极值点使该点处导数值为,得到有关的方程组,解出的值。(2)由(1)问所得的,求出的体现式,令其等于求极值点。验证极值点真假后列出成果。(3)先结合图象分类讨论()的零点,再令,分类讨论()的零点。五、导数与图像1.函数在区间上的图象如图所示,则的值也许是A.B.C.D.2.若函数的导函数在区间上是增函数,则函数在区间上的图象也许是()yababaoxoxybaoxyoxybA.B.C.D.3.【江西理数】如图,一种正五角星薄片(其对称轴与水面垂直)匀速地升出水面,记t时刻五角星露出水面部分的图形面积为,则导函数的图像大体为六、导数与不等式运用导数求解(证明)不等式重要措施是:将不等式左右两边的多项式移到一边,构造出一种新的函数,通过对求导,根据的大小和导数的性质,结合已知条件进行求解或证明.1.若,则>0的解集为A.B.C.D.答案详解C对的率:50%,易错项:B解析:本题重要考察导数的运算和不等式的解法。本题的易错点是容易忽视函数的定义域。的定义域为,,即,结合解得。故本题对的答案为C。易错项分析:本题的易错点是容易忽视函数的定义域,忽视在对数函数中真数要不小于的隐含条件,从而在解不等式时浮现负数,使函数没故意义,这是解对数不等式以及对数函数有关的问题时常用的错误。2.函数f(x)的定义域为R,f(-1)=2,对任意x∈R,,则f(x)>2x+4的解集为A.(-1,1)B.(-1,+)C.(-,-1)D.(-,+)3.本小题满分12分)设函数(1)求函数的单调区间;(2)若,求不等式的解集.4.设函数有两个极值点、且,。(1)求、满足的约束条件,并在下面的坐标平面内,画出满足这些条件的点和区域;(2)证明:。答案(1),依题意知,方程有两个根,且等价于,,,。由此得满足的约束条件为满足这些条件的点的区域为图中阴影部分。(2)由题设知:,故,于是,由于,而由(Ⅰ)知,故,又由(1)知, 因此。解析本题重要考察导数、线性规划以及方程根的综合运用。(1)本题应当根据先求出的导函数,然后再运用二分法得到有关三个参量的不等式,进而便可得出的取值范畴,进而便可作出满足这些约束条件的平面区域。(2)该题重要运用已知条件,将表达为与其她参量的等式,并运用,便可得到的大体范畴,再将其她参量的取值范畴代入该式,便可得到欲证结论。5.(本题满分12分)设函数有两个极值点,且(I)求的取值范畴,并讨论的单调性;(II)证明:解:(I),令,其对称轴为.由题意知是方程的两个均不小于的不相等的实根,其充要条件为,得⑴当时,在内为增函数;⑵当时,在内为减函数;⑶当时,在内为增函数;(II)由(I),设,则⑴当时,在单调递增;⑵当时,,在单调递减.,故.6.(本小题满分12分)已知函数f(x)=x-ax+(a-1),.(1)讨论函数的单调性;(2)证明:若,则对任意x,x,xx,有.解析:(1)的定义域为.2分(i)若,即,则,故在单调增长.(ii)若,而,故,则当时,;当及时,故在单调减少,在单调增长.(iii)若,即,同理可得在单调减少,在单调增长.(2)考虑函数则由于10,知在R上恒成立,因此由此并结合a>0,知.3.已知函数,曲线在点处的切线方程为。(Ⅰ)求、的值;(Ⅱ)如果当,且时,,求的取值范畴。Ⅰ),由于直线的斜率为,且过点,故,即,解得,。(Ⅱ)由(Ⅰ)知,因此 。考虑函数,则。(i)设,由知,当时,。而,故当时,,可得;当时,,可得, ;从而当,且时,,即。(ii)设。由于当时,,故,而,故当时,,可得,,与题设矛盾。(iii)设。此时,而,故当时,,可得,而 ,与题设矛盾。综合得,的取值范畴为。解析:本题重要考察函数求导和函数的单调性,以及分类讨论思想。(Ⅰ)先对函数求导,将点代入到导函数,得出斜率,又在直线上,从而得到两个方程,联立解得的值。(Ⅱ)本问为不等式与函数的问题,要进行分类讨论,讨论时应注意不要漏状况。一方面将不等式转化为求函数极值。即将不等式右边式子左移,得讨论函数,这里应注意的取值范畴。通过度类讨论可得取值范畴为。解读本题(2)中,若直接对作差后所得的函数求导,形式繁杂,且不易得出导数零点。由于只是判断函数的正负号,可以提出,这样,余下的部分的求导变得简朴可行,且的正负容易判断。4.本小题满分100分)已知函数。(1)求的单调区间;(2)若对于任意的,均有,求的取值范畴。答案详解(1)。令,得。当时,与的状况如下:因此,的单调递增区间是和;单调递减区间是。当时,与的状况如下:因此,的单调递减区间是和;单调递增区间是。(2)当时,由于,因此不会有,。当时,由(1)知在上的最大值是,因此等价于,解得。解析:本题重要考察函数的求导和函数的单调性问题。(1)先对函数求导得。当时,单调递增,求得的的取值范畴即为单调增区间;当时,单调递减,求得的的取值范畴即为单调减区间。(2)运用函数的单调性,求得的最大值,代入不等式,即可求得的取值范畴。 5.本小题满分12分)已知函数,,其中,(1)若在处获得极值,求的值;(2)求的单调区间;(3)若的最小值为,求的取值范畴。