高中数学 第二章 平面解析几何初步 2.1 直线与方程知识整理素材 苏教版必修2（通用）

PAGE直线与方程一．基础知识回顾（1）直线的倾斜角一条直线向上的方向与轴正方向所成的最小正角叫做这条直线的倾斜角，其中直线与轴平行或重合时，其倾斜角为0，故直线倾斜角的范围是.注：①当或时，直线垂直于轴，它的斜率不存在.②每一条直线都存在惟一的倾斜角，除与轴垂直的直线不存在斜率外，其余每一条直线都有惟一的斜率，并且当直线的斜率一定时，其倾斜角也对应确定.（2）直线方程的几种形式点斜式、截距式、两点式、斜截式.特别地，当直线经过两点，即直线在轴，轴上的截距分别为时，直线方程是：.附直线系：对于直线的斜截式方程，当均为确定的数值时，它 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示一条确定的直线，如果变化时，对应的直线也会变化.①当为定植，变化时，它们表示过定点（0，）的直线束.②当为定值，变化时，它们表示一组平行直线.（3）两条直线的位置关系10两条直线平行∥两条直线平行的条件是：①和是两条不重合的直线.②在和的斜率都存在的前提下得到的.因此，应特别注意，抽掉或忽视其中任一个“前提”都会导致结论的错误.（一般的结论是：对于两条直线，它们在轴上的纵截距是，则∥，且或的斜率均不存在，即是平行的必要不充分条件，且）推论：如果两条直线的倾斜角为则∥.20两条直线垂直两条直线垂直的条件：①设两条直线和的斜率分别为和，则有这里的前提是的斜率都存在.②，且的斜率不存在或，且的斜率不存在.（即是垂直的充要条件）（4）两条直线的交角①直线到的角（方向角）；直线到的角，是指直线绕交点依逆时针方向旋转到与重合时所转动的角，它的范围是，当时.②两条相交直线与的夹角：两条相交直线与的夹角，是指由与相交所成的四个角中最小的正角，又称为和所成的角，它的取值范围是，当，则有.（5）点到直线的距离①点到直线的距离公式：设点，直线到的距离为，则有.②两条平行线间的距离公式：设两条平行直线，它们之间的距离.（6）对称问题：①关于点对称的两条直线一定是平行直线，且这个点到两直线的距离相等.②关于某直线对称的两条直线性质：若两条直线平行，则对称直线也平行，且两直线到对称直线距离相等.若两条直线不平行，则对称直线必过两条直线的交点，且对称直线为两直线夹角的角平分线.③点关于某一条直线对称，用中点表示两对称点，则中点在对称直线上（方程①），过两对称点的直线方程与对称直线方程垂直（方程②）①②可解得所求对称点.注：①曲线、直线关于一直线对称的解法：y换x，x换y.例：曲线f(x,y)=0关于直线y=x–2对称曲线方程是f(y+2,x–2)=0.②曲线C:f(x,y)=0关于点(a,b)的对称曲线方程是f(a–x,2b–y)=0.二．范例解析例1．已知直线l过点P(-1,1)且与A(-2,3)、B(3,2)为端点的线段相交，试求直线l倾斜角的取值范围。［思路］1）分别求出直线PA、PB的斜率；2）数形结合，利用正切函数的单调性求解。［破解］1）先求出；2）由图7-3知，满足题意的直线l的斜率为。因为直线l的倾斜角，而上分别是增函数，从而知，又知也满足条件，故倾斜角取值范围为［收获］1）直线的斜率是判定两直线位置关系的重要依据；2）数形结合思想方法是求解解析几何问题的重要方法之一；3）已知斜率范围探求倾斜角的范围，最关键的一环是利用正切函数的单调性处理。例2．ABC的顶点，试求∠A平分线AT所在直线方程。［思路］利用角平线性质∠CAT=∠BAT结合到角公式求出直线AT的斜率即可。［破解］如图7-1，由已知易求。由角平线的性质∠CAT=∠BAT知AC到AT的角与AT到AB的角相等。即可求出，从而∠A平分线AT所在直线方程为：［收获］充分利用平面几何性质将问题转化成解析几何中的有关问题是研究平面几何问题的关键。注意夹角与到角公式的区别，分清什么时候用夹角（或到角）公式，以免产生错解。处理有关几何问题最好作出图形增强直观效果，为寻找解题突破口提供依据。例3．某校一年级为配合素质教育，利用一间教室作为学生绘画成果展览室，为节约经费，他们利用课桌作为展台，将装画的镜框放置桌上，斜靠展出，已知镜框对桌面的倾斜角为α(90°≤α＜180°)镜框中，画的上、下边缘与镜框下边缘分别相距am,bm,(a＞b)问学生距离镜框下缘多远看画的效果最佳？命题意图本题是一个非常实际的数学问题，它不仅考查了直线的有关概念以及对三角知识的综合运用，而且更重要的是考查了把实际问题转化为数学问题的能力知识依托三角函数的定义，两点连线的斜率公式，不等式法求最值错解 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 解决本题有几处至关重要，一是建立恰当的坐标系，使问题转化成解析几何问题求解；二是把问题进一步转化成求tanACB的最大值如果坐标系选择不当，或选择求sinACB的最大值都将使问题变得复杂起来技巧与方法欲使看画的效果最佳，应使∠ACB取最大值，欲求角的最值，又需求角的一个三角函数值解建立如图所示的直角坐标系，AO为镜框边，AB为画的宽度，O为下边缘上的一点，在x轴的正半轴上找一点C(x,0)(x＞0),欲使看画的效果最佳，应使∠ACB取得最大值由三角函数的定义知A、B两点坐标分别为(acosα,asinα)、(bcosα,bsinα),于是直线AC、BC的斜率分别为kAC=tanxCA=,于是tanACB=由于∠ACB为锐角，且x＞0,则tanACB≤,当且仅当=x，即x=时，等号成立，此时∠ACB取最大值，对应的点为C(,0),因此，学生距离镜框下缘cm处时，视角最大，即看画效果最佳例4．等腰三角形一腰所在的直线的方程是x－2y－2＝0.底边所在的直线的方程是：x+y－1=0,点（－2,0)在另一腰上，求这腰所在直线的方程.解：设，，的斜率分别为，，到的角是到的角是，则。因为，，所围成的三角形为等腰三角形，所以又直线经过点（-2，0），故其方程为：。例5．已知M(x,y)是以A(-2,3)、B(3,2)为端点的线段上一动点，试求的取值范围。［思路］1）若令，代入线段AB所在的直线方程消去y可得到可求出t的范围，但计算较繁。2）变换角度，由数入形，联想直线斜率公式可使问题轻松解决。［破解］令，不难发现t就是线段AB一动点M与定点P（-1，1）连线的的斜率（如图3）易求出由图7-5知，满足题意的直线PM的斜率为，即的取值范围为。［收获］形如“”的最值范围问题，可联想直线斜率公式，数形结合解决。［拓展］对于曲线y=f(x)上任一动点P（x,y），探求的范围问题都可联想直线斜率公式，数形结合解决。例6．过直线2x＋y＋8=0和直线x＋y＋3=0的交点作一条直线，使它夹在两条平行直线x－y－5=0和x－y－2=0之间的线段长为，求该直线的方程.［思路］利用距离公式求出两平行直线的距离；利用勾股定理求出此直线夹在两平行直线间的线段长；图7-9利用夹角公式求出直线斜率，即可求出直线方程。［破解］如图7-9所示，　由求出交点M（－5，2）．设所求直线与分别交于B、A两点，由已知|AB|=，又l1、l2间距离，在Rt△ABC中，．　设l1到l的角为，则.　设直线l的斜率为k，由夹角公式得　.所求直线的方程为2x＋y＋8=0或x＋2y＋1=0.［收获］数形结合，利用图形直观特征，能有效地找到解题思路。平面几何中有关定理（如本题中的勾股定理），能很好地将几何问题化归为代数问题来处理。例7．已知实数满足方程试求：的最小值。［思路］变形联想两点距离公式；由数形结合，问题转化为直线一动点P（x,y）到定点（-1，0）距离的平方和。［破解］由变形为，联想两点距离公式，不难发它的几何意义：直线一动点P（x,y）到定点A（-1，0）距离的平方和。如图7-10知当时，也就是说点A到直线l距离的平方即为所求。［收获］1）形如的代数式的范围最值问题，可联想距离公式求解。2）由数想形，将代数问题转化为几何问题，构造几何图形，对求解具有特殊结构的代数式范围最值问题有着意想不到的神奇效果。例8求过点且与直线平行的直线方程．解一：已知直线的斜率为，因为所求直线与已知直线平行，因此它的斜率也是根据点斜式，得到所求直线的方程是，即．解二：设与直线平行的直线的方程为，∵经过点，∴，解得∴所求直线方程为．例9当为何值时，直线过直线与的交点?解法一：解得交点(4，9),将＝４,＝9代入得9＝４＋3，解得＝.解法二：过直线与的交点的直线系方程为＋＝0整理得：与直线比较系数，得＝3即＝1.∴＝例10求两平行线：，：的距离.解法一：在直线上取一点P(４，0），因为∥，所以点P到的距离等于与的距离.于是解法二：∥又.由两平行线间的距离公式得d＝.