答案详解(1)由于,因此,又在处获得极值,因此。(2)令,当,即时,在定义域内恒成立,因此函数在内单调递增;当,即时,在区间内,函数递减;在区间内,函数递增。综上所述,当时,函数在区间内单调递增;当时,函数在区间内单调递减,在区间内单调递增。(3)当时,函数在区间内单调递增,此时,因此满足条件;当时,函数在区间内单调递减,在区间内单调递增,此时,因此不满足题意,因此的取值范畴为。解析:本题重要考察函数与导数的单调性、函数的极值。(1)对函数求导,在函数极值点处导数故意义时导数为零,然后计算求解;(2)导数不小于零时函数递增,导数不不小于零时函数递减,然后分类讨论的取值范畴进行求解;(3)分两种状况讨论函数的最小值,满足函数最小值为的的取值范畴即为解。6.设函数。(1)若为的极值点,求实数;(2)求实数的取值范畴,使得对任意的,恒有成立。注:为自然对数的底数。答案详解(1)求导得。由于是的极值点,因此,解得或,经检查,符合题意,因此或。(2)①当时,对于任意的实数,恒有成立。②当时,由题意,一方面有,解得,由(1)知,令,则,且又在内单调递增,因此函数在内有唯一零点,则,,从而,当时,;当时,;当时,。即在内单调递增,在内单调递减,在内单调递增。因此要是对恒成立,只要成立。由,知将③代入①得。又,注意到函数在内单调递增,故。再由③以及函数在内单调递增,可得。又②解得,。因此。综上,的取值范畴为。解析:本题重要考察导数以及不等式的综合运用。(1)本题应当先对函数求导,又由于为的极值点,因此,据此便可解的实数的取值范畴。(2)由于当时,,因此此时恒成立,因此只需讨论当时的状况即可。本题应当先判断出的零点即的极值点,从而可判断出的单调性。最后判断得在内单调递增,在中单调递减,在中单调递增。因此应当使得在该区间内的极大值点或者在端点处满足,这样便可解得的取值范畴。7.已知,,函数。(1)证明:当时,(i)函数的最大值为;(ii) ;(2)若对恒成立,求的取值范畴。答案详解(1)(i)。当时,有,此时在上单调递增。当时,。此时在上单调递减,在上单调递增。因此当时,(ii)由于,故当时,当时,设,则。因此,。因此当时,。故。(2)由(i)知,当时,,因此。若,则由(ii)知,。因此对任意恒成立的充要条件是,即,或,在直角坐标系中,所示的平面区域为如图所示的阴影部分,其中不涉及线段,做一组平行直线,得,因此的取值范畴是。解析:本题重要考察运用导函数判断函数单调性和运用线性规划求解极值。(1)(i)先对函数求导,得导函数,讨论和两种状况下函数的单调性,求得。(ii)分别讨论和两种状况下,对进行放缩。再令,对其求导,分析其单调性,求得。故可得。(2)列出对任意恒成立的充要条件,画出不等式组的平面区域图,设目的函数为,可求得的取值范畴为。8.(本小题满分13分)已知函数=,其中a≠0.(1)若对一切x∈R,≥1恒成立,求a的取值集合.(2)在函数的图像上取定两点,,记直线AB的斜率为K,问:与否存在x0∈(x1,x2),使成立?若存在,求的取值范畴;若不存在,请阐明理由.解:(Ⅰ)若,则对一切,,这与题设矛盾,又,故.而令当时,单调递减;当时,单调递增,故当时,取最小值于是对一切恒成立,当且仅当.        ①令则当时,单调递增;当时,单调递减.故当时,取最大值.因此,当且仅当即时,①式成立.综上所述,的取值集合为.(Ⅱ)由题意知,令则令,则.当时,单调递减;当时,单调递增.故当,即从而,又∴由于函数在区间上的图像是持续不断的一条曲线,∴存在使单调递增,故这样的是唯一的,且.故当且仅当时,.综上所述,存在使成立.且的取值范畴为9.(本题满分14分)已知函数的最小值为0,其中(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)若对任意的有≤成立,求实数的最小值;(Ⅲ)证明().、解:(Ⅰ)函数的定义域为,得时,(Ⅱ)设则在上恒成立…………(*),①当时,与(*)矛盾②当时,符合(*),∴实数的最小值为(Ⅲ)由(2)得:对任意的值恒成立取:当时,得:当时,得:.10.(本小题满分14分)已知二次函数的导函数的图像与直线平行,且在处获得极小值.设.(1)若曲线上的点到点的距离的最小值为,求的值;(2)如何取值时,函数存在零点,并求出零点.(1)依题可设(),则;又的图像与直线平行,即,,设,则当且仅当时,获得最小值,即获得最小值当时,解得当时,解得(2)由(),得当时,方程有一解,函数有一零点;当时,方程有二解,若,,函数有两个零点,即;若,,函数有两个零点,即;当时,方程有一解,,函数有一零点综上,=1\*GB3①当时,函数有一零点;=2\*GB3②当(),或()时,函数有两个零点;=3\*GB3③当时,函数有一零点.
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